第6章机械振动

第6章机械振动

振动：机械振动：任何一个物理量随时间的周期性变化物体在某一中心位置附近来回往复运动。例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动任何复杂的振动都可以看做是由若干个简单而又基本的振动的合成。这种简单而又基本的振动形式称为简谐运动。6.1简谐振动6.1.1弹簧振子：

弹簧原长时小球m所在位置为坐标原点O.对小球进行受力分析：

简谐振动的动力学方程

其解为：

证明一个运动是简谐振动的三个判据。

简谐振动的运动学方程振幅A：

即振子偏离平衡位置的最大值。

速度：

为速度振幅。

加速度：

为加速度振幅。

6.2简谐振动的周期、频率和相位1.周期：物体完成一次全振动所用的时间。

2.频率：单位时间内完成全振动的次数。

一个周期后，振子振动状态完全相同角频率3.相位

初相位：

相位差：两个振动的相位之差；

设有两个简谐振动：位相或周相确定质点在任一时刻运动状态的物理量它们的相位差为：

则两质点振动的步调完全相同。二者同相。（3）当时，振动2超前振动1；（4）当时，振动2落后振动1。相位可以用来比较不同物理量变化的步调

速度的相位比位移的相位超前，加速度的相位比位移的相位超前。则两质点振动的步调完全相反。二者反相。为其它超前落后OT6.2.4由初始条件确定简谐振动的振幅和初相

取已知求讨论单摆

小球受到的切向分力为：

规定在平衡位置右侧为正其解为：

弹簧振子：

单摆：

固有周期复摆令*（C点为质心）CO转动正向简谐振动的实例分析角谐振动扭摆以圆盘为研究对象在（扭转角）不太大时，（刚体绕定轴转动定律）令

结论:在扭转角不太大时，扭摆的运动是谐振动.周期和角频率为：金属丝xyz（D为金属丝的扭转系数）圆盘受到的力矩为例.一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上，弹簧伸长量l=9.8cm。如果给物体一个向下的瞬时冲击力，使它具有的向下的速度，它就上下振动起来。试证明物体是作简谐振动，并写出其振动方程式。注意：（1）解题中O点的确定原则：物体保持平衡的位置。（2）解得的初相要结合初始速度作正确取舍。用旋转矢量确定振动初相6.3简谐振动的旋转矢量表示法例.已知一简谐振动的位移曲线如图所示，写出振动方程。作出旋转矢量例1

一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t=0时,

位移为6cm，且向x轴正方向运动。求:(1)振动方程；(2)t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度；(3)如果在某时刻质点位于x=-6cm，且向x轴负方向运动，从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：设简谐振动表达式为已知：A=12cm,T=2s，初始条件：t=0时，x0=0.06m,v0

>00.06=0.12cos

振动方程：yx设在某一时刻

t1，x=-0.06m代入振动方程：yx

例2

如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数，物体的质量.

（1）把物体从平衡位置向右拉到处停下后再释放，求简谐运动方程；（3）如果物体在处时速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其运动方程.

（2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；0.05解（1）由旋转矢量图可知解

由旋转矢量图可知（负号表示速度沿轴负方向）

（2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；解（3）如果物体在处时速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其运动方程.因为，由旋转矢量图可知线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒以弹簧振子为例（振幅的动力学意义）6.4简谐振动的能量简谐运动能量图4T2T43T能量能量守恒简谐运动方程推导简谐振动动力学方程的另外一种推导

例质量为的物体，以振幅作简谐运动，其最大加速度为，求：（1）振动的周期；

（2）通过平衡位置的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？解（1）（2）（3）（4）时，由1）三角函数法设一质点同时参加如下两振动：tx结论：两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍为同频率的简谐振动6.5简谐振动的合成6.5.1两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动6.5.1两个同方向同频率简谐运动的合成旋转矢量法1）相位差讨论相互加强2）相位差相互削弱例

两个同方向的简谐振动曲线(如图所示)

（1）求合振动的振幅；

（2）求合振动的振动方程。解：xTt33设合振动6.5.2两个同方向不同频率简谐运动的合成6.5.2两个同方向不同频率简谐运动的合成频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.讨论,的情况

振幅振动频率拍频（振幅变化的频率）两个同方向不同频率简谐运动的合成

相对于的转动角速度：两矢量同向重合时：合振动振幅极大合振动振幅极小两矢量反向重合时：拍的周期：拍频：6.5.3两个相互垂直的同频率简谐运动的合成质点运动轨迹1）或讨论合振动为同频率简谐振动2）3）用旋转矢量描绘振动合成图简谐运动的合成图两相互垂直同频率不同相位差6.5.4两相互垂直不同频率的简谐运动的合成测量振动频率和相位的方法李萨如图振幅（或能量）随时间逐渐减小的振动。能量减小的原因：2）引起邻近质点振动，以波的形式向周围传播能量。

1）磨擦或介质阻力的存在；摩擦阻尼辐射阻尼6.6阻尼振动受迫振动共振6.6.1阻尼振动Oxx三种阻尼的比较阻尼振动位移时间曲线

a）弱阻尼阻尼振动的周期

b）过阻尼

c）临界阻尼讨论：1.阻尼较小时（），振动为减幅振动，振幅随时间按指数规律迅速减少。阻尼越大，减幅越迅速。振动周期大于自由振动周期。2.阻尼较大时（），振动从最大位移缓慢回到平衡位置，不作往复运动。当（）时，为“临界阻尼”情况。是质点不做往复运动的一个极限。a：小阻尼b：过阻尼c：临界阻尼

设想一余弦式驱动力

作用于有阻尼的弹簧振子上6.6.2受迫振动系统在周期性的驱动力持续作用下所发生的振动。xOx则受迫振动的稳态解为：得到A为极大值时对应的角频率为：相应的最大振幅为：即驱动力频率等于振动系统的固有频率时，振幅达到最大值。对于弱阻尼的情况：受迫振动的相位差：

2.共振对其求极值解得：当策动力的频率与系统的固有频率相等时，速度振幅达到最大值使速度振幅到达最大值的共振称为速度共振。受迫振动中速度：共振现象的应用我国古代就有大量的应用:天坛的回音壁磨擦铜盆时水的共振表演收音机：电磁共振；核磁共振仪：核磁共振不利：例如共振时因为系统振幅过大会造成机器设备的损坏。典型：1940年美国塔科马海峡大桥断塌的部分原因就是大风与桥的共振。

1940年，TacomaNarrows大桥在通车4个月零6天后因大风引起扭转振动，又因振动频率接近于大桥的共振频率而突然坍塌。非线性系统及混沌的基本概念一、小角度单摆的运动线性系统（数学定义）：线性当

很小，非线性相图法：即运用一种几何的方法来讨论非线性问题。将质点的位置（或角位置）作为横坐标轴；将质点的速度（或角速度）作为纵坐标轴。相平面：相：某种运动状态相点：在相平面内表征运动状态的一个点。相迹（相图）：相点的运动轨迹（反映运动状态的变化）。单摆做小角度摆动：

一次积分后单摆作小角度摆动时，其相迹为一正椭圆。封闭的相迹表示运动是周期性的往复运动。C：初始条件决定小角度阻尼摆动：一条向内旋进的螺旋线，曲线最终趋向中心点。吸引子：对应着系统的稳定状态（中心点）。相图：小角度受迫摆动：

吸引子（极限环）：对应着系统的稳定状态（椭圆）。简谐振动的相图周期环阻尼振动的相图不动点吸引子受迫振动的相图周期吸引子或极限环Ol

二、较大角度受迫摆动：设：单周期振动双周期振动混沌四周期振动混沌区结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件下，其解可能