第四章根轨迹法

第四章复域分析法——根轨迹法基本内容及要求

1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。4.正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系，初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。能熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、二阶系统给出定量估算。根轨迹法：根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由开环传递函数的零、极点求出闭环传递函数极点（闭环特征根）的运动轨迹。

闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。4－1根轨迹的基本概念定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。根轨迹的分类：当闭环系统为正

反馈时，对应的轨迹为零

度根轨迹；而负反馈系统的轨迹为1800

根轨迹。一、根轨迹定义如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：例开环传递函数有两个极点。

没有零点，开环增益为K。闭环特征方程为：闭环特征根为：闭环传递函数为：

从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化而变化。例如，设：K=0K=0.5K=1K=2.5K=+∞

如果把不同K值的闭环特征根布置在s平面上，并连成线，则可以画出如图所示系统的根轨迹。二、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系如图所示系统闭环传递函数为：将前向通道传递函数G(s)表示为：

为前向通道增益，为前向通道根轨迹增益。

式中为反馈通道的根轨迹增益。闭环传递函数:分别为闭环零、极点。式中：比较开环和闭环传递函数可得出以下结论:闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成；闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨迹增益有关。根轨迹法的任务是在已知开环零、极点分布的情况下，通过图解法求出闭环极点。三、根轨迹方程根轨迹方程

G(s)H(s)=-1

式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表示出开环传递函数与闭环极点的关系。闭环特征方程

D(s)=1+G(s)H(s)=0

闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。

设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定n≥m，G(s)H(s)可以写成：

根轨迹方程为关于s的复数方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。相角方程模值方程注意

在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹，而模值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点的值。

模值方程不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。

相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。

根轨迹方程还可以表示为一个向量方程，用模和相角的形式表示：

由此可得到满足系统特征方程的幅值条件和相值条件为：幅值条件：相角条件：

综上分析，可以得到如下结论：⑴绘制根轨迹的幅值条件与系统开环根轨迹增益值的大小有关。即开环根轨迹增益值的变化会改变系统的闭环极点在s平面上的位置。⑵绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益值的大小无关。即在s平面上，所有满足相角条件点的集合构成系统的根轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的主要依据。⑶在系统参数全部确定的情况下，凡能满足相角条件和幅值条件的s值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点。⑷由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传递函数有关，因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。例4-1它们应满足相角方程。已知系统的开环传递函数试证明复平面上的点

是该系统的闭环极点。

若系统闭环极点为证明：该系统的开环极点图4－4例4－1开/闭环零、极点分布图(k=0)以为试验点，可得：以为试验点，观察图4－4，可得：图4－4证毕可见，都满足相角方程，所以，点是闭环极点。例4－2已知系统开环传递函数当变化时其根轨迹如图4-5所示，求根轨迹上点所对应的K值。解:根据模值方程求解值模值方程：图4-5根据图4－5可得所以图4-5上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点对应的值。根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。知识回顾根轨迹法的定义：在已知开环零、极点时，求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布。根轨迹作用系统的稳定性系统的稳态性能系统的动态性能4－2绘制根轨迹的基本法则系统的开环传递函数为：当A和kg取不同值时，绘出的根轨迹是什么类型的根轨迹。分以下几种情况说明：

Kg为常数，A为变数时，为参量根轨迹；

A为常数，kg为变数时，为常规根轨迹（包括180度和0度根轨迹）；

kg为变数，当kg>0时，若A>0，则为180度根轨迹；若A<0，为0度根轨迹。

kg为变数，当kg<0时，若A>0，则为0度根轨迹；若A<0，为180度根轨迹。绘制根轨迹的基本规则绘制普通根轨迹的基本规则主要有7条：

根轨迹的起点与终点；根轨迹的分支数；

实轴上的根轨迹；根轨迹的渐近线；

根轨迹的分离点；

根轨迹的起始角和终止角；

根轨迹与虚轴的交点。

以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹（或一般根轨迹）。

规则一

根轨迹的起点和终点幅值条件可写成:当，必须有：

此时，系统的闭环极点与开环极点相同(重合)，把开环极点称为根轨迹的起点，它对应于开环根轨迹增益。当时，必须有幅值条件可写成:

此时,系统的闭环极点与开环零点相同(重合),把开环零点称为根轨迹的终点,它对应于开环根轨迹增益。

下面分三种情况讨沦。

1．当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。

2．当m<n时，即开环零点数小于开环极点数时，除有m条根轨迹终止于开环零点(有限零点)外，还有n-m条根轨迹终止于无穷远点(无限零点)。

3．当m>n时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极点(有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(无限极点)。这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。

规则二根轨迹的分支数、连续性和对称性

根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在S平面上的分布，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。系统开环根轨迹增益(实变量）与复变量s有一一对应的关系，当由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的。因此，根轨迹是n条连续的曲线。

由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根；若它的特征方程的根为实数，则在实轴上。因此，根轨迹总是对称于实轴的。结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。

若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。例4-3

设系统的开环传递函数为

中、、、、为实极点和实零点，为共轭复数零、极点，它们在s平面上的分布如下页图所示，试分析实轴上的根轨迹与开环零点和极点的关系。

规则三实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹必须满足绘制根轨迹的相角条件，即：p1p2p3p5p4z1z2z4z3j0开环零极点分布图p1p2p3z1z2j0实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹

选择so作为试验点。开环极点到s0点的向量的相角为：开环零点到s0点的向量的相角为：p1p2p3p5p4z1z2s0z4z3j0θ1φ3φ1φ4φ2θ4θ3θ2φ3

实轴上，s0点左侧的开环极点P3和开环零点z2构成的向量的夹角均为零度，而s0点右侧的开环极点P1、P2和开环零点z1构成的向量的夹角均为180o。若s0为根轨迹上的点，必满足：

结论：只有s0点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之和为奇数时，才满足相角条件。

在确定实轴上的根轨迹上时，不考虑复数开环零、极点对相角的影响。p1p2p3p5p4z1z2s0z4z3j0θ1φ3φ1φ4φ2θ4θ3θ2φ3规则四根轨迹渐近线

当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线。因此，渐近线也有n-m条，且它们交于实轴上的一点。规则四根轨迹渐近线

渐近线与实轴的交点位置和与实轴正方向的交角分别为:在例4-1中，开环传递函数为开环极点数n=2,开环零点数m=0,n-m=2,两条渐近线在实轴上的交点位置为它们与实轴正方向的交角分别和，两条渐近线正好与时的根轨迹重合。

例4-4

已知系统的开环传递函数为：

试画出该系统根轨迹的渐近线。解：对于该系统有n=4，m=1，n-m=3；三条渐近线与实轴交点位置为：它们与实轴正方向的交角分别是：

渐近线如图4-3所示。图4-3根轨迹的渐近线

当系统开环增益由零到无穷大变化时，两条根轨迹先在实轴上相向运动(0≤＜0.5),相遇在点，当＞0.5后，离开实轴进入s平面，且离开实轴时，根轨迹与实轴正交。称该点为根轨迹的分离点。实际上，点是系统特征方程的等实根。一般，常见的根轨迹分离点是位于实轴上两条根轨迹分支的分离点。

规则五根轨迹的分离点

例：分析系统

若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间（其中一个可以是无限极点），则在这两个极点之间至少存在一个分离点；若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一个可以是无限零点），则在这两个零点之间也至少有一个分离点。如图4-5上的分离点和。分离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上，如图4-6中的分离点A和B。复平面上的分离点表明系统特征方程的根中至少有两对相等的共轭复根存在。图4-5实轴上根轨迹的分离点

图4-6复平面上的分离点

对上式求导可得：

规则证明！

由上面分析可知，根轨迹的分离点，实质上就是系统特征方程的等实根（实轴上的分离点）或等共轭复根（复平面上的分离点）。系统的特征方程可写成：式中，为开环零点的数值，为开环极点的数值。分离点方程对于一个n阶系统，可解得到n-1个根分离点：方程的另一种形式为：当开环系统无有限零点时，则在中，取。分离点方程即为：。注：只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点。即解得，位于实轴根轨迹上（由0到-2的线段上），故它是实轴上的分离点。对于系统：例4-5

已知系统的开环传递函数为：

试求出系统根轨迹与实轴的交点。

由规则五知，实轴上的根轨迹为-1到-2线段和-3到-∞线段。不在上述两线段上，应舍去。解：本系统无有限开环零点，可得分离点方程为：

即：解出：

是实轴根轨迹上的点，所以是根轨迹在实轴上的分离点。运用前面的六条规则，可绘制如图4-7所示的根轨迹图。图4-7根轨迹的分离点

规则六起始角与终止角定义如下：⑴起始角根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正方向的夹角。参看图4-8(a)中的和。⑵终止角根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。参看图4-8(b)中的和。图4-8(a)根轨迹的起始角图4-8(b)根轨迹的终止角通过例4-6来分析起始角与终止角的大小。例4-6

已知系统的开环传递函数为且p1和p2为一对共轭复数极点，p3和z1分别为实极点和实零点，它们在s平面上的分布如图4-9所示。试依据相角条件求出根轨迹离开开环复数极点p1和p2的起始角和。由于A点无限靠近P1点，对于根轨迹上无限靠近p1的点A，由相角条件可得：可得：[s]swj1z1p2p3p)(31pp-Ð)(21pp-Ð)(11zp-Ð01pqA图4-9起始角的求取推广为一般情况可得求起始角的关系式为：同理，可得到求终止角的关系式为：规则七根轨迹与虚轴的交点

根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。用代入特征方程可得：即：由此可得虚部方程和实部方程为：

的物理含义是使系统由稳定（或不稳定）变为不稳定（或稳定）的系统开环根轨迹增益的临界值。它对如何选择合适的系统参数、使系统处于稳定的工作状态有重要意义。

解此方程组可得角频率，即根轨迹与虚轴的交点的坐标值；用代入实部方程，可求出系统开环根轨迹增益的临界值。解：由例4-5知系统的开环传递函数为其虚部方程和实部方程分别为：例4-7

试求出例4-5中根轨迹与虚轴的交点及相应的开环根轨迹增益的临界值。

解虚部方程得：由于不是根轨迹上的点，应舍去。故为根轨迹与虚轴的两个交点。

将其代入实部方程便可求出系统开环根轨迹增益的临界值：

当系统的阶次较高时，解特征方程比较困难，可用劳斯判据求出系统开环根轨迹增益的临界值和根轨迹与虚轴的交点。系统的根轨迹如图4-10所示。图4-10根轨迹与虚轴的交点wj[s]1p2p3p-1-2-30)60(3.3=rcKj∞rKds∞rK)60(3.3=rcK-j根轨迹绘制法则规则一

根轨迹的起点和终点规则二根轨迹的分支数、连续性和对称性规则三实轴上的根轨迹规则四根轨迹渐近线规则五根轨迹的分离点

规则六根轨迹的起始角与终止角规则七根轨迹的与虚轴的交点注意以下几点规范画法：⑴根轨迹的起点（开环极点)用符号“”标示；根轨迹的终点(开环零点

)用符号“o”标示。⑵根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益值的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。⑶要标出一些特殊点的值，如起点（)，终点（)；根轨迹在实轴上的分离点d()；与虚轴的交点（）。还有一些要求标出的闭环极点及其对应的开环根轨迹增益，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析与综合。分离角与会合角补充规则分离角是指根轨迹离开分离点处的切线与实轴正方向的夹角。分离角计算公式：会合角是指根轨迹进入分离点处的切线与实轴正方向的夹角。会合角计算公式：实轴上双重极点的两条根轨迹对实轴的分离角为：实轴上双重极点的两条根轨迹对实轴的分离角为：例分离角与会合角不必经公式计算，可用以下简单法则确定：若有条根轨迹进入d点，必有条根轨迹离开d点；

条进入d点的根轨迹与条离开d点的根轨迹相间隔；任一条进入d点的根轨迹与相邻的离开d点的根轨迹方向之间的夹角为；

只要确定d点附近的一条根轨迹的方向，由上述规律就可以方便地确定d点附近所有的根轨迹方向，而确定d点附近根轨迹方向的方法可根据根轨迹的对称性或取试验点用相角条件来验证。wj[s]1p2p3p-1-2-30)60(3.3=rcKj∞rKds∞rK)60(3.3=rcK-j任一条进入d点的根轨迹与相邻的离开d点的根轨迹方向之间的夹角为；

进入分离点d的回合角为00、1800，则从d点离开的根轨迹的分离角度为：根之和与根之积如果系统特征方程写成如下形式:若，根之和与开环根轨迹增益无关；

闭环特征根的负值之和，等于闭环特征方程第二项系数。即：。根之和不变——若增大或减小，则一些根轨迹发生移动必然有另一些向相反的方向移动。

在开环极点已确定不变的情况下，其和为常值。因此，n-m2的系统，当增益Ｋ的变动使某些闭环极点在s平面上向左移动时，则必有另一些极点向右移动，这样才能保证极点之和为常值。这对于判断根轨迹的走向很有意义。闭环特征根之积乘以，等于闭环特征方程的常数项。即：开环根轨迹增益的计算如果系统闭环根sk确定，则有:解：将开环传递函数写成零、极点形式：绘制根轨迹规则的应用例4－8：设一单位负反馈系统的开环传递函数为

求时的闭环根轨迹。法则二，有两条根轨迹；法则一，两条根轨迹分别起始于开环极点0、－2，一条终于有限零点－1，另一条趋于无穷远处；法则三，在负实轴上，0到－1区间和－2到负无穷区间是根轨迹；按绘制根规迹法则逐步进行：最后绘制出根轨迹如图所示：例4-9：已知系统的开环传递函数试根据渐近线法则，求出根轨迹的渐近线。极点解：零点按照公式得：以下是几种常见的根轨迹渐近线对应的开环传递函数：(a)(b)(c)n=4，有四条根轨迹；

四条条根轨迹分别起始于开环极点

(-1-j1),(-1+j1)，0，－4；一条终于有限零点－1，另外三条终于无限零点；其中P1到Z1，P2到－为实轴上的根轨迹。

确定渐近线及其与实轴交点试绘制该系统的概略根轨迹根轨迹的起始角和终止角计算

判断有无分离点或会合点解得：根轨迹与虚轴交点将代入，得到实部方程和虚部方程：（舍去）根轨迹绘制法则规则一

根轨迹的起点和终点规则二根轨迹的分支数、连续性和对称性规则三实轴上的根轨迹规则四根轨迹渐近线规则五根轨迹的分离点

规则六根轨迹的起始角与终止角规则七根轨迹的与虚轴的交点例4－10：设系统开环传递函数试绘制系统概略根轨迹。解：将开环零、极点画在s平面上，逐步画图。极点：零点：n=2，有两条根轨迹；

两条根轨迹分别起始于开环极点

(-1-j2),(-1+j2)；终于开环零点

(-2-j),(-2+j)

确定起始角,终止角。根轨迹的起始角和终止角计算：离开复平面极点的初始角为:终止于复平面零点的终止角为:作出起始角和终止角：此系统根轨迹如图所示：例4－11：已知系统的开环传递函数试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d，并概略绘制出根轨迹图。解：根据系统开环传递函数求出开环极点和零点按步骤：n=2,m=1,有两条根轨迹两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环零点和无穷远零点实轴上根轨迹位于有限零点－1和无穷零点之间，因此判断有分离点。渐近线（舍去）

求分离点坐标d离开复平面极点的初始角为：

根据“实轴上的根轨迹”法则可知，－1零点右侧都是根轨迹，因此计算出分离点和渐近线。此系统根轨迹如图所示：例4－12：设系统开环传递函数为试绘制闭环系统的概略根轨迹。解：按步骤画图n=4,m=0有4条根轨迹各条根轨迹分别起于开环极点0，-3，-1+j1,-1-j1；终于无穷远实轴上的根轨迹在0到-3之间渐近线确定分离点d解方程得：（舍去）确定起始角确定根轨迹与虚轴的交点令代入上式:解得闭环系统的特征方程为:根轨迹:例4-13已知单位负反馈系统开环传递函数为试画出时的闭环系统的概略根轨迹，并求出时的闭环传递函数及闭环极点。解:根据根轨迹绘制法则，按步计算：n=4，有四条根轨迹；起始于开环极点0，-20，-2-j4,-2+j4，终于无穷远处；实轴上的根轨迹在（0，-20）区间；n=4,m=0,则有4条根轨迹趋于无穷远处，计算渐近线与实轴交点和方位角。取:渐近线与实轴的交点和夹角为:根轨迹的起始角。解得

分离点坐标d。舍根轨迹与虚轴交点。系统特征方程：解得则两个闭环极点令代入此时特征方程为：可求出另外两个闭环极点:根轨迹图：常见闭环系统根轨迹图常见闭环系统根轨迹图4－3利用根轨迹分析系

统的动态性能频域分析法：由开环→闭环极点的根轨迹求闭环极点闭环系统动态性能确定闭环传函由时域分析法可知:闭环零极点的分布直接影响系统的性能。一、闭环零、极点表示的阶跃响应表达式Ｎ阶系统的闭环传递函数可写为：设输入为单位阶跃：r(t)=1(t),有：假设(s)中无重极点，上式分解为部分分式将C(s)表达式进行拉式反变换得：从上式看出，系统单位阶跃响应将由闭环极点及系数决定，而系数也与闭环零、极点分布有关。二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系稳定性所有闭环极点位于s平面的左半部；快速性

闭环极点远离虚轴；以一阶系统、二阶系统为例进行说明（2）二阶系统Ts=3T,系统快速性好，要求T小一些，即闭环极点远离虚轴。（1）一阶系统

系统快速性好，要求闭环极点远离虚轴。欠阻尼时，动态过程尽快消失

小，闭环极点之间间距大,闭环零点与闭环极点间间距小。复数极点设置在s平面中与负实轴成夹角线附近；平稳性三、主导极点和偶极子主导极点：就是对动态过程影响占主导地位的极点，一般是离虚轴最近的极点。偶极子：就是一对靠得很近的闭环零、极点。可以适当引入闭环零点，与闭环极点构成偶极子，抵消对动态性能影响较大的不利极点。试近似计算系统的动态性能指标。解：这是三阶系统，有三个闭环极点其零、极点分布如图所示。例4-14：某系统的闭环传递函数为四、利用主导极点估算系统的性能指标

极点s1离虚轴最近，所以系统的主导极点为s1，而其他两个极点可以忽略。这时系统可以近似看做是一阶系统。传递函数为:式中：T=0.67s一阶系统无超调调节时间根据时域分析可知:例4-15系统闭环传递函数试估计系统的性能指标。解：系统的闭环零极点为

与构成一对偶极子闭环零、极点分布如图所示:系统近似为二阶系统对应性能指标例4-16

已知系统开环传递函数为试应用根轨迹法分析系统的稳定性，并计算闭环主导极点具有阻尼比0.5时的性能指标。解：按步骤作出系统的根轨迹，如图所示。分析系统稳定性

在平面上画出时的阻尼线。阻尼线与根轨迹交点的坐标设为，从图上测得，与之共轭的复数极点为。

已知系统闭环特征方程及两个极点，用根之和求出第三个极点。使系统稳定的开环增益范围是:s1、s2为闭环主导极点。求系统的近似闭环传递函数：系统闭环传递函数近似为二阶系统二阶系统在单位阶跃信号作用下的性能指标：五、系统阶跃响应的根轨迹分析例4-17

已知一系统结构如下图所示，要求：