鲁科版物理必修二31运动的合成与分解

学案1运动的合成与分解学点1运动的独立性

(1)合运动、分运动在物理学上，如果一个物体实际发生的运动产生的效果跟另外两个运动共同产生的效果相同，我们就把这一物体实际发生的运动叫做这两个运动的合运动，这两个运动叫做这一实际运动的分运动。

说明：物体实际运动的位移、速度、加速度称为合位移、合速度、合加速度。物体分运动的位移、速度、加速度就叫分位移、分速度、分加速度。(2)实验与探究：运动的独立性

实验要点提示：①安装弧形轨道时，务必使槽口水平，从而让小球能被水平抛出。检查槽口是否水平，可以将小球静置于轨道的末端，若小球能随意平衡，则说明槽口已水平。②两个水平轨道的出口应在同一竖直线上。③为使两个小球能有相同的初速度，注意应使两个电磁铁离槽口高度相同。④桌面应比较光滑平整，使得小球在桌面上能做匀速直线运动。实验过程如图3-1-1所示，同时由静止释放两个小铁球P和Q，轨道M、N是等高的，末端水平在同一竖直线上。只改变轨道M整体的高度，P、Q两球总在水平面上相碰。实验结果表明小球在竖直方向的运动并不影响它在水平方向上的运动。图3-1-1

【解析】本题考查物体的运动合成问题。当油滴离开车厢顶部时，油滴水平方向不受力，做匀速直线运动；油滴竖直方向受重力，做自由落体运动。两方向上的运动各自独立，互不影响。设油滴离开车厢顶部时，车速为v0，油滴落到车厢上的时间为t，这段时间油滴水平位移为s1=v0t；车的水平位移为s2=v0t-(1/2)at2；因为s1>s2，所以油滴落在O点右方，距O点距离s=s1-s2=v0t-[v0t-(1/2)at2]而h=1/2gt2，得t=，所以得s=(1/2)at2=(1/2)a·()2=。图3-1-2【例1】如图3-1-2所示，高为h的车厢在平直轨道上匀减速向右行驶，加速度大小为a，车厢顶部A点处有油滴滴落到车厢地板上，车厢地板上的O点位于A点正下方，则油滴落在地板上的点必在O点____(填“左”或“右”)方，离O点距离为_____。右

1B小船在静水中速度为v，现在小船要渡过一条河流，渡河时小船垂直对岸划行。若小船划行至河中间时，河水流速忽然增大，则渡河时间与预定时间相比，将()A.增长B.不变C.缩短D.无法确定学点2

运动合成与分解的方法运动的合成与分解遵循平行四边形定则运动的合成与分解包括位移、速度和加速度的合成与分解，这些描述运动状态的物理量都是矢量，对它们进行合成与分解时都要运用平行四边形定则。如果各分运动都在同一直线上，我们可以选取沿该直线的某一方向作为正方向，与正方向相同的矢量取正值，与正方向相反的矢量取负值，这时就可以把矢量运算简化为代数运算。例如《必修1》第2章里匀变速直线运动公式vt=v0+at和s=v0t+at2等都属于这种情况。如果各分运动互成角度，那就要作平行四边形，运用作图法、解直角三角形法等方法求解。研究运动的合成与分解的目的在于把一些复杂的运动简化为比较简单的直线运动，这样就可以应用已经掌握的有关直线运动的规律，来研究一些复杂的曲线运动，因而运动的合成与分解是解决复杂的曲线运动的一种基本方法。运动的合成：由分运动求合运动的过程。运动的分解：由合运动求分运动的过程。

注意：①运动的合成和分解实际上是描述运动的位移、速度、加速度的合成和分解，合成或分解各参量时，各参量必须是相对于同一参考系的。②运动的分解像力的分解一样，如无约束条件，一个运动可以分解为无数组分运动。在具体分解运动时，可按运动的实际效果分解。

注意：在具体问题中，物体实际所做的运动即是合运动，其余具有某一方面效果的运动则为分运动。

(1)如何确定一个运动的分运动求某一个运动的分运动叫做运动的分解，是运动合成的逆运算。如何确定一个运动的分运动呢？一般应按下列步骤：

①根据运动的效果(产生位移)确定运动分解方向；②应用平行四边形定则，画出运动分解图；③将平行四边形转化为三角形，应用数学知识求解。

(2)合运动的性质和轨迹①若初速度为v0、加速度为a的匀变速直线运动，可以看作是一个速度是v0的匀速直线运动和一个初速度为零、加速度为a的匀变速直线运动的合运动。例如：竖直上抛运动可以看成是竖直向上的匀减速直线运动和自由落体运动的合运动。②两个互成角度的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。因为两个分运动速度恒定(加速度为零)，所以其合速度也恒定(合加速度为零)。③互成角度的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动一定是曲线运动。④互成角度的两个匀变速直线运动的合运动，可能是匀变速直线运动(合速度与合加速度方向在一条直线上)，也可能是匀变速曲线运动(合加速度与合速度方向不在一条直线上)。

判断合运动是直线运动还是曲线运动，依据是物体所受的合外力或物体的合加速度与合速度方向是否在一条直线上，只要合外力或合加速度与合速度方向在一条直线上，物体的合运动一定是直线运动，只要合外力或合加速度与合速度方向不在一条直线上，物体的合运动一定是曲线运动。

(3)渡河类问题分析设河的宽度为d，船在静水中的速度为v船，水流的速度为v水，下面从两个角度分析船渡河问题。

a.渡河时间t①渡河时间t的大小取决于河岸的宽度d及船沿垂直河岸方向上的速度的大小。②若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。由图3-1-3可知，此时t短＝d/v船，船渡河的位移s=d/sin，位移方向满足tan=v船/v水。图3-1-3

b.渡河位移最短问题求解渡河位移最短问题，分为两种情况①若v水<v船，最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t=d/(v船sin)，船头与上游夹角满足v船cos=v水，如图3-1-4所示。图3-1-4

②若v水>v船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽d，寻找最短位移的方法是：如图3-1-5所示，按水流速度和船的静水速度大小的比例，先从出发点A开始做矢量v水，再以v水末端为圆心，v船为半径画圆弧，自出发点A向圆弧做切线为船位移最小时的合运动的方向。这时船头与河岸夹角满足cos=v船/v水，最短位移s短＝d/cos,过河时间t=

。

注意：①求渡河的最短位移时，要先弄清v船与v水的大小关系，不要盲目地认为最短渡河位移等于河岸的宽度。②渡河时间与水流速度大小无关，只要船头与河岸垂直，则渡河时间就最短。图3-1-5【解析】小船参与了两个运动，随水漂流和船在静水中的运动，因为分运动之间是互不干扰的，具有等时的性质，故(1)小船渡河时间等于垂直河岸的分运动时间

t=t1=d/v船=200/4s=50s。沿水流方向的位移s水=v水t=2×50m=100m，即在正对岸下游100m处靠岸。(2)要使小船垂直过河，即合速度应垂直于河岸，如图3-1-6所示，则cos=v水/v船=2/4=1/2。所以=60°，即航向与上游河岸成60°角。渡河时间t=d/v合=d/(v船sin)=200/(4sin60°)s=100/s=57.7s。【例2】小船在200m宽的河中横渡，水流速度为2m/s，船在静水中的航速是4m/s，求：(1)当小船的船头始终正对对岸时，它将在何时、何处到达对岸？(2)要使小船到达正对岸，应如何行驶？历时多长？【答案】

(1)50s对岸下游100m(2)航向与上游河岸成60°角57.7s图3-1-6

2一条河宽100m，水流速度为2m/s，一条船要从岸边A点渡河，船头所指方向与水流方向成60°角，已知船在静水中的速度为3m/s，求：(1)船渡河的时间；(2)船到达对岸的位置。【答案】

(1)38.5s(2)对岸下游134.7m处首先要分析小船的运动与纤绳的运动之间有什么样的关系，即哪个是合运动，哪个是分运动。【例3】如图3-1-7所示，纤绳以恒定的速度v

沿水平方向通过定滑轮牵引小船向岸边运动，则船向岸边运动的瞬时速度v0与v的大小关系是()A.v0>vB.v0<vC.v0=vD.以上答案都不对图3-1-7A

【解析】解法一：设某一时刻船的瞬时速度v0与纤绳的夹角为，根据小船的实际运动方向就是合速度的方向可知，v0就是合速度，所以小船的运动可以看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速率即等于v；二是垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度的值。这样就可以将v0按如图3-1-8所示方向进行分解，得：v0=v/cos。可见，小船向岸行驶的瞬时速度为v0=v/cos>v，所以应选A。解法二：如图3-1-9所示，在无限短时间间隔t内，船从A运动至A′，绳的端点B则移动了AB′距离，而AA′=AB′/cos，所以AA′/t=AB′/tcos，即v0=v/cos>v。图3-1-8图3-1-9

3如图3-1-10所示，用细绳跨过定滑轮拉水平面上的物体，某时刻，拉绳的速度为v1，物体在水平面上运动的速度为v2，此时拉物体的绳与水平面的夹角为，则v1与v2的关系。图3-1-10v1=v2cos在进行运动的合成与分