第五章异方差问题

第五章异方差第一节异方差问题及其影响第二节

异方差的检验第三节

异方差问题的补救措施经典线性回归模型的一个很重要的假定是随机项的同方差性，这是保证OLSE有效性的重要假定，也是显著性检验和置信区间构造的前提条件。本章中，我们分析如果此假定不成立将会出现什么后果，以及如何对此进行检验与补救等问题。2/6/20231山东财经大学统计学院计量经济教研室学习目标4.了解修正异方差性的主要方法，掌握加权最小二乘法，理解怀特异方差--稳健估计量及其应用。3.了解异方差检验基本思路及各检验方法的假设条件；熟练掌握戈德菲尔德－匡特检验、怀特检验以及布殊-帕甘检验；2.理解出现异方差性时使用OLS的后果；1.了解异方差性的含义及产生的原因；学习本章后,您应该做到：2/6/20232山东财经大学统计学院计量经济教研室1、异方差概念与异方差性时对OLS的影响；异方差性的修正及其EViews软件操作方法。难点：学习重点与难点学习重点：2、异方差检验基本思路及各检验方法的假设条件与检验步骤；4、怀特异方差--稳健估计量及其应用；3、异方差问题的处理----加权最小二乘法2/6/20233山东财经大学统计学院计量经济教研室第一节异方差问题及其影响、异方差及其产生的原因

经典线性模型中高斯－马尔科夫假定中重要的一个假定是同方差假定（假定SLR.4和MLR.5），即对于给定自变量的取值（一元回归是一个值，多元回归是一组值），的条件方差都是同一个常数：（假定SLR.4或假定MLR.5）若对于给定解释变量的值为条件的随机项的方差不再是一个常数，而是取得不同的数值，即：(5.1)2/6/20234山东财经大学统计学院计量经济教研室图5.1异方差示意图

xyf(y)则称随机误差项u具有异方差性(Heteroscedasticity)。如果被解释变量观测值的分散程度是随解释变量的变化而变化的，如图5.1所示，可以把异方差看成是由于某个解释变量的变化而引起的，则2/6/20235山东财经大学统计学院计量经济教研室

由于经济现象是错综复杂的,所以同方差性的假定往往不符合实际情况，而异方差是大量存在的。例如，考虑家庭的可支配收入和储蓄的关系，如建立如下家庭收入－储蓄模型

yi

=0+1

xi+ui其中：yi：第i个家庭的储蓄额xi：第i个家庭的收入

从二者的关系不难看出，当收入增加时，平均储蓄也会随之增加。如果我们对不同收入水平家庭的储蓄进行观察，同样也会发现，低收入的家庭储蓄差异性较小，而高收入的家庭储蓄的差异性较大。这是因为低收入的家庭，其收入中扣2/6/20236山东财经大学统计学院计量经济教研室除必要的生活支出以外，用于其他支出和储蓄的部分也较少，因此随机项波动的程度小，即差小；而高收入家庭，其收入中扣除必要的生支出以外，剩余的就较多，就有更大的使用选余地，因而随机项波动的程度就大，这样储蓄差异就较大，即方差大。因此，对于家庭收入－储蓄模型，

随机项方差性。可用图5-2表示。具有异2/6/20237山东财经大学统计学院计量经济教研室yx图5.2收入-储蓄模型中的异方差可以看出，储蓄y的离散程度随收入x的增加而增大，具有明显的异方差性。2/6/20238山东财经大学统计学院计量经济教研室例:以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型

Q=AKαLeu其中，Q为产出量，K为资本，L为劳动力，u为随机项。

u在该问题中表示了包括不同企业在设计上、生产工艺上的区别，技术熟练程度和管理上的差别以及其它因素。这些因素在小企业之间差别不大，而在大企业之间，这些因素都相差甚远，即随机项的方差随着解释变量的增大而增大。

2/6/20239山东财经大学统计学院计量经济教研室一般而言，产生异方差的原因主要来自以下几个方面：1．模型中省略的解释变量。

例如，模型本来应当为假如被略去了，而采用了模型当被略去的有呈同方向或反方向变化的趋势

的有规律变化会体现在上式的时，如果将某些未在模型中出现的重要影响因素归入随机误差项，而且这些影响因素的变化具有差异性，则会对被解释变量产生不同的影响，从而导致误差项的方差随之变化，即产生异方差性。注意模型设定偏误2/6/202310山东财经大学统计学院计量经济教研室（以后将介绍）往往从表象看像是异方差问题，其实是由于模型中的一些重要变量被忽略了。例如，在一个对商品的需求函数中，如果没有把有关的互补品和（或）替代品价格包括进来（遗漏变量偏误），则回归残差可能给人以异方差的表面印象；而当模型把所忽略的变量包括进来时，这种现象也许会消失。2.测量误差。一方面，由于解释变量取值越大，测量误差就会趋于增大；另一方面，测量误差又有可能随时间而变化，比如测量技术、抽样技术和数据采集技术等的不断改进，测量误差有可能减少。例如，有成熟的数据处理设备的银行，在为客户提供的月度或季度报表中，相对于没有这种设备的银行，会出现更2/6/202311山东财经大学统计学院计量经济教研室少的差错。3.模型中一个或多个回归元的分布偏态（Skewness)，即截面数据中总体各单位的差异。诸如收入、财富和教育等经济变量都是很好的例子。例如前面所举的家庭收入－储蓄模型，如果采用不同家庭收入组的数据，低收入组的家庭储蓄的差异较小，高收入的家庭储蓄差异较大，最终反映为随机项偏离其均值的程度有变化而出现异方差。异方差性在截面数据中比在时间数列中可能更常出现，这是因为同一时点不同对象的差异，一般说来会大于同一对象不同时间的差异。2/6/202312山东财经大学统计学院计量经济教研室4.模型函数形式设定错误。如把变量间本来为非线性的关系设定为线性，也可能导致异方差。5.异方差性还会因为异常观测（outliers）的出现而产生。一个超越正常范围的观测值称为异常观测，是指和其他观测值相比相差很多（非常小或非常大）的观测值。包括这样一个观测值，尤其是小样本时，会在很大程度上改变回归分析的结果。2/6/202313山东财经大学统计学院计量经济教研室二、异方差产生的后果如果模型中存在异方差，将产生以下的后果：最小二乘估计量仍然是线性无偏的与一致的，但不再具有最小方差性。事实上OLS本身对条件方差没有任何要求，所以它们适用于异方差的一般情况，也适用于同方差的特殊情况。因此，不管误差是同方差还是异方差，OLSE估计量都是无偏的、一致的和渐进正态的。但在异方差下能够找到比OLSE的方差更小的估计量，也就是说，OLSE不再是最优的，即使对大样本也是如此。2.随机项的方差的估计是有偏的。

当ui是同方差时，未知的条件方差是一个常数，其2/6/202314山东财经大学统计学院计量经济教研室无偏估计量是而当ui是异方差时，是变化的，如果这时仍用一个不变的值估计可以取不同数值的显然是不合适的：，

有些观有些观测点可能测点可能所以是的有偏估计，而且在异方差条件下，也不存在的无偏估计量。是的有偏估计，3.由于所以这些参数方差的估计量是有偏的，参数的估2/6/202315山东财经大学统计学院计量经济教研室计标准误差也是有偏的，不能用来构造置信区间和t统计量。所以，当出现异方差时，通方差时，我们在高斯—马尔科夫假定下用来检验的统计量都不再成立。如果我们忽视异方差性而执意使用惯常的检验程序，则无论我们得出什么结论或作出什么推断，都可能产生严重的误导。常OLS的t统计量就不再具有t分布，使用大样本容量也不能解决这个问题。类似的，F统计量也不再服从F分布，LM统计量也不服从渐近分布。总之，在出现异4.预测的精确度降低。尽管参数的OLSE仍然无偏，并且基于此的点预测也是无偏的，但是由于参数估计量2/6/202316山东财经大学统计学院计量经济教研室不是有效的，从而对y的预测也将不是有效的。因此，预测值的精确度降低，区间预测中因为用到所以建立预测区间也会发生困难。2/6/202317山东财经大学统计学院计量经济教研室异方差是一个潜在的严重问题，因为它可能破坏常用的OLS估计和假设检验过程。因此，在实际研究中，尤其是针对截面数据时，在参数估计之前首先要判断第二节异方差的检验是否存在异方差的问题。多年来，人们已经提出过许多种检验异方差的方法。其中有些方法尽管有能力侦查异方差性，但并不直接检验误差方差与自变量无关的假定。这里我们不仅介绍几种传统的检验方法，同时介绍几种现代的检验。这些现代检验不仅能侦查出使通常的OLS统计量无效的异方差类型，同时还具备将所有检验都放在同一框架之中的好处。2/6/202318山东财经大学统计学院计量经济教研室一、图示法

随机项u的异方差与解释变量的变化有关。因此，可利用因变量y与解释变量x的散点图或残差e2i与x的散点图，对随机项u的异方差作近似的直观判断。见图5-3

异方差检验的基本思路：由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：

检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。2/6/202319山东财经大学统计学院计量经济教研室yxyxyxyxA同方差B递增异方差C递减异方差D复杂异方差图5-32/6/202320山东财经大学统计学院计量经济教研室若散点图中y分布的区域随着x的增大，而逐渐变宽(如图5-3B)或逐渐变窄(如图5-3C)，或是更加复杂的变化(如图5-3D)，则可认为随机项可能出现了异方差。另一种等价的方法是，先建立y对于x的样本回归方程，计算出残差再利用残差平方的散点图，观察是否存在异方差.多元回归模型存在多个解释变量，作

的散点图。

2/6/202321山东财经大学统计学院计量经济教研室如图5-4A所示，则表明ui不存在异如图5-4B、C、D所示，则表明方差；ui存在异方差。A

同方差B递增异方差

002/6/202322山东财经大学统计学院计量经济教研室C递减异方差D复杂异方差00图形法的特点是简单易操作，不足是对异方差性的判断比较粗糙，由于引起异方差性的原因错综复杂，仅靠图形法有时很难准确对是否存在异方差下结论，还需要采用其他统计检验方法。2/6/202323山东财经大学统计学院计量经济教研室斯皮尔曼等级（秩）相关检验是由英国心理学家查尔斯.斯皮尔曼(Charles

EdwardSpearman1863～1945）在1904年提出的一种非参数检验方法。计算的相关系数又称等级（秩）相关系数。1953年被应用到异方差检验领域。二、斯皮尔曼等级（秩）相关检验假设怀疑的方差与某个自变量有关，即存在异方差，用等级（秩）相关系数进行检验方法为：利用最小二乘法对模型进行回归，计算残差ei及其绝对值|ei|；2/6/202324山东财经大学统计学院计量经济教研室

3.计算每个样本点xji的位次和|ei|的位次之差di

2.给出xj的每个观测值xji的位次和|ei|的位次；4.计算Spearman等级（秩）相关系数：5.对Spearman等级（秩）相关系数进行显著性检验。检验统计量为：2/6/202325山东财经大学统计学院计量经济教研室在原假设“总体的Spearman等级（秩）相关系数为0”下，上述统计量服从自由度为（n－2）的t分布。对应给定显著性水平的临界值tα/2(n-2)，若t≤tα/2(n-2)

，则认为不存在异方差，若t＞tα/2(n-2)

，则认为存在异方差。2/6/202326山东财经大学统计学院计量经济教研室三、戈德菲尔德－匡特检验该检验方法是戈德菲尔德和匡特（Goldfeld&Quandt）于1965年提出的，用于检验是否存在递增或递减异方差，要求观测值为大样本。基本思想是将样本分为两部分，然后分别对两个样本进行回归，并计算、比较两个回归的剩余平方和是否有明显差异，以此判断是否存在异方差。原假设为：（即同方差）备择假设为：是递增异（或递减）方差，即递增（或递减）

2/6/202327山东财经大学统计学院计量经济教研室G-Q检验的步骤：1.将n对样本观察值(xi,

yi)按观察值xi的大小排队。2.将序列中间的c个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大的相同的两个子样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2。注意：对于n≥30时，c=n/4最合适。3.对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自的残差平方和。分别用RSS1与RSS2表示较小与较大的残差平方和，它们的自由度均为(n-c)/2–k–1，k为模型中自变量个数。 4.选择统计量2/6/202328山东财经大学统计学院计量经济教研室如果检验递增方差：如果检验递增方差：5.进行检验可以证明，在原假设下，如果具有等方差性，两个方差估计量应该相差不大，F值就应接近于1。如果存在异方差，那么F值就应该比1大出许多。在给定的显著性水平下，利用F分布的临界值Fα进行显著性检验。当F＞Fα时，应拒绝H0，认为存在异方差性，当F不大于Fα时，应接受H0，认为存在同方差性。2/6/202329山东财经大学统计学院计量经济教研室例5-1根据随机抽取的32个农村家庭年底储蓄余额与年内家庭纯货币收入的资料（其中一个无效数据），按收入排序后的数据见下表。其中，

x为年内家庭纯货币收入（元），

y为年底家庭储蓄余额（元）。序号yx序号yx1264877717157824127210592101816542560439099541914002650041311050820182927670512210979212200283006107119122220172743074061274723210529560850313499241600281509431142692522503210010588155222624203250011898167302725703525012950176632817203350013779185752919003600014819196353021003620015122221163312300382001617022288032-254102/6/202330山东财经大学统计学院计量经济教研室经分析，储蓄受收入的线性影响，可建立一元线性回归模型进行分析。运行EViews软件，并输入数据，首先，作x,y的散点图，如图5-5,。由散点图可看出：随机项可能存在递增型异方差。从而，可以进行异方差的戈德菲尔德－匡特检验。图5-5散点图2/6/202331山东财经大学统计学院计量经济教研室首先，将原始数据x按排成升序，去掉中间的9个观测点数据，得两个容量为11的子样本。对两个子样本分别作OLS回归，求各自的残差平方和RSS1和RSS2：VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-744.6351195.4108-3.8106140.0041X0.0882580.0157055.6196190.0003R-squared0.778216

Meandependentvar331.3636AdjustedR-squared0.753574

S.D.dependentvar260.8157S.E.ofregression129.4724

Akaikeinfocriterion12.72778Sumsquaredresid150867.9

Schwarzcriterion12.80012Loglikelihood-68.00278

F-statistic31.58011Durbin-Watsonstat1.142088

Prob(F-statistic)0.0003262/6/202332山东财经大学统计学院计量经济教研室即有第一个子样本的回归方程：RSS1＝150867.9VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C1050.790817.35111.2856040.2307X0.0319930.0250091.2792890.2328R-squared0.153863

Meandependentvar2090.364AdjustedR-squared0.059848

S.D.dependentvar300.4404S.E.ofregression291.3113

Akaikeinfocriterion14.34963Sumsquaredresid763760.5

Schwarzcriterion14.42197Loglikelihood-76.92295

F-statistic1.636581Durbin-Watsonstat2.834577

Prob(F-statistic)0.2327912/6/202333山东财经大学统计学院计量经济教研室即有第二个子样本的回归方程：RSS2＝763760.5给定显著性水平查F分布表，得临界值因为故拒绝原假设，

表明随机误差项存在显著的异方差。2/6/202334山东财经大学统计学院计量经济教研室四、帕克检验[1]帕克（P.E.Park，1966）将σ2i看成是解释变量xi的某个函数。他所建议的函数形式是：或由于σ2i通常是未知的，Park建议用e2i作为替代变量并作如下回归：（5.7）（5.8）如果γ在统计上是显著的，就表明存在异方差。如果它不显著，则可接受同方差假设。此时，原假设（等价原假设[1]本部分为选学内容2/6/202335山东财经大学统计学院计量经济教研室可见，Park检验是一个两阶段程序。在第一阶段中，我们做OLS回归而不考虑异方差性问题，我们从这一回归中得到，然后做第二阶段回归（5.8）。虽然帕克检验从经验上看颇有魅力，却遇到一些问题，戈德菲尔德和匡特曾指出，进入方程（5.8）的误差项可能不满足OLS假设，而且本身还可能是异方差[1]StephenM.GoldfeldandRichardE.Quandt,Nonlinear

MethodsinEconometrics,NorthHollandPublishingCompany,Amsterdam,1972,pp.93-94.的[1]。然而平心而论，作为一种纯粹探索性方法帕克检验还是有其应用价值的。2/6/202336山东财经大学统计学院计量经济教研室〔例5-2〕利用帕克检验例5-1数据的异方差性。第一阶段：对模型（5.6）进行OLS回归：VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-648.1236118.1625-5.4850180.0000X0.0846650.00488217.341640.0000R-squared0.912050

Meandependentvar1250.323AdjustedR-squared0.909017

S.D.dependentvar820.9407S.E.ofregression247.6234

Akaikeinfocriterion13.92404Sumsquaredresid1778203.

Schwarzcriterion14.01655Loglikelihood-213.8226

F-statistic300.7324Durbin-Watsonstat1.734682

Prob(F-statistic)0.0000002/6/202337山东财经大学统计学院计量经济教研室第二阶段：对模型（5.7）进行回归：DependentVariable:LOG(E^2)VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-13.159695.746282-2.2901220.0295LOG(X)2.3398430.5784804.0448140.0004R-squared0.360678

Meandependentvar10.05885AdjustedR-squared0.338632

S.D.dependentvar1.791164S.E.ofregression1.456656

Akaikeinfocriterion3.652505Sumsquaredresid61.53355

Schwarzcriterion3.745020Loglikelihood-54.61382

F-statistic16.36052Durbin-Watsonstat1.953801

Prob(F-statistic)0.000354因为，表5-5中斜率系数的t检验高度显著，故拒绝同方差假设，认为存在异方差。2/6/202338山东财经大学统计学院计量经济教研室五、戈里瑟检验具体步骤如下：1.利用最小二乘法对模型进行回归，计算残差ei。2.对|ei|关于xi的各种幂次关系进行回归，再利用最小二乘法进行估计。例如可以取以下形式产生于1969年的戈里瑟检验（GlejserTest）思路类似于帕克检验，只是异方差的数学形式不同。Glejeser检验的基本思路是：在残差|ei|关于解释变量的各种幂次影响关系中，确定出一个最显著的函数形式.

（5.9）2/6/202339山东财经大学统计学院计量经济教研室对各个回归方程进行统计检验，如果某种回归形式的拟合优度高，系数的t检验显著，就说明|ei|与xi存在该种影响关系，从而异方差存在。注意:Glejeser检验的计算工作量较大.戈里瑟检验从经验上看也颇有魅力，却遇到一些问题，戈德菲尔德和匡特曾指出，进入方程（5.9）的误差项可能不满足OLS假设，如期望值非零、序列相关以及异方差性。然而，戈里瑟检验对大样本来说，一般都能给出令人满意的结果，因此，从实用角度考虑，戈里瑟检验可用于大样本，而在小样本中，则仅可作为摸索异方差性的一种定性方法。2/6/202340山东财经大学统计学院计量经济教研室〔例5-3〕利用戈里瑟检验例5-1的异方差性。DependentVariable:EVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C71.6639032.271152.2206800.0343X^1.81.72E-063.55E-074.8375800.0000R-squared0.446588

Meandependentvar201.8733AdjustedR-squared0.427505

S.D.dependentvar131.0044S.E.ofregression99.12244

Akaikeinfocriterion12.09293Sumsquaredresid284932.5

Schwarzcriterion12.18544Loglikelihood-185.4404

F-statistic23.40218Durbin-Watsonstat2.540085

Prob(F-statistic)0.000040且t检验与F检验均高度显著。2/6/202341山东财经大学统计学院计量经济教研室即误差项存在异方差。六、怀特检验怀特（HalbertWhite，1951-2012）于1980年提出了一个检验异方差的方法。基本思想是:如果随机项存在异方差，则条件方差与解释变量有关，这时可以通过分析是否与解释变量有某些形式的联系以判断异方差性。由于一般是未知的，可用OLS法估计的残差平方作为其估计量。在大样本的情况下，做对常数项、解释变量、解释变量的平方及其交叉乘积等所构成的辅助回归，利用辅助回归相应的检验统计量，即可判断是否存在异方差性。2/6/202342山东财经大学统计学院计量经济教研室例如，二元线性回归模型为

(5.10)异方差与解释变量x1、x2的一般线性关系为

（5.11）其中vi为随机误差。White检验的基本步骤如下：1.运用OLS估计（5.10）。

2.计算残差序列ei，并求e2i。3.做e2i对x1i,x2i

,x21i,x22i

,x1ix2i

,的辅助回归，即（5.12）注意辅助回归中一定含常数项。2/6/202343山东财经大学统计学院计量经济教研室4.计算（5.12）的F统计量，或计算统计量,

n为样本容量，R2为辅助回归的样本决定系数。5.在原假设“误差项同方差”下，（相当于辅助回归方程斜率系数同为0，

,F统计量服从自由度为（5，n－6）的F分布；

nR2服从自由度为5的χ2分布。给定显著性水平α，查分布表得临界值χ2α(5)

，如果nR2＞χ2α(5)

，则拒绝原假设，表明模型中随机误差存在异方差（EViews软件中给出nR2、及F对应的概率(Probability)。若

Probability＜α，则表明模型中随机误差存在异方差，α一般取0.05）。

2/6/202344山东财经大学统计学院计量经济教研室White检验的优点是，不需要异方差的先验信息，但要求观测值为大样本。缺点是如果有多个回归元（自变量），那么引进所有回归元及其平方项和它们的交叉乘积项就会迅速消耗掉许多自由度。因此，在使用怀特检验时要保持警觉。为此根据怀特检验的特点，我们可以得到一个比怀特检验更容易实施而且自由度更节省的检验—称为等价怀特异方差检验：1.运用OLS估计模型（5.13）得到OLS的回归值（或拟合值）并计算残差2/6/202345山东财经大学统计学院计量经济教研室

2.运用OLS估计模型：（5.14）得到回归模型（5.14）的R2。3.构造统计量：（5.15）（5.16）或4.对于给定的，进行常规的F或检验〔例5-4〕对例5-1进行怀特检验。首先用EViews对表5-1所有样本数据用OLS估计y对x的回归方程，在输出结果窗口，点击View－ResidualTests－WhiteHeteroskedasticity（nocrossterms）：输出结果如下：2/6/202346山东财经大学统计学院计量经济教研室WhiteHeteroskedasticityTest:F-statistic7.840687

Probability0.001977Obs*R-squared11.12883

Probability0.003832VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C11957.4969304.550.1725350.8643X-1.0850046.784670-0.1599200.8741X^20.0001190.0001470.8086230.4255R-squared0.358995

Meandependentvar57361.38AdjustedR-squared0.313208

S.D.dependentvar68305.92S.E.ofregression56607.09

Akaikeinfocriterion24.81742Sumsquaredresid8.97E+10

Schwarzcriterion24.95619Loglikelihood-381.6700

F-statistic7.840687Durbin-Watsonstat2.642502

Prob(F-statistic)0.0019772/6/202347山东财经大学统计学院计量经济教研室可见，在0.05的显著性水平下，应该拒绝同方差假设，认为误差项存在着异方差。利用等价怀特异方差检验方法，可以得到同样的结果。DependentVariable:E^2VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C10627.7428728.790.3699330.7142YF8.71187954.053850.1611700.8731YF^20.0166070.0205380.8086230.4255R-squared0.358995

Meandependentvar57361.38AdjustedR-squared0.313208

S.D.dependentvar68305.92S.E.ofregression56607.09

Akaikeinfocriterion24.81742Sumsquaredresid8.97E+10

Schwarzcriterion24.95619Loglikelihood-381.6700

F-statistic7.840687Durbin-Watsonstat2.642502

Prob(F-statistic)0.0019772/6/202348山东财经大学统计学院计量经济教研室注意：在方程（5.11）给出的怀特统计量统计显著情形下，异方差性并非必然的原因，也可能是设定误差。换句话说，怀特检验可能是（纯粹）异方差性检验，或者是设定错误的一个检验，或者两者兼有。已经被证明，若怀特检验程序中没有出现交叉项，则是对纯粹异方差性的检验；若出现交叉项，则既是对异方差性又是对设定偏误的检验[1]。[1]参见RichardHarris,Using

CointegrationAnalysisinEconometricsModelling,Prentice

Hall﹠HarvesterWheatsheaf,U.K.,1995,p.68。2/6/202349山东财经大学统计学院计量经济教研室七、布殊－帕甘检验

布殊－帕甘检验（Breusch-PaganTest）与怀特检验的基本思想类似，只是异方差的函数形式不同。布殊－帕甘检验的思路为：1.运用OLS估计模型得到OLS的残差2.运用OLS估计辅助回归模型（5.17）记辅助回归模型的拟合优度为R23.构造统计量：（5.18）2/6/202350山东财经大学统计学院计量经济教研室则在同方差假设，即下

4.对于给定的，进行常规的F或检验〔例5-5〕利用布殊－帕甘检验对例5-1进行异方差检验VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-39651.8226850.45-1.4767650.1505X4.3264981.1093943.8998760.0005R-squared0.344025

Meandependentvar57361.38AdjustedR-squared0.321406

S.D.dependentvar68305.92S.E.ofregression56268.26

Akaikeinfocriterion24.77599Sumsquaredresid9.18E+10

Schwarzcriterion24.86851Loglikelihood-382.0278

F-statistic15.20903Durbin-Watsonstat2.565007

Prob(F-statistic)0.0005252/6/202351山东财经大学统计学院计量经济教研室因为

Prob(F-statistic)=0.000525<0.05，可见，在0.05的显著性水平下，应该拒绝同方差假设，认为误差项存在着异方差。以上各种检验方法，很难说哪一种方法最为有效。这些检验方法的共同思想都是分析误差项的方差与解释变量的相关性，以判断随机误差项的方差是否随解释变量而变化。其中有的检验方法还能提供随机误差项的方差与解释变量之间关系的某些信息，这些信息对消除异方差性可能是有价值的。2/6/202352山东财经大学统计学院计量经济教研室第三节异方差问题的补救措施正如前节所述，异方差性虽然不破坏OLS的估计量的无偏性和一致性，却使它们不再是有效的，甚至即在大样本中不是渐近有效的。有效性的缺乏使得通常的假设检验程序变得不可信。因此，补救措施显然是需要的。补救方法主要有以下几种思路：一种思想是在出现未知形式的异方差时，使用OLS估计后的异方差—稳健程序。另一种思想是应用广义最小二乘法（GLS），即通过探索异方差的具体形式，变换原模型，使经过变换后的模型具有同方差性，然后再用OLS法进行估计，以降低异方差性的影响。GLS应用于异方差领域的具体形式为加权最小二乘法（Weighted2/6/202353山东财经大学统计学院计量经济教研室LeastSquare，WLS）。第三种思路是对模型中的变量进行变换（如对数变换），以消除异方差性。本节我们分别介绍这些方法。一、加权最小二乘法（一）加权最小二乘法的基本思想为了叙述方便，下面以一元线性回归模型为例说明WLS的思路。按照OLS的基本原则进行参数估计，就是求出使残差平方和

最小的在同方差假定下，OLS把每个残差平方2/6/202354山东财经大学统计学院计量经济教研室都同等的看待，都赋予相同的权数1。但是,当存在异方差时，y的条件方差越小，其样本值偏离均值的程度越小，其观测值越应受到重视，即方差越小，在确定回归线时的作用越大；反之因变量条件方差越大，其样本值偏离均值的程度越大，其观测值所起的作用应当越小。也就是说，在拟合存在异方差的模型的回归线时，对具有不同方差的残差应该区别对待。从样本的角度，对较小方差的残差给予较大的权数，对较大方差的残差给予较小的权数，从而使加权的残差平方和比其简单平方和能更好地反映不同样本点数据对残差平方和的影响。

2/6/202355山东财经大学统计学院计量经济教研室则加权的残差平方和为：

根据最小二乘原理，使加权的残差平方和最小，即：解得：其中：通常将残差平方给与权数：

（5.19）（5.20）2/6/202356山东财经大学统计学院计量经济教研室这种求解参数估计式的方法为加权最小二乘法，这样估计出的参数称为加权最小二乘估计量（WLSE）。实际应用中，由于随机项的方差未知，故WLS是无法直接使用的。

（二）异方差形式已知情形下的WLS根据异方差的含义可知，异方差就是随机项ui在解释变量x取不同数值时方差不同。这就意味着异方差是解释变量xi的函数，这种函数形式如果已知，比如：（5.21）2/6/202357山东财经大学统计学院计量经济教研室这时用乘以的两边，得：记：则：这说明变换后的模型（5.21）的随机项具有了同方差性。这时就可以对（5.21）应用OLS。这种方法相当于令残差平方的权数

时的WLS。2/6/202358山东财经大学统计学院计量经济教研室用去乘以原模型两端得：在多元模型中，若方差与m个解释变量有关，且异方差形式可写作：若记则2/6/202359山东财经大学统计学院计量经济教研室可见，这种方法的思路实际上就是当确定了异方差的具体的形式时，将原模型加以适当的“变换”，使得“变换”后的模型消除或减轻异方差的影响，遵循的是广义最小二乘法（GeneralizedLeastSquares，GLS）的思路。WLS是广义最小二乘法在异方差条件下的具体应用。上述方法应用的关键，是已知异方差的具体形式。现以一元线性回归模型为例进一步说明。例如，设给定的模型为：（5.23）

2/6/202360山东财经大学统计学院计量经济教研室假定异方差函数为：此时用xi的倒数去乘以原模型的两边得：这样转换后的模型具有同方差性。此时:对转换后的模型应用OLS，即可求得：于是，得到原模型的样本回归方程为：

(其中,)（5.24）2/6/202361山东财经大学统计学院计量经济教研室又如，假定（5.23）的异方差函数为：对转换后的模型应用OLS得：其中：进一步还原可得到原模型的样本回归方程。此时用的倒数去乘以原模型的两边,可得（5.27）2/6/202362山东财经大学统计学院计量经济教研室的最佳线性无偏估计量。但我们必须由于经过变换的方程满足所有假定，所以从利用变换后的变量所做的回归中，能够得到标准误、t统计量和F统计量，而且，因为这些广义最小二乘（GLS）估计量都是记住：要将参数估计值放到原方程中去解释。（三）异方差函数未知情形下的WLS可以模型化，并利用数据来估计这个模型，从而得到每个的估计值，记为。用取代进行WLS估计。这实际上遵循了可行的广义二乘法在大多数情况下，异方差的确切形式并不明显。换句话说，我们不知道异方差的函数形式不过，我们2/6/202363山东财经大学统计学院计量经济教研室FeasibleGeneralizedLeastSquares，FGLS）的思路。应用中模型化异方差性的方法有多种，如利用戈里瑟检验或帕克检验得到的结果构造

或利用统计软件寻求最优权等。

例如，假定有多元线性回归模型：（5.29）设异方差函数为：2/6/202364山东财经大学统计学院计量经济教研室考虑模型或（5.30）和平常一样，以OLS残差来代替（5.30）中观测不到的。即估计下式：（5.31）注意：我们只关心（5.31）的回归值简记为，则

对方程（5.29），同乘方程两端，新的误2/6/202365山东财经大学统计学院计量经济教研室差项是条件同方差的，可以对变换后的模型运行OLS。这种WLS实际上是异方差条件下的FGLS。上述步骤概括如下：（1）将做回归并得到（2）做的回归并得到拟合值（3）计算（4）以同乘方程两端进行变换，然后运行WLS。

另一种估计的有用方法是，用OLS的拟合值及其平方取代(5.31)中的自变量。即第（2）步中改为由

的回归中得到拟合值然后与其它步骤一。

2/6/202366山东财经大学统计学院计量经济教研室样求〔例5-6〕对例5-1中的异方差问题进行补救处理。由例5-2帕克检验中表5-5，应取用对原模型进行变换，WLS结果如下：VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

1/X^1.53-702.5837110.0196-6.3859880.00001/X^0.530.0867920.00609314.245330.0000R-squared0.466129

Meandependentvar0.000236AdjustedR-squared0.447720

S.D.dependentvar8.27E-05S.E.ofregression6.15E-05

Akaikeinfocriterion-16.49427Sumsquaredresid1.10E-07

Schwarzcriterion-16.40175Loglikelihood257.6611

Durbin-Watsonstat1.2113612/6/202367山东财经大学统计学院计量经济教研室由例5-3的戈里瑟检验结果表5-6，用对原模型进行变换，WLS结果如下：DependentVariable:Y/X^1.8WhiteHeteroskedasticity-ConsistentStandardErrors&CovarianceVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

1/X^1.8-677.8267122.8219-5.5187780.00001/X^0.80.0848950.00715811.860260.0000R-squared0.194125

Meandependentvar1.59E-05AdjustedR-squared0.166337

S.D.dependentvar5.16E-06S.E.ofregression4.72E-06

Akaikeinfocriterion-21.62900Sumsquaredresid6.45E-10

Schwarzcriterion-21.53648Loglikelihood337.2494

Durbin-Watsonstat1.1107842/6/202368山东财经大学统计学院计量经济教研室这两种处理方法下，尽管表面看来模型具有不同程度的改善，但通过怀特检验（过程略）验证，会发现该模型仍然存在异方差问题。意味着利用戈里瑟检验、帕克检验而得到的的估计存在问题。

以（5.31）形式进行FGLS，结果如下：2/6/202369山东财经大学统计学院计量经济教研室DependentVariable:Y/FI^0.5WhiteHeteroskedasticity-ConsistentStandardErrors&CovarianceVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

1/FI^0.5-757.875492.48450-8.1946200.0000X/FI^0.50.0903950.00512717.629510.0000R-squared0.759584

Meandependentvar6.426213AdjustedR-squared0.751294

S.D.dependentvar2.781565S.E.ofregression1.387179

Akaikeinfocriterion3.554762Sumsquaredresid55.80368

Schwarzcriterion3.647277Loglikelihood-53.09881

Durbin-Watsonstat1.436400

FGLS下的EViews输出结果2/6/202370山东财经大学统计学院计量经济教研室怀特检验结果如下：WhiteHeteroskedasticityTest:F-statistic1.913798

Probability0.138147Obs*R-squared7.051242

Probability0.133205由可行GLS下的EViews输出结果看，已消除异方差。可见，异方差函数形式的设定对于FGLS至关重要。在结束对WLS的讨论之时，我们再次强调，以上所讨论的变换都是一种权宜之计。我们基本上都是在猜测在所讨论的变换中那一种能行之有效，要看问题的性质和异方差的严重程度。很难给出一个确切的2/6/202371山东财经大学统计学院计量经济教研室评价。顺便指出：如果我们所使用的异方差函数被错误的设定时，WLS估计量仍然是无偏与一致的，但不是有效的；即使在大样本下，WLS标准误与检验统计量都不再可靠。幸运的是，对任何形式的异方差性我们都能得到OLS估计值的稳健标准误。在方差函数被误设情况下，我们也可以得到WLS估计值的稳健标准误。重要的是：足够稳健的WLS标准误远小于足够稳健的OLS标准误。2/6/202372山东财经大学统计学院计量经济教研室二、在OLS下，使用异方差性一致估计量由于实际上异方差函数形式我们无法知道，FGLS的效果取决于异方差函数形式的设定的是否符合实际情况，所以WLS的主观性很大大。在这种情况下，我们试图寻找解决异方差问题的另一种途径。我们知道，在出现异方差时，OLS估计量仍然是无偏的、（大样本情况下）一致的和渐近正态分布，仅方差是不可信的。自然要问：是否可以通过调整对方差的估计使之可信？幸运的是，最近二十年来，计量经济学家门已经知道了如何调整标准误、t统计量、F统计量和LM统计量，使之在出现未知形式的异方差性时OLS仍可用。这种方法称为异方差－稳健程序。2/6/202373山东财经大学统计学院计量经济教研室OLS估计的斜率系数的方差公式是：如果满足同方差假定，则存在一个常数方差，将其代入(5.32)，有：

(5.32)但在异方差条件下，不存在这样的常数方差，White的方法是在(5.32)式中用取代(这里是第i个OLS残差），得到异方差性一致标准误差：下面我们用一元线性回归模型对White方法作一说明。（5.33）

2/6/202374山东财经大学统计学院计量经济教研室注意：不能用得到的一致估计量，White得到的是的一致估计量，它是的加权平均。

同样的分析适用于多元回归OLSE的情况，用White方法得到的第j个OLS回归系数方差的异方差性一致估计值由下式给出：其中是从xj对方程中所有其它解释变量OLS回归得到的残差，ei为原多元回归模型的第i个OLS残差。（5.34）

这种估计量的性质不是“最好”，但它们对于同方差RobustEstimators）。性的违背不敏感，被称为怀特异方差－稳健估计量（2/6