量子力学：10-无限深球方势阱

1量子力学无限深球方势阱三维各向同性谐振子5、2.4，3.12，3.14，3.15（10/13-10/20）2第五章中心力场

(可分离变量的三维定态问题)★不显含t

时，定态3目录一、中心力场的能量本征方程二、无限深球方势阱三、三维各向同性谐振子4+r氢原子中，电子的势能函数：碱金属原子中，电子的势能函数：它们都是球对称的，称之为中心力场。一、中心力场5一、中心力场的能量本征方程设质量为的粒子在中心势场

中运动，则哈密顿量：考虑到中心势场

是球对称的，采用球坐标能量本征方程写为：

任务：如何确定本征态和本征值6一、中心力场能级简并能量本征方程写为：为角动量算符，可证明：所以能级是简并的即：对自身的本征函数来说，属于同一能级的简并态之间的正交性得不到保证，换句话说：自身不能构成力学量完全集，根据前面的结果，关键任务是：寻找力学量完全集，找到其共同本征函数即：7一、中心力场守恒量以及力学量完全集中心任务：寻找力学量完全集，找到其共同本征函数

解释：尽管对可能是简并的，但可以用对进行分类，从而使得属于同一能级的简并态的正交性问题得到保证。

任务第一步：如何寻找因为，所以可以组成完全集根据分离变量法：，注意到：球坐标下，和只对和起作用，且和拥有共同本征函数：球谐函数，即：8一、中心力场能量本征方程即：也就是：是的共同本征函数：9一、中心力场的径向方程将代入能量本征方程：得到关于的径向方程：令：有：称为径向波函数，取决于的形式。10一、中心力场的径向方程-简并是能量本征方程的本征值：但在径向方程中：有，但没有。注意到，所以一个必然对应个，即：能级至少是级简并的。

问题：同一能级的简并态之间的正交性如何得到保证？11二、无限深球方势阱(1)

无限深球方势阱：能量本征方程写为：解可写为：其中满足径向方程：1、态情况（即的情况）12二、无限深球方势阱(2)

态情况在边界条件下求解方程势阱内：令又因为所以能量本征值：由归一化条件：13二、无限深球方势阱(3)2、非

态情况（即的情况）势阱内：令径向方程写为：称为球Bessel方程，其解：称为球Bessel函数：边界条件：下，有令因此由可以求出根，表示的节点数。14二、无限深球方势阱(4)画图求解15二、无限深球方势阱(5)，所以令由归一化条件可得：16二、无限深球方势阱(6)3、解的讨论

(1)、能级：17二、无限深球方势阱(7)

(2)、本征函数：与相对应的能量本征函数：其中：所以当和确定后，给定，但即共有个，每个对应个所以能级是度简并18二、无限深球方势阱(8)

(3)、简并态的分类每个对应个，即能级是度简并因为是的共同本征函数，因此可以利用和的本征值对应的量子数和对进行分类，从而保证对应同一能级的个不同本征态之间的正交性得到保证：19二、无限深球方势阱(9)以为例：对应个即：为三重简并。正交归一性表示为：因此可见，利用力学量完全集，可以解决对应同一能级的不同简并态之间的正交性问题！20三、三维各向同性谐振子(1)三维各向同性谐振子势能项：具有中心对称性，径向方程写为：采用自然单位，令，有：求解思路：可令，将关于的方程转换为的方程，而则从和时的渐进行为中获得。21三、三维各向同性谐振子(2)1、波函数的统计诠释对波函数的渐进行为的要求对任意波函数，若，则是的奇点，粒子出现在概率应该为0。

设体积元是以为球心、半径为的小球，如果要求积分能代表粒子出现在内的概率，由前面的分析，应该有若22三、三维各向同性谐振子(3)2、径向波函数在时的渐进行为：是方程的奇点，在其领域内，方程化简为：在的领域内，设，代入方程，有：即：时：必须舍去。所以时：23三、三维各向同性谐振子(4)3、径向波函数在时的渐进行为：也是方程的奇点，渐进方程为：解为：因为不满足束缚态条件，舍去所以时：因此可将径向方程的解设为：24三、三维各向同性谐振子(5)4、三维各向同性谐振子径向方程的解（1）将带入上述径向方程，化简为：令上述方程化为：方程的解为：，称为合流超几何函数。25三、三维各向同性谐振子(6)4、三维各向同性谐振子径向方程的解（2）所以不能作为波函数（不符合束缚态条件），为满足束缚态条件，必须中断为一个多项式，即要求或者是负整数。即：加上自然单位26三、三维各向同性谐振子(7)5、三维谐振子的能量本征值与径向方程的本征态（1）令：所以径向方程的解为:根据归一化条件，可得:可证明：27三、三维各向同性谐振子(8)5、三维谐振子的能量本征值与径向方程的本征态（2）与相对应的能量本征函数为：其中：可证明：28三、三维各向同性谐振子(9)6、解的讨论

能级的简并度(1)、能级均匀分布，相邻能级差都是(2)、因为，所以对于同一个，有的不同组合与其对应，但每给定一组，就有一个能量本征值，对应的能量本征态为可证明：简并度时，，即能级是不简并的。29三、三维各向同性谐振子(10)6、三维谐振子在直角坐标系中的解(1)三维谐振子势能项：线性谐振子选为力学量完全集，其共同本征态函数应该为其各自本征函数的积，即：30三、三维各向同性谐振子(11)6、三维谐振子在直角坐标系中的解(2)为力学量完全集的共同本征态函数。相应的能量本征值为：