简单的轴对称图形

10.2轴对称的认识1.简单的轴对称图形回顾思考1、轴对称与轴对称图形是否是同一回事？它们有何区别与联系？答：“轴对称”是指两个图形之间的形状与位置关系“轴对称图形”是指一个图形的形状。

2、一个轴对称图形的对称轴是否只有一条？答：不一定只有一条。

在纸上画出线段AB及它的中点O，再过O点画出与AB垂直的直线CD，沿直线CD将纸对折，看看线段OA与OB是否重合？大家动手折一折(一):??结论1:重合!(说明线段是轴对称图形)直线CD是对称轴!请观察直线CD与线段AB有何关系?直线CD是线段AB的对称轴，它垂直于线段AB，又平分线段AB，我们把这样垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线．

做一做做一做p192ABOCBCAOBDCAM1直线CD垂直平分AB．在直线CD上任取一点M1，连接M1A与M1B，想一想，如果我们把线段AB沿直线CD对折，线段M1A与M1B会重合吗？大家动手试一试:

如果在CD上再任取M2,M3,M4,M5.分别连接两端点,对折后是会重合?我们的探索有结论了!

线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．如图:若:CD⊥AB于C,且AC=BC则:MA=MB【让我们用几何语言表达】小结

线段是轴对称图形；线段的垂直平分线的性质:本节课你学到了什么?线段的一条对称轴是:线段的垂直平分线；

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

练习(1)如图，△ABC中，AD垂直平分边BC，AB=5，那么AC=?ABCD

尝试判断（1）如图，CDAB于D，则AC＝BC。（）ABCDABCD

尝试判断（1）如图，CDAB于D，则AC＝BC。（）ABCDABCD（2）如图，AD＝BD，则AC＝BC。（）尝试训练：1.如图所示：线段AB的垂直平分线MN与线段BC相交于D点，又知BC=13，则AD+DC=（）（A）10cm（B）13cm（C）15cm（D）不能确定ABCMND解:因为MN是线段AB的垂直平分线所以DA=DB

又因为BC=13

所以CD+DB=13

所以CD+DA=13BEDBCA解：∵DE是线段BC的垂直平分线，∴EC=EB∴△BCE的周长=EB+EC+BC=6+6+10=22。

△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，BE=6，求△BCE的周长．拓展练习6ED=6BE=6做一做（1）在一张纸上任意画一个角∠AOB

，AOB沿角的两边剪下将这个角对折，使角的两边重合。OA做一做p191（2）在折痕(即角平分线)上任意取一点C;(3)过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中点D是折痕与OA的交点，即垂足。(4)将纸打开，BBBBBCABABABABCDABABABABBACB

新的折痕与OB

的交点为

E。BBBCE想一想AOBOABBBBBCABABABABCDABABABABBAC（1）角是轴对称图形吗？角是轴对称图形，如果是，请找出它的对称轴；角的对称轴是角的平分线所在的直线。角平分线的性质BABBD（2）在上述的操作过程中，你发现了哪些线段相等？说说你的理由。若:∠BOC=∠AOCCE⊥OBCD⊥OA则:CE=CD

角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BCE在折痕上另取一点，再试一试。随堂练习随练习堂1、如图，在Rt△ABC中，做完本题后，你对角平分线（垂直平分线）又增加了什么认识?

思考

角平分线与垂直平分线的性质，为我们证明两线段相等又提供了新的方法与途径。ABCBD是∠B的平分线，DE⊥AB，垂足为E，EDE与DC

相等吗？D答：DE=BC。∵DC⊥BC，垂足为E，∵DE⊥BA，垂足为E，BD是∠ABC的平分线（D在∠ABC的平分线上）∴DE=BC。为什么？接拓展练习拓展练习拓展练习

如图，在△ABC中，∠C等于900，AB的中垂线DE交BC于D，交AB于E，连接AD，若AD平分∠BAC，找出图中相等的线段，并说说你的理由。ACBDE你能找到图中特殊的三角形吗?你能找到图中相等的角吗?解：∵AB的中垂线DE交BC于D，交AB于E，∴

EB=EA，DB=DA；∵

AD平分∠BAC，DC⊥AC、DE⊥AB，∴

DC=DE。Rt△AcD、Rt△AED、Rt△ACB、Rt△BED、等腰△DBA。拓展练习尺规作线段的中垂线拓展练习观察领悟作法，探索思考证明方法：ABCD拓展练习尺规作角的平分线拓展练习观察领悟作法，探索思考证明方法：ABCCEFG

某一个星期六，某中学初一年级的同学参加义务劳动，其中有四个班的同学分别在M、N两处参加劳动，另外四个班的同学分别在道路AB、AC两处劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个荼水供应点P

，使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN，请你找出点P的位置，并说明理由。AMBNC拓展练习PABC6米8米阵型训练:姚明,科比,奥尼尔三大球星正在进行阵型训练,姚明距离奥尼尔6米,奥尼尔距离科比8米,现在篮球先从姚明传给奥尼尔,奥尼尔再将球分给科比,最后,科比将球回切给姚明,让姚明上篮得分，此时姚明恰好站在科比与奥尼尔连线的垂直平分线上，请问篮球所经过的路程是多少?奥尼尔科比姚明ABC6米8米姚明,科比,奥尼尔三大球星正在进行阵型训练,姚明距离奥尼尔6米,奥尼尔距离科比8米,现在篮球从姚明传给奥尼尔,奥尼尔再将球分给科比,最后,科比将球回切给姚明,让姚明上篮得分，这时姚明恰好站在科比与奥尼尔连线的垂直平分线上，请问篮球所经过的路程是多少?阵型训练:

解：因为

C在线段AB的中垂线上因为

AC=BC又因为

AC=6所以BC=6所以AB+BC+AC=8+6+6=20

ABCD200米姚明和科比通过绕障碍物跑进行体能训练.姚明绕的路线是:ABCA科比绕的路线是:ABDAC点恰好在线段AD的中垂线上.AD=200米.科比共跑了500米.请问姚明共跑了多少米?体能训练:姚明科比利用线段中垂线的性质来解决实际应用题时,可以将一条线段变换为另一条与之相等的线段,从而改变解决问题的途径,使问题由难变易!总结:⑴在△ABC中,画出AB和BC边的中垂线.⑵设画出的两条中垂线的交点为O,连结OA，OB。则由于点O在AB的垂直平分线上,可知哪两条线段相等?⑶连结OC，由于点O在BC边上的中垂线上,又可得到什么结论?⑷由⑵⑶的结论,又可引出什么新结论?⑸再作AC边的中垂线，是否过O点?做一做.成功就在你身边!OCBA发现1:OA=OB=OC发现2:三角形三边的中垂线必交于一点ABCD姚明与科比、奥尼尔、加内特进行传球训练:请问当姚明处于什么位置时，他分别给三人的传球距离都相等？传球训练:加内特科比姚明奥尼尔ABCD姚明与科比、奥尼尔、加内特进行传球训练:请问当姚明处于什么位置时，他分别给三人的传球距离都相等？传球训练:结论：姚明应站在三人连线的中垂线交点上！MAB

在NBA全明星赛训练营,姚明,科比,奥尼尔三大球星正在练习传球,问科比应处在什么位置时,恰使球传给姚明和传给奥尼尔的距离相等?NBA传球训练:科比奥尼尔姚明中心广场南街新世纪外国语学校新天地ＡＢＡ′Ｍ数学策划：麦当劳策划在南街上开设分店。为了方便顾客，总部要求分店经理在选址时必须使分店到新世纪学校与分店到阳光天地的距离要相等？如果你作为分店经理,你应该怎样选址?Ｍ麦当劳策划在南街上开设分店。为了方便顾客，总部要求分店经理在选址时必须使分店到新世纪学校与分店到阳光天地的距离之和最小？如果你作为分店经理,你又应该怎样选址?通过本课的学习1、你发现了什么......2、你体验到了什么......3、你有何收获......4、能反思一下你所获成功的经验吗?

(课后写好数学日记!)课堂小节:请用今天的成功经验去探索一些其他的轴对称图形(例如:圆,等腰三角形等)认真完成数学作业本§9.2内容.课后,可以适当关心一下姚明和篮球,因为篮球和数学一样,能带给我们快乐.特别是学习姚明的那种从不放弃任何学习的机会的精神!建议作业:角平分线

学习新知

我们曾经用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点的性质，你还记得角平分线上的点有什么性质吗?

角平分线上的点到这个角两边的距离相等.结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性质的证明过程吗？

已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.

求证:PD=PE.CB1A2PDEO

证明：∵OC是∠AOB的平分线∴∠1=∠2∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO∵OP=OP∴△OPD≌△OPE(AAS).∴PD=PECB1A2PDEO定理：

角平分线上的点到这个角的两边距离相等.提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.几何语言，如图,∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).CB1A2PDEO′思考分析

你能写出“上述定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗?逆命题：

在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.请你证明它是不是真命题?已知:如图所示,PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:点P在∠AOB的平分线上.BADEOP证明：作射线OP,

∵PD⊥OAPE⊥OB

∴△POD和△BPOE都是Rt△

∵PD=PE,OP=OP

∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)

∴∠POD=∠POE

∴OP是∠AOB的平分线BADEOP

逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.如图,∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).CB1A2PDEO

已知:∠AOB,如图.

求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.

用尺规作角的平分线.

1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.3.作射线OC，则射线OC就是∠AOB的平分线.

ABOCDE作法:

观察这三条角平分线,你发现了什么?作三角形的三条角平分线：

定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.（这个交点叫做三角形的内心）

挑战自我1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外