高中数学人教A版1第一章常用逻辑用语 全国优质课

第1期第1课时第一课时充分条件与必要条件一、课前准备1.课时目标(1)理解充分条件和必要条件的概念.(2)掌握充分条件和必要条件的判断方法.2.基础预探一般地，“若p，则q”为真命题，记作pq，并且说p是q的，q是p的；“若p，则q”为假命题，那么p推不出q记作p⇏q，此时我们说p不是q的，q不是p的.二、学习引领1.充分条件与必要条件是用来区分命题的条件p与结论q之间关系的数学概念：若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件，同时q2.从集合与集合之间的关系上理解充分条件与必要条件设满足条件p的对象组成的集合为A，满足条件q的对象组成的集合为B.即A={x│p(x)}，B={x|q(x)},则：（1）若A⊆B，则p是q的充分条件；其中，若AB，则p是q的充分而不必要条件.（2）若B⊆A，则p是q的必要条件；其中，若BA，则p是q的必要而不充分条件.3.判定命题条件的步骤和方法命题条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，主要采用以下步骤：①确定条件p是什么，结论q是什么；②尝试从条件推结论，若p⇒q，则充分性成立，p是q的充分条件；③再考虑从结论推条件，如果qp，则q是p的充分条件，p是q的必要条件，必要性成立；常见的判定方法有四种：①定义法：判断p是q的什么条件，实际上就是判断p⇒q或q⇒p是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，按定义就可以判断.②等价转换法：在四种命题的关系中，原命题和它的逆否命题，原命题的逆命题和它的否命题是两对等价命题.当正面对命题进行判断较为复杂，而判断其逆否命题又较为简便时，可将其等价转化为判断其逆否命题.③图示法：对于多个有关系的命题，解题时常常作出它们的关系图，依据图形和定义直观求解.④集合法：对于充分条件和必要条件，可以从集合的包含关系的角度来理解.三、典例导析题型一、充分条件与必要条件的判断例1.下列条件中，p是q的必要不充分条件的是（）：a+c＞b+d，q：a＞b且c＞d：a＞1，b＞1，q：f(x)=ax-b(a＞0且a≠1)的图象不过第二象限：x=1，q：x2=x：a＞1，q：f(x)=logax(a＞0且a≠1)在(0，+思路导析：对于A，q⇒p，而p⇏q，p是q的必要不充分条件；对于B，p⇒q，而当a＞1，b=1时，f(x)=ax-b(a＞0且a≠1)的图象也不过第二象限，即q⇏p，所以p是q的充分不必要条件；对于C，易知p是q的充分不必要条件；对于D，易知p是q的充分必要条件。解：选A。规律总结：高考经常会借助函数的性质来考查充要条件，例如函数的单调性、奇偶性、对称性等，那么我们就利用函数的相关性质等价变形，得出一个结论，从结论中看条件表示范围的大小，再判断。变式练习1.已知QUOTEa、QUOTEb为两个非零向量，有以下命题：①QUOTEa2=QUOTEb2；②QUOTEa∙QUOTEb=QUOTEb2；③|QUOTEa|=|QUOTEb|且QUOTEa∥QUOTEb.其中可以作为QUOTEa=QUOTEb的必要不充分条件的命题是.题型二、充分条件、必要条件的应用例2.设p:2x2-3x+1≤0；q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0，若﹁p是﹁q的必要不充分条件，求实数a的取值范围。思路导析：本题直接求解有困难，可根据原命题和它的逆否命题的等价性进行转化，若pq，则﹁q﹁p。解：由2x2-3x+1≤0，得QUOTE12≤x≤1。记A={x|QUOTE12≤x≤1}。由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0，得a≤x≤a+1。记B={x|≤x≤a+1}。由于﹁q﹁p，且﹁p⇏﹁q，即pq，且q⇏p，所以AB，则a+1≥1a≤12，解得0≤a≤QUOTE12。规律总结：充要条件是四种命题关系的深化，涉及求参数时，常利用命题的等价性进行转化，从集合的包含、相等关系上来考虑制约关系。变式练习2.集合A={x|-1＜x＜1}，B={x|b-a＜x＜a+b}，若“a=1”是“A∩B≠φ”的充分条件，则b的取值范围是（）≤b＜0＜b≤2C.-3＜b＜1＜b＜2四、随堂练习1.“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2.已知α、β均为锐角，若p：sinα<sin(α+β)；q：α+β<QUOTEπ2，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.“x＞1”是“x2＞x”的条件.（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）4.设。问条件。5.求证：一次函数y=-QUOTEmnx+QUOTE1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是mn＜0.6.已知命题p：-QUOTE12(a-1)2≤x-QUOTE12(a+1)2≤QUOTE12(a-1)2，命题q：x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.五、课后作业1.是的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.设集合A={x|xx-1A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.“α=QUOTEπ4”是“tanα=1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(x-1)(x+2)＜0的一个必要不充分条件是.5.已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b无公共点；命题q：α6.证明：“a-b=1”是“a2-b2+2a-4b-3=0”成立的充分不必要条件.答案一、2.答：充分，必要，充分，必要三、变式练习1.答：①、②、③.提示：逐一判断.变式练习2.答：D提示：由“a=1”是“A∩B≠φ”的充分条件，则A：-1＜x＜1与B：b-1＜x＜1+b交集不为空，所以-2＜b＜2.四、1.A提示：对于“”“”；反之不一定成立，因此“”是“”的充分而不必要条件．提示：令α=QUOTEπ6，β=QUOTEπ3，则α+β=QUOTEπ2，则p⇏q.而0<α<α+β<QUOTEπ2sinα<sin(α+β),即qp.3.充分不必要条件提示：x＞1x2＞x，反之不然.4.充分不必要解：易知，有但⇏。故是的充分不必要条件。5.证明：若一次函数y=-QUOTEmnx+QUOTE1n的图象同时经过第一、三、四象限，则-QUOTEmn＞0，且QUOTE1n＜0，所以m＞0，且n＜0，故mn＜0.但若mn＜0，则当m＜0，n>0时，一次函数y=-QUOTEmnx+QUOTE1n的图象同时经过的是第一、二、三象限，不过第四象限.故一次函数y=-QUOTEmnx+QUOTE1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是mn＜0.6.解：设命题p、q对应的集合分别为A、B.由-QUOTE12(a-1)2≤x-QUOTE12(a+1)2≤QUOTE12(a-1)2得2a≤x≤a2+1.所以A={x|2a≤x≤a2+1}.由x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0得(x-2)[x-(3a+1)]≤0当3a+1≥2即a≥QUOTE13时得B={x|2≤x≤3a+1}.当3a+a<2即a<QUOTE13得B={x|3a+1≤x≤2}.综上所述：当a≥QUOTE13时，若A⊆B，则2≤2aa当a<QUOTE13时，若A⊆B，则3a+1≤2a≤a2+1≤2，解得a=-1；所以a的范围是{a|1≤a≤3或a=-1}.五、1.A提示：由，所以，而成立时，不一定成立提示：A={x|0<x<1}.提示：α=QUOTEπ4tanα=1，tanα=1⇏α=QUOTEπ4.＞-2（答案不唯一）提示：(x-1)(x+2)＜0的解为-2＜x＜1.5.必要不充分条件提示：若α与β相交，