第6章期权定价

期权定价是所有衍生金融工具定价中最复杂的，它涉及到随机过程等较为复杂的概念。而期权定价又是整个金融工程学科的重要基础。本章将从证券价格的运动规律讲起，逐步推导出BS期权定价模型。期权价格的影响因素期权价格的影响因素主要有六个:（一）标的资产的市场价格与期权的协议价格（二）期权的有效期（三）标的资产价格的波动率（四）无风险利率（五）标的资产的收益（六）红利

期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源主要就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。(相对定价法)期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化。证券价格的变化还要受到市场的影响，也就是说市场状况使所有证券价格发生变化的基础和环境。为什么我们要研究证券价格的变化过程？

1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，1）投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；2）证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；3）市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的1、弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。2、半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。3、强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信息”）对挑选证券都没有用处。从定性到定量从规范到实证效率市场假说是从定性的角度研究证券市场的，为进一步的研究提供了基础和背景，但是它并不能告诉我们证券价格是怎样变动的。为此，需要找到某种方法描述证券价格的运动，并从中找到证券价格变动的规律。人们在对证券的价格进行研究时发现，随机过程能够很好地反映证券价格的变化，从而实现了从定性研究到定量研究，从规范研究到实证研究的转变。

随机过程（StochasticProcess）是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。根据时间是否连续和变量取值范围是否连续，随机过程可以做如下的划分：

从严格意义上说，证券价格的变化过程属于离散变量的离散时间随机过程，为了研究方便，可以把它近似为连续变量的连续时间的随机过程。

一般认为，弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程（MarkovStochasticProcess）是内在一致的。马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。在这个过程中，只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。如果证券价格遵循马尔可夫过程，则意味着其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格，这显然和弱式效率市场假说是一致的。

布朗运动（BrownianMotion）起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中的小粒子运动的描述。

对于标准布朗运动来说：设代表一个小的时间间隔长度，代表变量z在时间内的变化，遵循标准布朗运动的具有两种特征：特征1：和的关系满足：=其中，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。特征2：对于任何两个不同时间间隔，的值相互独立。

当0时，可以得到极限的标准布朗运动：

1、为何定义=而非？

当需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时，独立的正态分布，期望值和方差具有可加性，而标准差不具有可加性。这样定义可以使方差与时间长度成比例，不受时间划分方法的影响。相应的一个结果就是：标准差的单位变为

2、符合标准布朗运动的变量z在一段较长时间T中的变化情形：令z（T）－z(0)表示变量z在T中的变化量，显然该变量又可被看作是在N个长度为的小时间间隔中z的变化总量，其中N=T/Δt。很显然，这是n个相互独立的正态分布的和：因此，z（T）-z（0）也具有正态分布特征，其均值为0，方差为NΔt=T，标准差。普通布朗运动若变量x遵循普通布朗运动：其中：1、a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。2、a为漂移率（DriftRate），是指单位时间内变量z均值的变化值。3、b2为方差率（VarianceRate），是指单位时间的方差。普通布朗运动的离差形式为，显然，Δx也具有正态分布特征，其均值为，标准差为，方差为1、遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程，其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a。第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为aT，标准差为，方差为b2T。3、标准布朗运动的漂移率a为0,方差率为1。

普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，就可以得到，这就是伊藤过程（ItoProcess）其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。

随机分析学是概率论的一个重要分支,它诞生于20世纪40年代,创始人K.Ito获得1987年Wolf数学奖.在对获奖工作的评价中写到:“他的随机分析可以看作随机王国中的牛顿定律.它提供的支配自然现象的偏微分方程和隐藏着的概率机制之间的直接翻译过程。.……。

其主要成分是Brown运动函数的微分和积分运算.由此产生的理论是近代纯粹与应用概率论的基石.K.Ito(随机分析简介)16

在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：

其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。

在研究证券价格变化过程的时候，目标是尽量找到一个合适的随机过程表达式，来准确地描述证券价格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单性。一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、方差率为S2的伊藤过程来表示：两边同除以S得：

该随机过程又可以称为几何布朗运动。其中S表示证券价格，μ表示证券在瞬间内以连续复利表示的期望收益率（又称预期收益率），表示证券收益率瞬间的方差，表示证券收益率瞬间的标准差，简称证券价格的波动率（Volatility），dz表示标准布朗运动。其中，μ和σ的时间度量单位一般都采用年。几何布朗运动的离散形式为：

为什么证券价格可以用几何布朗运动表示？

1、市场一般认同股票市场符合“弱式效率市场假说”，而几何布朗运动的随机项来源于标准布朗运动dz，具有马尔可夫性质，符合弱式效率的假说。2、投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格的收益率。投资者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长，而是期望股票价格以一定的增长率在增长。3、几何布朗运动最终隐含的是：股票价格的连续复利收益率（而不是百分比收益率）为正态分布；股票价格为对数正态分布。在短时间后，证券价格比率的变化值为：

可见，也具有正态分布特征，其均值为，标准差为，方差为。也就是说其中表示均值为m，标准差为s的正态分布。1、几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分布。令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表示t时刻（当前时刻）的证券价格，ST表示T时刻（将来时刻）的证券价格，则在T－t期间G的变化为：从正态分布的性质可以得到：两点重要结论：

也就是说，证券价格对数服从正态分布。如果一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态分布。这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布的特性，以及符号的定义，可以得到:和从正态分布的性质可以得到：2、股票价格对数收益率服从正态分布由于dG实际上就是连续复利的对数收益率。因此几何布朗运动实际上意味着对数收益率遵循普通布朗运动，对数收益率的变化服从正态分布，对数收益率的标准差与时间的平方根成比例。:1、几何布朗运动中的期望收益率。

2、根据资本资产定价原理，取决于该证券的系统性风险、无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。3、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于，小于，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收益率则是算术平均的结果。1、证券价格的年波动率，是股票价格对数收益率的年标准差2、一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。*一般来说时间距离计算时越近越好；时间窗口太长也不好；一般来说采用交易天数计算波动率而不采用日历天数。::假设：1、证券价格遵循几何布朗运动，即和为常数；2、允许卖空标的证券；3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的；4、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；5、不存在无风险套利机会；6、证券交易是连续的，价格变动也是连续的；7、衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。

由于证券价格S遵循几何布朗运动，有：在一个小的时间间隔中，S的变化值为：在一个小的时间间隔中，f的变化值为：（2）设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，根据伊藤引理可得：（1）构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。令代表该投资组合的价值，则：

(3)在时间后，该投资组合的价值变化为：(4)

将式（1）和（2）代入式（4），可得：（5）由于式（5）中不含有，该组合的价值在一个小时间间隔后必定没有风险，因此该组合在中的瞬时收益率一定等于中的无风险收益率。因此：

(6)把式（3）和（5）代入上式得：化简为：（7）

这就是著名的布莱克——舒尔斯微分方程，适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。

受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率（）并未包括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。

因此，可以假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。尽管这只是一个人为的假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。

风险中性定价原理:

在风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。风险中性定价原理

在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为：其中，

表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价格c等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即：（8）

布莱克-舒尔斯期权定价方程的推导对（8）右边求值是一种积分过程，结果为：其中，（9）

N（x）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x的概率），根据标准正态分布函数特性，有

。

在B-S公式中，1）N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率.2）e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。3）SN(d1)=e-r(T-t)STN(d1)是ST的风险中性期望值的现值

。

因此，这个公式的实质就是未来收益期望值的贴现。对于布莱克－舒尔斯期权定价公式的理解无收益资产的欧式看跌期权的定价公式

根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：(ppt54)（10）

期权定价的二叉树模型布莱克－舒尔斯期权定价公式可为一个欧式看涨、看跌期权，以及美式无收益看涨期权定价，但是布莱克－舒尔斯期权定价公式并不是万能的，尤其是美式看跌期权，因为美式看跌期权有提前执行的可能性。为股票期权定价的一个有用的和很常见的方法是构造所谓的二叉树图（binomialtree）。这个树图表示了在期权有效期内股票价格可能遵循的路径。单步二叉树模型例子：假设一种股票当前价格为20美元，3个月后的价格可能为22美元或18美元。假设：1）股票不付红利，打算对3个月后以21美元的执行价格买入股票的欧式看涨期权进行定价。2）无风险利率为12%。简单的二叉树模型Stockprice=$20StockPrice=$22当前股票价格为$20三个月以后$22or$18StockPrice=$18买权StockPrice=$22OptionPrice=$1StockPrice=$18OptionPrice=$0Stockprice=$20OptionPrice=?

一个三个月的股票看涨期权，执行价格为$21

考虑一个投资组合: longDshares short1calloption

投资组合什么时候是无风险的：

22D–1=18DorD=0.2522D–118D建立一个无风险投资组合对投资组合进行定价无风险投资组合为: long0.25shares short1calloption三个月以后的价值：

22x0.25–1=4.50投资组合今天的价值：

4.5e–0.120.25

=4.3670x期权定价投资组合

long0.25shares short1option

组合当前价值4.367

其中股票的价值

5.000(=0.2520)

所以期权的价值为

0.633(=5.000–4.367)x20221824.219.816.2无收益资产美式看涨期权的定价公式在标的资产无收益情况下，美式看涨期权提前执行是不合理的，因此C=c，无收益资产美式看涨期权的定价公式同样是：有收益资产的欧式期权的定价公式对于有收益标的资产的欧式期权，在收益已知情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失。因此，我们只要用S表示有风险部分的证券价格。σ表示风险部分遵循随机过程的波动率，就可直接套用公式（9）和（10）分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。因此，当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（S－I）代替S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将代替S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。一般来说，期货期权、股指期权和外汇期权都可以看作标的资产支付连续复利收益率的期权。其中，欧式期货期权可以看作一个支付连续红利率为r的资产的欧式期权；股指期权则是以市场平均股利支付率为收益率，外汇期权标的资产的连续红利率为该外汇在所在国的无风险利率。对于欧式期货期权，可以将其当成一个支付连续红利率为r的资产的欧式期权。因此，此时布莱克－舒尔斯期权定价模型为：（11）

（12）

其中，例假设当前英镑的即期汇率为$1.5000，美国的无风险连续复利年利率为7%，英国的无风险连续复利年利率为10%，英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为10%，求6个月期协议价格为$1.5000的英镑欧式看涨期权价格。解：由于英镑会产生无风险收益，现在的1英镑等于6个月英镑，而现在的英镑等于6个月后的1英镑，，并代入式（6.23）就可求出后的因此可令期权价格。通过查累积正态分布函数N（x）的数据表，我们可以得出：c=1.42680.4298-1.44840.4023=0.0305=3.05美分因此,6个月期英镑欧式看涨期权价格为3.05美分。有收益资产的美式看涨期权的定价当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，因此有收益资产美式期权的定价较为复杂，布莱克提出了一种近似处理方法。该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理。若不合理，则按欧式期权处理；若在提前执行有可能是合理价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。在大多数情况下，这种近似效果都不错。

时刻到期的欧式看涨看涨期权的的，则要分别计算在T时刻和例假设一种1年期的美式股票看涨期权，标的股票在5个月和11个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为1.0元，标的股票当前的市价为50元，期权协议价格为50元，标的股票波动率为每年30%，无风险连续复利年利率为10%，求该期权的价值。首先我们要看看该期权是否应提前执行。根据第5章的结论，美式看涨期权不能提前执行的条件是：在本例中，D1=D2=1.0元，而第一次除权日前不等式右边为：由于2.4385>1.0元，因此在第一个除权日前期权不应当执行。由于0.4148<1.0元，因此在第二个除权日前有可能提前执行。第二次除权日前不等右边为：然后，要比较1年期和11个月期欧式看涨期权价格。对于1年期欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：因此S=50-1.8716=48.1284元将S=48.1284，代入式（9）得：其中，

由于N（0.3562）=0.6392，N（0.0562）=0.5224，因此对于11个月期的欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：因此

S=50-0.9592=49.0408元

因此将S=49.0408元，代入式（9）得：其中，

由于，因此该美式看涨期权价值近似为7.2824元。美式看跌期权的定价美式看跌期权无论标的资产有无收益都有提前执行的可能，而且与其对应的看涨期权也不存在精确的平价关系，因此我们一般通过数值方法来求美式看跌期权的价值。对于精度问题，我们可以运用布莱克——舒尔斯期权定价公式计算出期权价格的理论值，然后与市场上的期权价格进行比较。实证研究显示：1、舒尔斯期权定价公式倾向于高估方差高的期权，低估方差低2、高估实值期权的价格，低估虚值期权的价格。3、改变波动率的估计的方式会提高布莱克——舒尔斯期权定价公式在预测实际价格时的表现。的期权。造成用布莱克——舒尔斯期权定价公式估计的期权价格与市场价格存在差异的原因主要有以下几个：计算错误；2.期权市场价格偏离均衡；3.使用的错误的参数；4.布莱克——舒尔斯期权定价公式建立在众多假定的基础上。评估组合保险成本证券组合保险是指事先能够确定最大损失的投资策略。比如在持有相关资产的同时买入看跌期权就是一种组合保险。假设你掌管着价值1亿的股票投资组合，这个股票投资组合于市场组合十分类似。