量子力学：04- 一维问题

1量子力学第四讲一维无限深方势阱中的粒子态叠加原理方势垒的反射与透射一维谐振子2第四讲目录一、能量本征方程回顾二、一维无限深方势阱中的能量本征态三、态叠加原理四、方势垒的反射与透射五、一维谐振子六、再论态叠加原理3一、能量本征方程回顾(1)薛定谔方程:若不显含，则有其中，满足的方程为：能量本征方程，称为能量本征函数，称为能量本征值定态4一、能量本征方程回顾(2)是我们后面讨论大多数问题的理论基础。通常将略去中的下标，这样能量本征方程为5二、一维无限深方势阱中的能量本征态(1)1、一维无限深方势阱的势函数：在区域内，能量本征方程写为：在区域内，势能为，因此不可能在这些区域内出现，换句话说，粒子在这些区域内出现的概率为零，即，根据波函数三个标准条件中的连续性，有：边界条件和6二、一维无限深方势阱中的能量本征态(2)将边界条件带入通解得到：以及因此能量本征函数为：由和得到：这说明：一维无限深方势阱中的粒子的能量是量子化的。

称为体系的能量本征值，与对应的波函数称为能量本征函数。

7二、一维无限深方势阱中的能量本征态(3)波函数的归一化根据波函数的统计诠释,要求波函数必须归一化，即：归一化波函数为：8二、一维无限深方势阱中的能量本征态(4)结果物理意义的讨论：1、最低能量(思考：为什么

不能为零？)

对于经典粒子，可以有2、坐标不确定度：根据不确定度关系即：一维无限深方势阱中的粒子动量也是不能完全确定的。9二、一维无限深方势阱中的能量本征态(5)3、波函数的节点，即波函数为零的点。在内，有个节点，在这些节点上说明粒子在这些节点上出现的概率为零。对于经典粒子来说，它在内任何一点都有可能出现。思考：若，会出现什么情况？10二、一维无限深方势阱中的能量本征态(6)4、束缚态对一维无限深方势阱：即:这说明粒子被束缚在势阱内部。通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。一般来说，束缚态所属的能级是分立的，例11二、一维无限深方势阱中的能量本征态(7)一个问题对一维无限深方势阱：根据量子力学假设之一：波函数完全描述粒子的状态。但是在阱内有无穷多个波函数，那么粒子究竟处在哪个状态呢？态叠加原理12三、态叠加原理(1)一维无限深势阱中，粒子在中可能的态和能量为态叠加原理一般情况下，粒子并不只是完全确定的处于其中的某一状态，而是以某种概率处于其中的某一状态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即13三、态叠加原理(2)一维无限深势阱中，粒子的状态为表示在中发现粒子处于态，具有能量的概率。

经典物理：粒子只能处于某一确定的态，但在量子力学中，粒子是以一定概率处于某个可能的态，概率为展开式系数的模方。为波函数统计诠释的自然结论。14

五、动量分布概率（1）设，则表示粒子出现在点附件的概率。设为粒子的动量，那么粒子具有动量的概率如何表示？平面波的波函数为任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开15

五、动量分布概率（2）其中，可见，代表中含有平面波的成分，因此，应该代表粒子具有动量的概率。态叠加原理：量子态可按任意一组正交、归一、完备态分解16三、态叠加原理(3)4、将体系的状态波函数用算符的本征函数展开，其中：则在体系态中测量力学量得到结果为的概率为，得到结果范围内的概率是。量子力学基本假设之四广义的结论：任何一个量子态都可按任意一组正交、归一、完备态分解。17四、方势垒的反射与透射(1)经典粒子量子粒子越过势垒绝对不可能越过势垒，换句话说：越过势垒的概率为零！求解能量本征方程：18三、方势垒的反射与透射(2)其解为粒子流密度反射系数

，透射系数19三、方势垒的反射与透射(3)解20三、方势垒的反射与透射(4)解代数方程，得到势垒贯穿隧穿效应入射波反射波透射波21三、方势垒的反射与透射(5)电子的势垒贯穿12510当势垒宽度为原子限度时，透射相当可观22隧道二极管隧道效应是1958年日本江崎玲於奈在研究重掺杂锗PN结时发现的。这一发现揭示了固体中电子隧道效应的物理原理，江崎为此而获得诺贝尔奖金物理学奖。隧道二极管，是以隧道效应电流为主要电流分量的晶体二极管。23扫描隧道显微镜是根据量子力学中的隧道效应原理，通过探测固体表面原子中电子的隧道电流来分辨固体表面形貌的新型显微装置.根据量子力学原理，由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于金属表面之内，电子云密度并不是在表面边界处突变为零。在金属表面以外，电子云密度呈指数衰减，衰减长度约为1nm。用一个极细的、只有原子线度的金属针尖作为探针，将它与被研究物质(称为样品)的表面作为两个电极，当样品表面与针尖非常靠近(距离＜1nm)时，两者的电子云略有重叠，如图1所示。若在两极间加上电压U，在电场作用下，电子就会穿过两个电极之间的势垒，通过电子云的狭窄通道流动，从一极流向另一极，形成隧道电流I。隧道电流

I的大小与针尖和样品间的距离s以及样品表面平均势垒的高度有关，扫描隧道显微镜24扫描隧道显微镜观察和定位单个原子

25五、一维谐振子(1)

简谐运动：体系在平衡位置附近的微小振动一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时粒子的势能可以表示为例：双原子分子中两原子之间的势能一维谐振子的能量本征方程26五、一维谐振子(2)渐进解：当时，有其解因为简谐运动是体系在平衡位置附近的微小振动，所以无穷远处波函数为零(束缚态)，即：。方程(1)的解可表示为：带入方程(1)27五、一维谐振子(3)得到关于的方程：利用常微分方程的幂级数解法，有：当时，要求，可以证明，只有当时，才有可能，此时(2)式的解为厄密多项式，即：方程(1)的解为：28五、一维谐振子(4)能量本征值：根据和有：讨论：1)能级是量子化的，且均匀分布；

2)相邻能级差相同：

3)基态能量；称为零点能；4)谐振子吸收能量后，有可能从下能级跃迁到上能级。相反，放出能量后，有可能从上能级跃迁到下能级。29五、一维谐振子(5)能量本征态：根据归一化条件，可得常数即：能量本征态：正交归一化：30五、一维谐振子(6)应用：固体物理中的晶格振动。31六、再论态叠加原理（1）

态叠加原理说，任何一个量子态都可按任意一组正交、归一、完备的态来分解，即:例:一维谐振子其中32六、再论态叠加原理（2）事实上，一维无限深方势阱中的粒子的波函数也是正交归一的，即：对于任意波函数，有：完备性33

讨论（经典波函数与量子波函数比较）

①

②

③若，经典认为是一个新的振动态，即以来描述物理量在空间的波动，不能说物理量可能作波动，或者可能作波动。但对量子力学来，34说粒子可能处于态，也可能处于态。但不会处于

态

（）。因测量力学量所得的测量值是不会为的。有时在处理物理问题时，常将函数展开对经典物理学来说，这仅是一个数学处理，如富里叶分解。而量子力学中的态叠加

。

35原理则赋于这一展开以新的物理含意：测量力学量，可能测得值仅为的值，其几率，即系数不仅仅是展开系数，而是正比于取值的几率振幅。

④它反映了一个非常重要的性质。而这在经典物理学中是很难被接受的。我们知道一个动量为的自由粒子是以一个平面波

3