量子力学总复习-2014

第一公设：波函数公设“一个微观粒子体系的状态，用一个波函数ψ(x,t)来完全描述，它（可以）是粒子的坐标和时间的函数。而且在ψ(x,t)的分布区域中找到粒子的几率由dP=ψ∗ψdv表示，这里ψ∗为ψ的复数共轭。从而，ψ(x,t)在其分布区域中必须处处单值、连续、可微(除个别点、线、面之外)，对此区域的任意部分都是平方可积的。”体系的量子态用Hilbert空间中的态矢量表示。§2.1波函数的统计解释Hilbert空间中存在不同的力学量表象§4.1态的表象波函数的归一化问题波函数的性质，要求流密度的意义与应用波函数的意义，几率诠释，性质力学量本征态在自身表象中的表达波函数的几率解释波函数的要求。归一化几率及几率流密度

束缚态，非束缚态态矢态叠加原理希尔伯特空间第二公设：算符公设“各力学量(可观察的物理量)均分别以线性厄米算符表示。这些算符作用于态的波函数。在这种由力学量到算符的众多对应规则中，基本的规则是坐标x和动量p向它们算符、的对应。这个对应要求。”并不是所有量子力学的力学量算符都有经典力学量与之对应。，例如，量子力学中的自旋

§3.1表示力学量的算符§3.2动量算符与角动量算符第一公设和第二公设结合：如果有一个特殊的态存在，是的本征值为an的本征函数只要是可观察力学量，也即的本征函数构成完备集，则一定可用的本征函数族将任意态展开：Ex.自由粒子的动量算符的本征态定态本征函数完全系正交归一性定态特点，定态性质定态的叠加表象§3.5厄米算符本征函数的正交性力学量算符在表象中的表示第三公设：测量公设或平均值公设

“一个微观粒子体系处于波函数为的状态，若对它测量可观测力学量的数值，所测得的的平均值(期望值)为若ψ(r)是归一的，则§3.6力学量算符与力学量的关系平均值

的计算第一，平均值是指对大量相同的态作多次观测的平均结果。这里有所谓多次平均测量结果和单次测量结果。第二，如果不是算符的本征函数，只要是可观察力学量，也即的本征函数构成完备集，则一定可用的本征函数族展开：这里是的本征值为an的本征函数，在单次测量中，测得的数值必定总是的本征值之一，不可能是本征值以外的数值，这是和经典力学测量截然不同之处；得到该力学量某个本征值的几率是被测态波函数对该力学量本征态展式的相应系数的模方。作为决定几率权重的这些系数随被测态的演化可能会随时间变化。处于某力学量本征态下，对该力学量的测量取确定值。第三，即使在量子力学实验中，测量的数值总应当是实数(力学量的取值总应当是实数)，所以要求对任一波函数，均为实数。事实上这是被保证了的。因为是厄米算符，于是有第四，每次测量之后，态即受严重干扰，并总是向该次测量中所得本征值的本征态突变过去。就某一单次测量而言(除非已是该被测力学量的某一本征态)，究竟向哪个本征态突变，就象测得的本征值一样，是完全不能预先预言的。就是说，由测量引起的突变总是向被测力学量的本征态之一突变，而且这种突变是随机的、无法预计的、不可逆的、超出量子力学描述范围的。

第二公设和第三公设结合：厄米算符力学量算符矩阵的特点：厄米矩阵第四公设：微观体系动力学演化公设或Schrödinger方程公设

如果说在“测量公设”中所涉及的状态坍缩是随机的、不可预测的，不符合经典观念的因果律的话，那么在本公设中完全规定了状态波函数随空间和时间的变化规则。这里不存在任何随机的、不可预测的成分。就是说，描述状态的波函数是完全遵循经典观念下的因果律的。这两方面——态演化的决定论形式和态测量的随机坍缩形式的有机结合就是微观世界的新的因果律，是deBroglie波达到因果律。“一个微观粒子体系的状态波函数满足如下薛定谔方程这里为体系的哈密顿算符，又称为体系的哈密顿量，定态问题§2.3薛定谔(Schrödinger)方程几个薛定谔方程解析求解的体系：一维无限深势阱一维线性谐振子库伦场（氢原子）本征能量本征函数本征函数本征能量§2.6一维无限深势阱§2.7线性谐振子§3.3电子在库仑场中的运动§3.4氢原子能级的简并量子力学的第五个公设：全同性原理公设

全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的改变。描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。2

个Fermi子体系，其反对称化波函数是以但粒子波函数表示波色子费米子全同粒子

第一章黑体辐射谱密度光电发射康普顿散射经典物理理论结构特征绝对黑体：辐射、反射、吸收、谱波长红限普朗克常数所有本课提及的物理史的重要实验§1.0经典物理理论的内容与结构特征§1.1辐射（光）的微粒性波尔原子论（波三点）德布罗意波概念波长与波矢§1.3原子结构稳定性的Bohr理论定态满足量子化条件：原子具有能量不连续的E1,E2,......,En（稳）定（状）态；定态之间存在量子跃迁；同时将发射（吸收）一个光子。光子的频率：§1.4德布罗意wave-particleduality假设波粒二象性性的概念与表述，辨析错误“颗粒性”+衍射、干涉；叠加原理成立态：波函数的统计解释（几率和几率密度）、标准条件、归一化涵义§2.1波函数的统计解释§2.2态叠加原理态叠加原理表述，涵义（贯穿所有章节）混合态的几率§2.3薛定谔(Schrödinger)方程意义、形式（自由粒子、势场中）i的含义§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律三种密度三种流密度数学形式§2.5定态薛定谔方程（能量本征值方程）：所有体系的薛定谔方程：自由粒子、一维无限深势阱、一维线性谐振子、库伦场中的电子、氢原子的电子，本征波函数、本征值。定态薛定谔方程，及其意义、所有体系本征值、本征函数、归一化、简并与宇称第二章势垒贯穿概念，透射系数及其影响因素

§2.6一维无限深势阱§2.7线性谐振子本征波函数能量本征值定态Schrödinger方程：

§2.8势垒贯穿本征波函数本征能量：（1）波函数完全描述粒子的状态3.再论波函数的性质a.描写粒子的波函数ψ(r,t)已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即,dω(r,t)=|ψ(r,t)|2dτb.已知ψ(r,t)，则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道了，即，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。c.知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由Schrodinger方程即可确定以后时刻的状态。§3.1表示力学量的算符厄米算符的定义和性质算符的运算（和、积、等）、共轭

、转置、厄密共轭通过内积定义厄米算符的本征值和平均值为实数本征方程本征值Ψ称为其本征函数力学量算符为线性的厄米算符

第三章§3.2动量算符与角动量算符动量算符、角动量算符的本征方程问题动量算符的表达（表象有关）、本征波函数及其归一化、本征值。角动量算符的构成（坐标系有关）、本征波函数及其Ylm归一化、本征值。

的本征值：

的本征值:

（1）球谐函数系是与有共同的本征函数系（2）简并情况

的本征值仅由角量子数l确定，而本征函数却由l和m确定。对于一个l值，可取，共有2l+1个l值相同而m值不同的本征函数与同一个本征值对应。

即属于本征值的线性独立本征函数有2l+1个。因此,的本征值是2l+1度简并的。

§3.3电子在库仑场中的运动辏力场、有心力场、中心力场、库伦力场的关系。电子受核的吸引，其势为库仑势库伦场中电子的力场的Schrodinger方程：磁量子数

角量子数

主量子数电子处在束缚态时能量本征值和波函数3．电子的能量本征值与波函数是

的共同本征函数系关于能量简并度问题，与n的关系及其条件与力场的关系波函数的宇称问题，具有l宇称。§3.4氢原子氢原子外电子的Schrodinger方程：氢原子外电子的势能氢原子相对运动定态Schrodinger方程的解及其意义：氢原子核外电子的概率分布：径向分布、角分布§3.5厄密算符本征函数的正交性属于厄米算符的不同本征值的本征函数相互正交。§3.6算符与力学量的关系可能的测量值与几率、平均值的求法。内积：§3.7算符对易关系、两力学量同时可测的条件、测不准关系对易子、（注意顺序）基本力学量算符的对易关系、力学量同时有确定值的（必要）条件测不准关系(不确定原理)（HeisenbergUncertaintyPrinciple）§3.8力学量随时间的变化守恒律力学量守恒的条件1．坐标算符、动量算符的表示形式及它们间的对易关系；2．角动量算符的表示形式及相关的对易关系；3．动量算符本征函数的两种归一化：箱归一化和函数归一化；4．角动量算符的共同本征函数及所对应的本征值；5．正点电荷库仓场中电子运动的定态薛定谔方程及其求解的基本步骤；定态波函数的表达形式；束缚态的能级及其简并度；氢原子的能级、光谱线的规律；电子在核外的概率分布；电离能和里德伯常数；6．量子力学的力学量与厄米算符的关系；厄米算符的本征函数组成正交完备集；7．在什么情况下力学量具有确定值；力学量可能值、概率、平均值的计算方法，两个力学量同时具有确定值的条件；8．不确定关系及其应用；9．守恒量的判断方法。内容一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；两个假设：力学量用厄米算符表示；状态用厄米算符本征态表示，力学量算符的本征值为力学量的可测值三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；四个力学量算符的本征态及本征值：坐标算符，动量算符，角动量算符及能量算符（哈密顿算符）及它们的本征值。一个关系：力学量算符间的对易关系（特别是坐标算符与动量算符的对易关系，角动量算符对易关系）三个定理:

共同本征态定理（包括逆定理）不确定关系力学量守恒定理重点掌握内容展开系数：任一状态ψ可展开：在这样的表象中，Ψ可以用一个列矩阵表示：Hilbert空间：满足态迭加原理的状态全体构成的复线性空间态矢量：

Hilbert空间中的矢量，即体系的状态波函数视为一个矢量称为态矢量（简称态矢）第四章§4.1态的表象坐标表象动量表象§4.2算符的矩阵表示显而易见，对角矩阵元为实数1．归一化条件2、平均值公式§4.3量子力学公式的矩阵表示3、本征值方程4.Schrodinger方程的矩阵形式设算符的正交归一本征函数系为

算符的正交归一本征函数系为幺正矩阵定义§4.4幺正变换幺正变换性质幺正变换不改变算符的本征值矩阵的迹不因幺正变换而改变。狄喇克符号刃矢|>─表示态矢量空间中一个态矢量,又称为右矢刁矢<|─表示对偶态矢量空间中一个态矢量,又称为左矢定义标积