高中数学人教A版4坐标系 一平面直角坐标系

第一讲坐标系一、平面直角坐标系A级基础巩固一、选择题1．在平面直角坐标系xOy中，方程(x－1)(x＋1)＝0表示的图形是()A．圆 B．抛物线C．两条平行直线 D．两条相交直线解析：方程(x－1)(x＋1)＝0表示直线x＝1或直线x＝－1，为两条平行直线．答案：C2．在平面直角坐标系xOy中，方程(x－1)2＋(y－1)2＝0表示的图形是()A．圆 B．一条直线C．两条直线 D．一个点答案：D3．将点P(－2，2)变换为P′(－6，1)的伸缩变换公式为()\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,3)x，,y′＝2y)) \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝3y))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,y′＝\f(1,2)y)) \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,y′＝2y))解析：设伸缩变换为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx，,y′＝μy，))则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－6＝λ·（－2），,1＝μ·2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,μ＝\f(1,2)，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,y′＝\f(1,2)y.))答案：C4．在同一坐标系中，方程x2＋y2＝1经过伸缩变换eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝5x，,y′＝4y))后表示的图形是()A．焦点在x轴上，长轴长为5的椭圆B．焦点在x轴上，长轴长为10的椭圆C．焦点在y轴上，长轴长为5的椭圆D．焦点在y轴上，长轴长为10的椭圆解析：变换公式x＝eq\f(x′,5)，y＝eq\f(y′,4)，代入已知的方程得eq\f(x′2,25)＋eq\f(y′2,16)＝1，该方程表示的图形是焦点在x轴上，长轴长为10的椭圆．答案：B5．如何由正弦曲线y＝sinx经伸缩变换得到y＝eq\f(1,2)sineq\f(1,2)x的图象()A．将横坐标缩为原来的eq\f(1,2)，纵坐标也缩为原来的eq\f(1,2)B．将横坐标缩为原来的eq\f(1,2)，纵坐标伸长为原来的2倍C．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍D．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩为原来的eq\f(1,2)解析：设eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx，,y′＝μy))代入y′＝eq\f(1,2)sineq\f(1,2)x′得μy＝eq\f(1,2)sineq\f(λ,2)x，即y＝eq\f(1,2μ)sineq\f(λ,2)x，与y＝sinx比较知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2μ)＝1，,\f(λ,2)＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝\f(1,2)，))因为λ>1是伸长，0<μ<1是缩短，所以选D.答案：D二、填空题6．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点(－1，0)的距离是到点(1，0)的距离的eq\r(2)倍，则动点P的轨迹方程是________________．解析：设P(x，y)，则eq\r(（x＋1）2＋y2)＝eq\r(2)eq\r(（x－1）2＋y2)，即x2＋2x＋1＋y2＝2(x2－2x＋1＋y2)，整理得x2＋y2－6x＋1＝0.答案：x2＋y2－6x＋1＝07．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝4y))后，曲线C变为曲线eq\f(x′2,4)＋eq\f(y′2,16)＝1，则曲线C的方程是________．解析：把变换公式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝4y))代入方程eq\f(x′2,4)＋eq\f(y′2,16)＝1中，得eq\f(（2x）2,4)＋eq\f(（4y）2,16)＝1，整理得x2＋y2＝1.答案：x2＋y2＝18．在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，则满足条件的伸缩变换是________．解析：x2－36y2－8x＋12＝0可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－4,2)))eq\s\up12(2)－9y2＝1.①x′2－y′2－4x′＋3＝0可化为(x′－2)2－y′2＝1.②比较①②，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′－2＝\f(x－4,2)，,y′＝3y，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(x,2)，,y′＝3y.))答案：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(x,2)，,y′＝3y))三、解答题9．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝eq\f(1,2)|BC|.证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)．则M点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，\f(c,2))).由于|BC|＝eq\r(b2＋c2)，|AM|＝eq\r(\f(b2,4)＋\f(c2,4))＝eq\f(1,2)eq\r(b2＋c2)，故|AM|＝eq\f(1,2)|BC|.10．在平面直角坐标系中，求下列方程对应的图形经过伸缩变换eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,3)y))后的图形．(1)5x＋2y＝0；(2)x2＋y2＝2；(3)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).解：(1)由伸缩变换eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,3)y))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2x′，,y＝3y′，))将其代入5x＋2y＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′＋3y′＝0.所以经过伸缩变换eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,3)y))后，直线5x＋2y＝0变成直线5x＋3y＝0.(2)将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2x′，,y＝3y′))代入x2＋y2＝2，得到经过伸缩变换后的图形的方程是eq\f(x′2,\f(1,4))＋eq\f(y′2,\f(1,9))＝2，即eq\f(x′2,\f(1,2))＋eq\f(y′2,\f(2,9))＝1.所以经过伸缩变换eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,3)y))后，圆x2＋y2＝2变成椭圆eq\f(x′2,\f(1,2))＋eq\f(y′2,\f(2,9))＝1.(3)将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2x′，,y＝3y′))代入y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))得3y′＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x′＋\f(π,4)))，即y′＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x′＋\f(π,4)))，所以经过伸缩变换eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,3)y))后曲线y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))变为曲线y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).B级能力提升1．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝5x，,y′＝3y))后曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝2，则曲线C的方程为()A．25x2＋36y2＝1 B．9x2＋100y2＝1C．10x＋24y＝1 \f(2,25)x2＋eq\f(8,9)y2＝1解析：将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝5x，,y′＝3y))代入2x′2＋8y′2＝2中，得50x2＋72y2＝2，即25x2＋36y2＝1.答案：A2．在平面直角坐标系中，动点P和点M(－2，0)，N(2，0)满足|eq\o(MN,\s\up11(→))|·|eq\o(MP,\s\up11(→))|＋eq\o(MN,\s\up11(→))·eq\o(NP,\s\up11(→))＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为__________________．解析：设P(x，y)，由题意可知eq\o(MN,\s\up11(→))＝(4，0)，eq\o(MP,\s\up11(→))＝(x＋2，y)，eq\o(NP,\s\up11(→))＝(x－2，y)，由|eq\o(MN,\s\up11(→))|·|eq\o(MP,\s\up11(→))|＋eq\o(MN,\s\up11(→))·eq\o(NP,\s\up11(→))＝0，可知4eq\r(（x＋2）2＋y2)＋4(x－2)＝0，化简，得y2＝－8x.答案：y2＝－8x3．已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地听到晚2s，且声速为340m/s，解：由声速及在A地听到的炮弹声比在B地晚2s，可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m因为|AB|>680m所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的在靠近