第6章线性系统的频域分析法

第6章线性系统的频域分析法Frequency-responseanalysisoflinearsystem频率特性的基本概念频率特性的表示方法典型环节的频率特性系统开环频率特性的绘制频率域稳定判据与稳定裕度主要内容本章重点通过本章学习，应重点掌握频率特性的概念与性质、典型环节及系统开环频率特性的奈氏图和波特图的绘制和分析方法、控制系统稳定性的频域分析法、系统稳定裕度的概念和求法、闭环系统性能指标的频域分析法等。RC6.1频率特性

6.1.1频率特性的基本概念？RC

一个线性系统或元件，当输入为正弦函数，输出的稳态值也是一个相同频率的正弦函数时，将输出稳态值与输入量之比，称为系统的频率特性。一频率特性的定义频率特性的定义式：二、频率特性的性质

1、频率特性反映了系统对正弦信号的三大传递能力:同频变幅相移2、频率特性是一种稳态响应3、与传递函数一样,频率特性也是一种数学模型（4）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。（5）由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。（6）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。微分方程频率特性G(jω)传递函数G(s)系统jωjωss6.1.2频率特性与传递函数及微分程之间的关系6.1.3频率特性的表示方法三、对数幅相频率特性曲线Nicholschart

二、对数频率特性曲线Bodeplot一、幅相频率特性曲线Nyquistplot横轴：均按lgω分度，单位为rad/s（弧度/秒）纵轴：幅频曲线：按L(ω)=20lg|G(jω)|=20lgA（ω）线性分度，单位是分贝（db）相频曲线：按线性分度，单位为度（º）或弧度（rad）

对数幅频特性的“斜率“，是指频率改变倍频或十倍频时L（ω）的分倍数的改变量，常用单位是（分贝/十倍频）二、对数频率特性曲线（Bode图）ω增加10倍lgω增加1个倍频程L增加20dBω(rad/s)０.１１１０１００１０００lgω

－１０１２３L(ω)４０２００－２０－４０A增加十倍A(ω)１００１０１０.１０.０１ω(1/s)０.１１１０１００１０００(ω)180o90o-90o－180o6.2典型环节的频率特性

1.比例环节①幅相频率特性:传递函数：比例环节的频率特性其中幅值|G（jω）|=k，相位移，并且均与ω无关，它表示输出为输入的k倍，且同相位。其相应的用极坐标图表示的频率特性为：

G(jω)=0°20lgK②对数幅频特性L（ω）=20lg|G（jω）|=20lgK（dB）③对数相频特性

2.积分环节传递函数：000-90º∞-101-90º1-∞0∞-90º0V()U()|G(j)|∠G(j)ImRe=∞=01相位滞后90º低频放大，高频衰减积分环节-20dB/dec3微分环节传递函数：∞0∞90º∞10190º100090º0V()U()|G(j)|∠G(j)ImRe=0=∞相位超前90°低频衰减高频放大Bode图4.惯性环节传递函数：000-90º∞-0.50.50.707-45º1/T0110º0Q()P()|G(j)|∠G(j)∠G(j)|G(j)|

∠G(j)=0Im0.5 1.0Re=∞0.5惯性环节∠G(j)|G(j)|P()Q()00º1101/T-45º0.7070.5-0.5∞-90º000（2）表明，惯性环节在高频段1/T<ω<∞范围内是一条斜率为-20db/dec与ω轴相交于ω=1/T的渐进线，它与低频段渐进线的交点为ω=1/T，称为转角频率。注：（-20db/dec=-1-40db/dec=-2）②

惯性环节Bode图0°-45°-90°0dB-20dB-40dB-20dB/dec20lg|G(j)|惯性环节渐近幅频特性的修正-20dB/dec0dB-20dB-40dB20lg|G(j)|传递函数：5一阶/比例/实用微分∞1∞90º∞111.41445º1/T0110º0V()U()|G(j)|∠G(j)一阶微分∞1∞90º∞111.41445º1/T0110º0V()U()|G(j)|∠G(j)ImRe=0=∞11高频放大相位超前0~90°Bode图1/T6.振荡环节传递函数：频率特性：令s=jω000-180º∞-1/2

01/2

-90º1/T011-0º0V()U()|G(j)|∠G(j)振荡环节图01ReIm奈氏图ωL(ω)1/T-2幅频特性与关系幅频特性与关系幅频特性与关系幅频特性与关系幅频特性与关系图5-13震荡环节的对数幅频特性曲线

幅频特性与关系相频特性与关系相频特性与关系相频特性与关系相频特性与关系相频特性与关系图5-13二阶因子(震荡环节)的对数相频特性曲线

相频特性与关系③二阶振荡环节的相频特性也和阻尼比ξ有关，不同ξ的对数相频特性曲线都是以转角频率ω=1/T处相角为-90º的点为斜对称。Bode图②二阶振荡环节的谐振频率ωr和谐振峰值Mr

二阶振荡环节幅相频率特性为：

幅频特性为：

在附近,用渐近线得到的对数幅频特性有较大误差,时用渐近线得到:而准确特性为:若A（ω）在某频率ω处有峰值，则该频率称为谐振频率，用ωr表示。求取A（ω）对ω的导数，并令其为0。得这里ω2=0，只说明M（ω）在ω2=0处斜率为0。

所以由前面ω的解可得谐振频率∴A（ω）的谐振峰值Mr为

由式（2）可见，0≤ξ≤0.707时，ωr才为实数。只有0≤ξ≤0.707时，二阶振荡环节的对数幅频特性曲线才具有峰值，其值由（3）决定。图5-15与关系曲线

/dB7、二阶微分环节传递函数1.幅相特性2.幅频特性3.相频特性4.对数幅频特性5.对数相频特性图6-21二阶微分环节与振荡环节的对数频率特性8.时滞环节传递函数：1.幅相特性2.幅频特性3.相频特性由此可见，当从零到无穷大变化时，幅频特性与无关，恒为1；而相频特性是的线性函数，随由零变化到无穷大。故延迟环节的幅相频率特性曲线是以原点为圆心，以1为半径的单位圆奈氏图复习1.比例环节①幅相频率特性:传递函数：G(jω)=0°20lgK②对数幅频特性L（ω）=20lg|G（jω）|=20lgK（dB）③对数相频特性

2.积分环节传递函数：积分环节-20dB/dec3微分环节传递函数：Bode图4.惯性环节传递函数：②

惯性环节Bode图0°-45°-90°0dB-20dB-40dB-20dB/dec20lg|G(j)|传递函数：5一阶/比例/实用微分Bode图1/T6.振荡环节传递函数：频率特性：令s=jω振荡环节Bode图Bode图6.3.最小相位系统与非最小相位系统定义开环传递函数的零点与极点全部位于S左半平面的系统为最小相位系统，否则称为非最小相位系统。6.4开环频率特性曲线的绘制

奈氏图的绘制Bode图的绘制方法一：（工程上不实用）6.4.1开环幅相曲线(奈氏图)的绘制方法二：（工程上需要大致画法，基本特征不变）

三句话：1抓两头2关键点要计算3中间特性段靠分析（分析特性变化趋势）例：设

试绘制系统概略开环幅相曲线解：

1抓两头

2关键点（与实轴交点）

3分析

图中虚线为开环幅相曲线的低频渐进线。由于开环幅相曲线用于系统分析时，不需要准确知道渐近线的位置，故可根据取渐近线为坐标轴。曲线（2）为开环概略幅相曲线。１８４页图5-19１８5页图5-21例：已知单位反馈系统

试绘制系统概略开环幅相曲线解：1抓两头

2关键点

当时,ωx存在，乃氏曲线与实轴有交点，曲线位于II，III象限。

当时,ωx不存在，乃氏曲线与实轴无交点，曲线位于Ⅲ象限,或第Ⅳ与Ⅲ象限。

3分析

185页图5-21三奈氏图的绘制

三句话：1抓两头2关键点要计算3中间特性段靠分析（分析特性变化趋势）6.4.2开环伯德图的绘制

1.将开环频率特性G(jω)H(jω)改写成基本环节频率特性的乘积的形式。Bode图的绘制步骤：2.找出构成开环传递函数的各个基本环节的交换频率。一阶环节交接频率为,二阶环节交接频率为3.画出对数幅频特性的渐进线。渐近线按从左到右的顺序画出。先做低频段。以后每遇到一个交换频率渐近线边改变一次，斜率的改变量等于该交换频率所属基本环节的高频段渐近线的斜率。二阶斜率改变+40dB/dec4.画出每个基本环节的对数相频特性曲线并进行代数相加，便得到整个系统的开环对数相频特性曲线。C(S)R(S)_解：(1)(2)惯性环节转折频率10rad/s0dB-20dBL()11010020dB40dBL1-1L2L3-1-1-2L4(3)0dB-20dBL()11010020dB40dB-1-2L4-90°-135°-180°110100-45°0°(4)>>s=tf('s');>>G=1000/(s*(s+10));>>w=logspace(0,3);>>bode(G,w)解：将开环传递函数分解成各基本环节乘积的形式可见K=100,v=2(2)在坐标轴上标各个环节交接频率2作图：①在坐标轴上标各个环节交接频率L1-1-2-2L2-2L3+110L4-11001L(ω)ω-180º-20-402040ω3.低频渐近线的斜率为

当时，即低频渐近线的斜率为，且过点（1，40）。4.从低频段开始每经过一次交接频率，斜率变化一次。当时，斜率变为

当时，斜率变为-1-2-21L(ω)ω-20-4020405.绘制对数相频特性曲线>>s=tf('s');>>G=(100*(s+10))/(s^2*(s+100));>>w=logspace(0,3);>>bode(G,w)6.5频率稳定判据奈氏稳定判据应用举例系统的稳定裕量6.5.1奈奎斯特稳定判据(NyquistSta'bilityCri'terion)

əaiiə

iə

闭环传递函数为为了保证系统稳定，特征方程的全部根，都必须位于左半s平面。充要条件奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应与在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析

奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的

设开环传递函数其中A(s)为s的n阶多项式，B(s)为s的m阶多项式(n>m)特征函数方程为：式中：为F（S）的极点为F（S）的零点6.5.1特征函数2.特征函数F（s）的极点就是系统开环传递函数的极点。F（s）的零点就是系统的闭环传递函数的极点。3.由于F(s)和G(s)H(s)只差常数1,所以特征方程的闭合曲线可由开环传递函数的闭和曲线沿实轴正方向平移一个单位长度获得。特征方程的闭合曲线包围F(s)平面原点的圈数等于开环传递函数闭合曲线包围F(s)平面(-1,j0)点的圈数。由此可见：F（S）的零点和极点的个数是相等的。二、控制系统的频域稳定性判据1.一阶系统特征多项式:D(s)=s+ps=-p

R(ω)jI(ω)s=-pp>0系统稳定R(ω)jI(ω)s=-pp<0系统不稳定

设:特征方程具有负实根,令s=jω则矢量:D(jω)=jω+p令:ω从0→∞,且

Ψ(ω)为当

ω变化时,矢量D(jω)与横轴的夹角

R(ω)jI(ω)-pω=0Ψ(ω)=0ω

↑

Ψ(ω)↑ω

→∞

Ψ(ω)=π/2Ψ(ω)∴当ω从0→∞时,矢量D(jω)

逆时针旋转π/2角度即:ΔArg[D(jω)]=π/2

同理:若特征根为正实根R(ω)jI(ω)当ω从0→∞时,矢量D(jω)

顺时针旋转π/2角度即:ΔArg[D(jω)]=-π/2结论:对于一阶系统,如果系统是稳定的,那么当ω从0→∞时,矢量D(jω)

逆时针旋转π/2角度2.二阶系统特征多项式:矢量:若:特征方程具有负实根R(ω)jI(ω)

p1

p2∴当ω从0→∞时,矢量D1(jω),

D2(jω)都逆时针旋转π/2角度即:ΔArg[D(jω)]=ΔArg[D1(jω)]+ΔArg[D2(jω)]

=2·π/2若:特征根为一对具有负实部的共轭复根R(ω)jI(ω)

-p1

-p2-Ψ0Ψ0ΔArg[D(jω)]=2·π/23.n阶系统特征多项式:矢量:①若所有的根均在S左半平面,当ω从0→∞时,相角变化为:

ΔArg[D(jω)]=n·π/2②若n个根中有一个不在S左半平面,而在s右半平面,则相角变化为:ΔArg[D(jω)]=(n-1)·π/2-π/2=(n-2)·π/2≠n·π/2结论:n阶系统稳定的充要条件为,当ω从0→∞时,特征矢量D(jω)的相角变化量为:ΔArg[D(jω)]=n·π/2即:特征矢量D(jω)逆时针旋转n·π/2角度6.5.3奈奎斯特稳定判据0型系统①开环是稳定的系统

开环特征式D(s)所有的根均在S左半平面,

当ω

从-∞→∞时,相角变化为:

ΔArg[D(jω)]=n·π

若闭环系统也是稳定的,则闭环特征式DB(s)所有的根均在S左半平面,当ω从-∞→∞时,

相角变化为:ΔArg[DB(jω)]=n·π

∵特征函数则相角变化为:

ΔArg[F(jω)]=ΔArg[DB(jω)]-ΔArg[D(jω)]

=n·π-n·π=0∴若已知开环系统是稳定的,那么,当ω从-∞→∞时,若

矢量F(jω)的相角变化为0,也就是F(jω)的轨迹不包围原点,那么闭环系统特征方程式DB(s)的根全部在s左半平面,系统是稳定的,否则系统是不稳定的。∵曲线对原点的包围，恰等于轨迹对-1+j0点的包围∴稳定判据为：

当开环系统稳定时，使闭环稳定的充分必要条件是当ω从-∞→∞时，奈氏曲线G（jω）H(jω)不包围（-1，j0）点。②开环是不稳定的系统若开环特征式D(s)的n个根中，有p个根在S右半平面,则ω从-∞→∞时,相角变化为:ΔArg[D(jω)]=(n-p)·π+p(-π)=n·π-p·2π若闭环特征式DB(s)的n个根中，有z个根在S右半平面,则当ω从-∞→∞时,相角变化为:

ΔArg[DB(jω)]=(n-z)·π+z(-π)=n·π-z·2π∴ΔArg[F(jω)]=ΔArg[DB(jω)]-ΔArg[D(jω)]=(p-z)·2π=R·2πp为开环传函在S平面虚轴右边极点个数;Z为闭环传函在S平面虚轴右边极点个数;R为矢量F(jω）包围原点的圈数∴稳定判据为：当开环系统不稳定时，开环系统特征式有p个根在S右半平面,则闭环系统稳定的充分必要条件是：当ω从-∞→∞时，奈氏曲线G（jω）H(jω)逆时针围绕（-1，j0）点R=P圈。奈示判据闭环控制系统稳定的充分必要条件是:奈氏曲线逆时针包围(-1,j0)点的圈数R,等于开环传函位于右半S平面的极点数P,即:Z=P-R=0,则闭环系统稳定。（Z为闭环传函位于S右半平面的极点数）

复习奈氏图的绘制

三句话：1抓两头2关键点要计算3中间特性段靠分析（分析特性变化趋势）1.将开环频率特性G(jω)H(jω)改写成基本环节频率特性的乘积的形式。Bode图的绘制步骤：2.找出构成开环传递函数的各个基本环节的交换频率。一阶环节交接频率为,二阶环节交接频率为3.画出对数幅频特性的渐进线。渐近线按从左到右的顺序画出。先做低频段。以后每遇到一个交换频率渐近线边改变一次，斜率的改变量等于该交换频率所属基本环节的高频段渐近线的斜率。4.画出每个基本环节的对数相频特性曲线并进行代数相加，便得到整个系统的开环对数相频特性曲线。复习6.5.1.特征函数复习柰氏判据：设p为开环传函在S平面虚轴右边极点个数,p=0开环稳定；开环不稳定设Z为闭环传函在S平面虚轴右边极点个数,z=0闭环稳定；闭环不稳定1.当p=0开环系统稳定时，使闭环稳定z=0的充分必要条件是当奈氏曲线G（jω）H(jω)不包围（-1，j0）点，即R=02．当开环不稳定，闭环稳定的充分必要条件是当奈氏曲线G（jω）H(jω)逆时针包围（-1，j0）点p圈5.5.4奈氏判据在Ⅰ型与Ⅱ型系统中的应用当开环传函在原点具有v重极点时，即由于开环极点经过原点，开环系统临界稳定，所以不能直接应用奈氏判据。

为使奈氏路径不经过原点，要以原点为圆心作一个半径为无穷小的右半圆，按逆时针方向从右侧绕过原点。即此时变量

沿着轴从运动到，变量沿着半径为的半圆运动.图1图2GK(s)包含积分环节的奈氏路径GK(s)包含1个积分环节时的奈氏路径在GH平面上的影射A1'B1'1.对于Ⅰ型系统有2.对于Ⅱ型系统有

图3GK(s)包含2个积分环节时的奈氏路径在G(s)平面上的影射C'B'A1'B1'A'D'∴对于“Ⅰ”型,“Ⅱ”型系统，S平面上以原点为圆心，半径为无穷小的右半圆，在θ′从的变化过程中，在G(S)平面上的影射轨迹为按与θ′变化方向相反的反时针方向从ω=0+变化到ω=0-分别转过π及2π弧度，且半径为无穷大的园弧。综上所述，对于含有积分环节的系统，用奈氏判据判断闭环系统是否稳定时，一般只需绘制ω从0到∞时的开环幅相曲线，然后按其包围（-1,j0）点的圈数N（逆正，顺负），开环传函在右半S平面的极点数P，依公式Z=P-2N确定闭环特征方程在右半S平面上的根的个数。若Z=0,则闭环系统稳定。如果开环传函包含v个积分环节，则绘制开环幅、相曲线后，应从ω=0+对应的点开始，反时针方向补画个半径为无穷大的圆，但圆的方向是顺时针的。例一：设0型系统试判别闭环系统的稳定性解：①由已知开环传递函数极点分别为–0.5,-1,-2∴极点均不位于右半s平面即p=0②画开环传函奈氏图用奈氏稳定判据判断系统的稳定性开环传函奈氏图为:R(ω)jI(ω)ω=0ω→-∞ω→+∞-0.445复习奈氏图的绘制

三句话：1抓两头2关键点要计算3中间特性段靠分析（分析特性变化趋势）1.将开环频率特性G(jω)H(jω)改写成基本环节频率特性的乘积的形式。Bode图的绘制步骤：2.找出构成开环传递函数的各个基本环节的交换频率。一阶环节交接频率为,二阶环节交接频率为3.画出对数幅频特性的渐进线。渐近线按从左到右的顺序画出。先做低频段。以后每遇到一个交换频率渐近线边改变一次，斜率的改变量等于该交换频率所属基本环节的高频段渐近线的斜率。4.画出每个基本环节的对数相频特性曲线并进行代数相加，便得到整个系统的开环对数相频特性曲线。复习6.5.1.特征函数复习柰氏判据：设p为开环传函在S平面虚轴右边极点个数,p=0开环稳定；开环不稳定设Z为闭环传函在S平面虚轴右边极点个数,z=0闭环稳定；闭环不稳定1.当p=0开环系统稳定时，使闭环稳定z=0的充分必要条件是当奈氏曲线G（jω）H(jω)不包围（-1，j0）点，即R=02．当开环不稳定，闭环稳定的充分必要条件是当奈氏曲线G（jω）H(jω)逆时针包围（-1，j0）点p圈6.5.2对数频率稳定判据1.正、负穿越的概念G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画部分。所谓“穿越”是指轨迹穿过段。正穿越：把G(jω)H(jω)曲线自上向下穿越(-1,j0)点左侧的负实轴一次称为正穿越（相角增加）,用表示.

正穿越负穿越：把G(jω)H(jω)曲线自下向上穿越(-1,j0)点左侧的负实轴一次称为负穿越（相角减少），用表示。

负穿越半次正穿越：把G(jω)H(jω)曲线自上向下止于或自上向下起于(-1,j0)点左侧的负实轴称为半次正穿越半次负穿越：把G(jω)H(jω)曲线自下向上止于或自下向上起于(-1,j0)点左侧的负实轴称为半次负穿越

如果G(jω)H(jω)按逆时针方向铙(-1,j0)一周，则必正穿越一次。反之，若按顺时针方向包围点(-1,j0)一周，则必负穿越一次。这种正负穿越之和即为G(jω)H(jω)包围（-1，j0）的圈数。故奈氏判据又可表述为：

闭环系统稳定的充要条件是：当由0变化到时G(jω)H(jω)曲线在（-1，j0）点以左的负实轴上的正负穿越之和为P/2圈。

P为开环传递函数在s右半平面的极点数。此时

Z=P-2N若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即，则闭环系统稳定的充要条件应该是N=0：注意：这里对应的ω变化范围是。

例:某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有2个开环极点分布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2），G(jω)H(jω)轨迹在点(-1,j0)以左的负实轴有2次正穿越，1次负穿越，因为：N=,求得：Z=P-2N=2-2=0所以系统是稳定系统。.例:两系统取一半奈氏曲线，试分析系统稳定性。解:(a):N=N+-N–=（0-1）=-1，且已知P

=0，所以Z=P-2N=2系统不稳定。(b)：K>1时，N=N+-N-=1-1/2=1/2，且已知P=1，所以Z=P-2N=0，闭环系统稳定；K<1时，N

=N+-N-=0-1/2=-1/2，且已知P

=1，所以Z=P-2N=2，闭环系统不稳定；K=1时，奈氏曲线穿过(-1,j0)点两次，说明有两个根在虚轴上，所以系统不稳定。

2.对数频率稳定判据(伯德图上的奈氏判据)

极坐标图 伯德图 单位圆 0db线（幅频特性图） 单位圆以内区域 0db线以下区域 单位圆以外区域 0db线以上区域 负实轴 -1800线（相频特性图）因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L(ω)>0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。四、伯德图上的奈氏判据正负穿越可根据对数幅频特性曲线在大于0dB频率范围内，对数相频曲线穿越-180°线次数确定正穿越：把开环对数幅频特性L(ω)>0时,相频特性自下向上穿越(2k+1)π线一次称为正穿越（或把ω增大时,相角增加的穿越称为正穿越）.半次正穿越：把相频特性自下向上止于或自下向上起于(2k+1)π线称为半次正穿越。负穿越：把开环对数幅频特性L(ω)>0时,相频特性自上向下穿越(2k+1)π线一次称为负穿越（或把ω增大时,相角减小的穿越称为负穿越）。半次负穿越：把Γφ自上向下止于或自上向下起于(2k+1)π线称为半次负穿越。对数稳定判据：一个反馈控制系统其闭环特征方程正实部根个数Z可以根据开环传函右半S平面极点数P和开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相频曲线与(2k+1)π线的正负穿越数之差N=N+-N-确定即：Z=P-2N,Z=0,闭环系统稳定；否则不稳定。例：某系统有两个开环极点在S右半平面（P=2）N+-N-=1-2=-1P-2N=2-2(-1)≠0所以，系统不稳定。例：反馈控制系统，其开环传函为：试用对数频率稳