量子力学：14-狄拉克符号

作业6（10/27-11/04）6、4.4，4.5，4.9，6.4，7.12一、对表象及其变换的回顾量子态和算符的矩阵表示总结量子态力学量F表象(基矢k)F’表象(基矢‘)F表象F’表象的幺正变换矩阵4坐标和动量表象中的波函数平面波的波函数为任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开坐标表象的波函数动量表象的波函数5坐标算符与动量算符坐标坐标表象动量动量表象算符的形式与表象有关算符的对易关系与表象的选择无关平均值与表象无关6坐标和动量表象中的能量本征方程处于势场V(r)中的粒子，在坐标表象中的能量本征方程为坐标表象的波函数动量表象的波函数动量表象中r的表示动量表象中的能量本征方程能量本征值不变70、三维各向同性谐振子的回顾(1)三维各向同性谐振子在直角坐标和球坐标下的解：能量本征値、简并度不变8量子力学狄拉克符号9目录一、量子态以及表象变换回顾二、狄拉克符号的定义与内积三、量子力学的态矢表示四、投影算符的意义五、算符向左作用及应用六、连续谱的狄拉克符号习题10狄拉克符号一、右矢和左矢一个量子态相当于一个态矢量。选定一组基矢，即选定表象后，态矢量可以用在这组基矢上的投影（即矢量的分量）表示。与数学中表示一个矢量可以不引入坐标系不用它的分量而直接用矢量表示相似，在量子力学中表示一个量子态也可以不引进具体的表象，直接用矢量符号表示。这就是狄拉克符号。

1．量子力学体系的一切可能状态构成一个态空间，态空间包括一个右矢空间和一个相应的左矢空间。右矢空间中矢量写成，左矢空间的矢量写成。如：表示坐标的本征态，对应的本征值为；表示动量的本征态，对应的本征值为；或表示能量的本征态，对应的本征值为；表示和的本征态；………………11标量积（内积）和的标量积定义为标量积是一个数，可以在运算中随意移动位置。在同一表象中，和的标量积是相应的分量的乘积之和。比如：在表象中在表象中12二、狄拉克符号的定义与内积(3)13

1、力学量算符满足的本征方程为或或代表对应的本征态。

2．态叠加原理右矢空间中的任意态矢可以表示成若干个右矢叠加，左矢空间中的任意态矢可以表示成若干个左矢叠加，即但右矢和左矢不能叠加。

3．右矢和左矢互为共轭

注意：和都没有意义。14三、量子力学的态矢表示（1）15三、量子力学的态矢表示（2）16三、量子力学的态矢表示（3）17三、量子力学的态矢表示（4）18三、量子力学的态矢表示（1）19四、投影算符的意义(1)20投影算符的意义在F表象中，基矢为k|k>，任意态投影算符封闭性Pk的作用在|>上，得到的是|>在|k>方向上的投影，也可以说将|>在|k>方向上的分量挑选出来。相当于单位算符21投影算符的性质投影算符P是厄米算符投影算符投影算符P的本征值是0和122五、算符向左作用及应用(1)共轭空间L为厄米算符23五、算符向左作用及应用(2)例题124五、算符向左作用及应用(3)例题2(1)25五、算符向左作用及应用(4)例题2(2)26六、连续谱下的狄拉克符号(1)27六、连续谱下的狄拉克符号(2)28六、连续谱下的狄拉克符号(3)29六、连续谱下的狄拉克符号(4)量子态|>在坐标表象中的表示量子态|>在动量表象中的表示<p|>30六、连续谱下的狄拉克符号(5)31一般表示与狄拉克符号表示对照表32二、例题(1)33例题(2)34例题(3)35例题(4)36例题(5)37例题(6)38二、例题(2)39二、例题(3)40二、例题(4)41二、例题(5)42二、例题(6)43二、例题(7)44二、例题(8)45二、例题(9)

例1：某力学量在

表象中的矩阵为

由系数行列式

代入方程得

代入方程得

的本征值所相应的本征矢在表象中的表示为所相应的本征矢在表象