第二章数学模型

●学时与学分：40/2.5

●基本教学内容与学时安排

一．绪论4

学时

二．自动控制系统的数学模型6

学时三．时间响应分析8学时四．频率特性分析8学时五．系统的稳定性8学时六．系统的性能指标与校正4

学时二、自动控制系统的数学模型2.0基本概念2.1系统的微分方程2.2Laplace

变换及系统传递函数2.3系统的传递函数方框图及其简化2.4反馈控制系统的传递函数2.5相似原理

2.0基本概念1)建立数学模型的意义(1)可定性地了解系统的工作原理及其特性;(2)更能定量地描述系统的动态性能;(3)揭示系统的内部结构、参数与动态性能之间的关系。2)系统数学模型的形式（1）最基本形式是微分方程,它在时域中描述系统(或元件)动态特性；（2）传递函数形式，它极有利于对系统在复数域及频域进行深入的研究、分析与综合。3)数学模型的建立方法建立系统数学模型有两种方法：分析法和实验法,本章仅就分析法进行讨论。(1)分析法:根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数学表达式，从而建立数学模型。(2)实验法:对于复杂系统，需要通过实验，并根据实验数据，拟合出比较接近实际系统的数学模型。

4)线性系统与非线性系统定义：描述系统的输入和输出之间动态关系的微分方程，如2.0.1

如果系数均为常数，则式(2-1)为线性定常微分方程，简称常微分方程。相应的动态系统称为线性定常系统。大多数物理系统均属于这一类，这是我们研究的重点。若是时间t的函数，则该方程为线性时变的，相应的系统也称为线性时变系统；例如，宇宙飞船控制系统便是一个时变系统，因为随着宇宙飞船上燃料的消耗，飞船质量发生变化，而且当飞船远离地球后，重力也在发生变化。

若中有系数依赖于或它们的导函数，或者，在微分方程中出现t的其他函数形式，则该方程就是非线性的，相应的系统也称为非线性系统，下面模型是非线性的。线性及非线性这一特性并不随系统的表示方法而改变，它是系统本身的固有特性。线性系统与非线性系统的根本区别在于：线性系统满足叠加原理，而非线性系统则不满足叠加原理。

线性化：为了分析研究非线性系统，在一定范围内将一些非线性因素忽略，近似地用线性数学模型来代替，这便是所谓数学模型的线性化。

本质非线性系统：例如电气系统中某些元件存在继电特性、饱和、死区和磁滞等现象，只能采取非线性方法进行分析与设计。这方面内容，本课程不作要求。

2.1系统的微分方程一．用分析法（解析法）列写微分方程的一般方法(1)确定系统或各元件的输入、输出变量。系统的给定输入量或扰动输入量都是系统的输入量，而被控制量则是输出量；(2)进行适当的简化，忽略次要因素；(3)从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理，列写出在运动过程中的各个环节的动态微分方程；(4)消除中间变量，写出只含有输入、输出变量的微分方程；(5)标准化。整理所得微分方程， 输出量降幂排列＝输入量降幂排列 一般将与输出量有关的各项放在方程左侧，与输入量有关的各项放在方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。

例1图示为两个形式相同的RC电路串联而成的滤波网络，试写出以输出电压和输入电压为变量的滤波网络的微分方程。

解：列写系统微分方程输入:电压 输出:电压中间变量简化(3)根据克希荷夫定律，可写出下列原始方程式：1部件的数学模型电路分析的基本方法

----克希荷夫定律(1)克希荷夫第一定律(克希荷夫电流定律KCL)：

在电路任何时刻，对任一结点，所有支路电流的代数和恒等于零，即流出结点的取+号，流入结点的取-号。N为支路数。

(2)克希荷夫第二定律(克希荷夫电压定律KVL)：

在电路任何时刻，沿任一回路，所有支路电压的代数和恒等于零，即电压的参考方向与指定的绕行方向一致的取+号，相反的取-号。N为支路数。

也写为基尔霍夫定律

(4)消去中间变量

式（2.1.1）就是系统的微分方程。

注意虽然电路又两个RC电路所组成，但不能把它看作两个独立的RC电路的连接。因为第二级电路的i2

要影响第一级电路的u1，列写方程式应考虑这个影响。这种后一级对前一级的影响叫做负载效应。存在负载效应时，必须把全部元件作为整体加以考虑。本例如果不考虑负载效应时，有：第一级：第二级：消去中间变量得到：显然与前面得到的结果不同。例2图示为电枢控制式直流电机原理图，设为电枢两端的控制电压，为电机旋转角速度，为折合到电机轴上的总的负载力矩。当激磁不变时，用电枢控制的情况下，为给定输入，为干扰输入，为输出。系统中为电动机旋转时电枢两端的反电势；为电动机的电枢电流；为电动机的电磁力矩。

(1)输入变量为电压；输出变量为电机旋转角速度;中间变量;(2)根据克希荷夫定律，电机电枢回路的方程为式中，L，R分别为电感与电阻。当磁通固定不变时，与转速成正比，即式中，为反电势常数。这样（2.1.5）式为根据刚体的转动定律，电动机转子的运动方程为(2.1.5)(2.1.6)(2.1.7)式中，J为转动部分折合到电动机轴上的总的转动惯量。当激磁磁通固定不变时，电动机的电磁力矩与电枢电流成正比。即式中，km为电动机电磁力矩常数（3）消除中间变量将（2.1.8）式代入（2.1.7）式得上式略去了与转速成正比的阻尼力矩。应用（2.1.6）式和（2.1.9）式消去中间变量ia，可得令，则上式为

式（2.1.11）即为电枢控制式直流电动机的数学模型。由式可见，转速ω既由ua控制，又受ML影响。(2.1.8)(2.1.9)

(2.1.10)

(2.1.11)二．微分方程的增量化表示前面从数学角度讨论了系统的模型。下面是考虑工程实际进一步讨论模型。

(1)电动机处于平衡状态，变量各阶导数为零，微分方程变为代数方程：此时，对应输入输出量可表示为：

则有这就是系统的稳态。

（2.1.12）

（2.1.13）（2）系统的稳态并不能长期稳定，闭环控制系统的任务就是要系统工作在稳态。当输入量发生变化时，输出量相应变化，输入输出量可以记为：则式（2.1.11）可记为：考虑到，上式可变为

2.14式的意义是：对于定值控制系统，总是工作在设定值即稳态或平衡点附近，将变量的坐标原点设在该平衡点，则微分方程转换为增量方程，它同样描述了系统的动态特性，但它由于不考虑初始条件，求解及分析时方便了许多。

(2.1.14)控制系统微分方程的建立

线性定常微分方程的求解

初值定理：终值定理:例：例：三．非线性微分方程的线性化某些非线性系统，可以在一定条件下，进行线性化。图2.1.3是一个液压伺服系统，下面通过它讨论线性化问题。

(1)输入变量为阀心位移x；输出变量为活塞位移y;中间变量

(2)按照液压原理建立动力学方程负载动力学方程为流量连续性方程为

q与p一般为非线性关系

(2.1.15)

(2.1.16)(2.1.17)（3）线性化处理将(2.17)在工作点领域做泰勒展开，当偏差很小时，可略去展开式的高阶项，保留一次项，并取增量关系，有：式中则(2.18)可以写成

当系统在预定工作条件，，下工作即分别为q,x,p,故（2.1.19）可以写为(2.1.18)

(2.1.19)

(2.1.20)

（4）消除中间变量由(2.20)可得

整理后可得线性化后的动力学方程为：(2.1.21)(2.1.22)图2.1.4q,p,x三者线性关系

小偏差线性化时要注意以下几点：（1）必须明确系统工作点，因为不同的工作点所得线性化方程的系数不同。本题中参数在预定工作点的值均为零

（2）如果变量在较大范围内变化，则用这种线性化方法建立的数学模型，在除工作点外的其它工况势必有较大的误差。所以非线性模型线性化是有条件的，即变量偏离预定工作点很小。（3）如果非线性函数是不连续的（即非线性特性是不连续的），则在不连续点附近不能得到收敛的泰勒级数，这时就不能线性化。（4）线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。

2.2系统传递函数传递函数是经典控制理论最基本的数学工具。1.微分方程转化传统函数：将实数域中的微分、积分运算化为复数域中的代数运算，简化了分析、设计中的计算工作量。2.传统函数导出频率特性：在频域对系统进行分析和设计.

一.

定义输入、输出的初始条件为零，线性定常系统（环节或元件）的输出的Laplace变换与输入的Laplace变换之比，称为该系统（环节或元件）的传递函数G(S)。

数学说明：线性定常系统微分方程如下：

输入、输出的初始条件均为零时，作Laplace变换可得：

由定义可得：

将式（2.2.3）画成方框图，如图2.2.1所示。

图2.2.1系统框图则：(2.2.4)(2.2.1)(2.2.2)(2.2.3)二.零点、极点和放大系数

G(s)因式分解：

K为常数当时，均能使G（s）=0,故称为G(s)的零点。当时，均能使G（s）取极值：故称为G(s)的极点

1.G(s)的分母系数与微分方程左边系数是一致的，是系统的本质参数；2.极点方程与微分方程的特征方程是一致的，极点即微分方程的特征根；3.当系统输入信号一定时，系统的零、极点决定着系统的动态性能。

放大系数是系统稳态时输出与输入之比。当输入为单位阶跃函数由终值定理可求得系统稳态输出为：

G(0)分别由定义及分解式得：

放大系数为G(0)

，它由微分方程的常数项决定。

系统响应：已知输入的情况下，可由微分方程求解；可由传递函数求出输出的拉氏变换，再进行拉氏反变换求得。三．典型环节的传递函数典型环节：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节，振荡环节和延时环节。系统总可以分解为典型环节组成。下面介绍这些环节的传递函数及其推导：

1．比例环节（或称放大环节，无惯性环节，零阶环节）输出不失真也不延迟而按比例反映输入的环节称为比例环节，其动力学方程为：K为环节的放大系数或增益。其传递函数为：（2.2.5）

2、惯性环节（或一阶惯性环节）

动力学方程为一阶微分方程的环节为惯性环节，其传递函数为：式中，K为放大系数；T为惯性环节时间常数，惯性环节的方框图如图2.2.4所示。（2.2.6）

图2.2.4惯性环节3．微分环节

具有输出正比于输入的微分，即具有的环节称为微分环节，显然，其传递函数为：式中，T为微分环节的时间常数，微分环节的方框图如图2.2.7所示（2.2.7）图2.2.7微分环节4、积分环节

具有输出正比于输入对时间的积分，即具有的环节称为积分环节，显然，其传递函数为：式中，T为积分环节的时间常数，积分环节的方框图如图2.3.13所示。图2.2.13积分环节（2.2.8）

5、振荡环节（或称二阶振荡环节）

振荡环节是二阶环节，其传递函数为：或写成

为无阻尼固有频率；T为振荡环节的时间常数，为阻尼比。方框图见图2.2.17。

阶跃输入时，输出有两种情况：

（1）当0≤ξ<1时，输出为一振荡过程，即为振荡环节；（2）当ξ≥1时，输出为一指数上升曲线而不振荡，最后达到常值输出。此时，二阶环节不是振荡环节，而是两个一阶惯性环节的组合。当T很小，ξ较大时，由式（2.2.10），可知可忽略不计，故分母变为一阶，二阶环节近似为惯性环节。图2.2.176、延时环节（或称迟延环节）

延时环节是输出滞后输入时间，但不失真地反映输入的环节。一般与其他环节同时共存，不单独存在。延时环节的输入与输出之间有如下关系（τ为延迟时间）：

延时环节是线性环节：设延时作用相当于算子A，即通过算子A的作用而变为，即：

从而有：

这表明算子A符合叠加原理是线性的，即延时环节是线性环节。

（2.2.11）延时环节传递函数：

延时环节与惯性环节区别：惯性环节的输出需要延迟一段时间才接近于所要求的输出量，但它从输入开始时刻起就已有了输出；延时环节在输入开始之后，延时时间内并无输出，延时时间之后，输出就完全等于输入；简言之，输出等于输入，只是在时间上延时了一段时间间隔。(2.2.12)

2.3系统的传递函数方框图及其简化一.传递函数方框图一个系统可由若干个环节组成，将这些环节以方框表示，其间用相应的变量联系起来，就构成系统的方框图。它是系统的一种图解表示方法。如图2.3.1所示。方框图表示有如下优点：（1）可以形象地表示系统的内部情况及各环节、各变量之间的关系；（2）可以由局部环节的方框联成整个系统的方框图，再将方框图简化，就易于写出整个系统的传递函数；（3）可以揭示和评价每个环节对系统的影响。1.方框图结构要素

(1)函数方框

函数方框是传递函数的图解表示，。方框中表示的是该输入输出之间的环节的传递函数。所以，方框的输出应是方框中的传递函数乘以其输入，即

(2)相加点

相加点是信号之间代数求和运算的图解表示，如图2．3．2所示。

1.相加点处，输出信号(离开相加点的箭头表示)等于各输入信号(指向相加点的箭头表示)的代数和；2.“十”号或“一”号表示该输入信号代数运算中的符号；3.在相加点处加减的信号必须是同种变量，且量纲相同；4.相加点可以有多个输入，但输出是唯一的。

(3)分支点分支点表示同一信号向不同方向的传递，如图2．3．3所示，在分支点引出的信号：量纲相同，数值相等.2.方框图的建立

建立系统方框图的步骤：

(1)建立系统(或元件)的原始微分方程；

(2)对微分方程进行Laplace变换，并根据各Laplace变换式中的因果关系，绘出相应的方框图；

(3)按照信号在系统中传递或变换的过程，依次将各传递函数方框图连接起来(同一变量的信号通路连接在一起)，系统输入量置于左端，输出量置于右端。二.传递函数方框图的等效变换

实际自动控制系统：通常用多回路的方框图表示，如大环回路套小环回路，其方框图甚为复杂。为便于分析和计算，可基于下述的等效原则对方框图加以简化。1．串联环节的等效变换规则串联：前一环节的输出为后一环节的输入的联接方式称为环节的串联，如图2．3．8所示。串联后的传递函数为：故环节串联时等效传递函数等于各串联环节的传递函数之积

2.并联环节的等效变换规则各环节的输入相同，输出为各环节输出的代数和，这种联接方式称为环节的并联，如图2.3.9所示。则有环节并联时等效传递函数等于各并联环节的传递函数之和3．方框图的反馈联接及其等效规则

如下图所示称为反馈联接，它也是闭环系统传递函数方框图的最基本形式。单输入作用的闭环系统，其传递函数方框图总可以简化成图2．3．10所示的基本形式。

图2．3．10中，称为前向通道传递函数，它是输出与偏差之比，即称为反馈回路传递函数，即

前向通道传递函数与反馈回路传递函数之乘积定义为系统的开环传递函数,它也是反馈信号与偏差之比，即（2.3.1）

（2.3.2）（2.3.3）输出信号与输入信号又之比，定义为系统的闭环传递函数，即

可以推出:对于负反馈系统若反馈回路传递函数H(S)=1,称为单位反馈。此时有

（2.3.4）

（2.3.5）（2.3.6）4．分支点移动规则

若分支点由方框之后移到该方框之前，为了保持移动后分支信号不变，应在分支路上串人具有相同传递函数的方框，如图2．3．11(a)所示。

若分支点由方框之前移到该方框之后，为了保持移动后分支信号X3不变，应在分支路上串人具有相同传递函数的倒数的方框，如图2．3．1l(b)所示。5．相加点移动规则

若相加点由方框之前移到该方框之后，为了保持总的输出信号X3不变，应在移动的支路上串入具有相同传递函数的方框，如图2．3．1l(c)所示。

若相加点由方框之后移到该方框之前，应在移动的支路上串入具有相同传递函数的倒数的方框，如图2．3．1l(d)所示。6．分支点之间、相加点之间相互移动规则

分支点、相加点间的相互移动，均不改变原有的数学关系，因此，可以相互移动，如图2．3．12(a)、(b)。但分支点相加点之间不能直接移动，因为它们并不等效。7．交换相加点和分支点

分支点与相加点间的相互移动，为了保持总的输出信号不变，每条分支均要考虑相加点。化简的方法主要是通过移动分支点或相加点，消除交叉联接，使其成为独立的小回路，以便用串、并联和反馈联接的等效规则进一步化简，一般应先解内回路，再逐步向外回路，一环环简化，最后求得系统的闭环传递函数。例：如图2．3．13所示，应用上述规则来简化一个三环回路的方框图，并求系统传递函数。图2.3.13(a)

化简过程可按如下步骤进行：

(1)由(a)相加点前移得（b）;

图2.3.13(b)

(2)将（b）中，中间小环回路化为单一向前传递函数,得（c）；图2.3.13(c)

(3)再消去(c)中第二个闭环回路，使之成为单位反馈的单环回路，得(d)；图2.3.13(d)

(4)去掉（d）中单位反馈回路，得到单一向前传递函数，即原系统的闭环传递函数。图2.3.13(e)方框图的等效变换及简化途径不是唯一的

除了简化求解系统传递函数，含有多个局部反馈的闭环传递函数，还可直接用梅逊增益公式求解：括号内每一项的符号是这样决定的：在相加点处，反馈信号为“相加”时取负号；反馈信号为“相减”时取正号。

(2.3.7)

依此可直接由(a)作出（e），要特别注意，在应用式（2.3.7）时，必须要具备以下两个条件：（1）整个方框图只有一条前向通道；（2）各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。如图2.3.14（a）中，系统有两个独立的局部反馈回路，其间没有公共的方框。不能若直接用式（2.3.7），应先将两局部反馈回路分别简化成两个方框，然后，将此两方框串联，得传递函数在图2.3.14（b）中，系统的两个反馈回路间有公共的传递函数方框，因此，可直接用式(2.3.7)得出传递函数：若系统不能满足使用式（2.3.7）的两个条件，可先将其方框图化成满足使用条件的形式，然后，再应用式（2.3.7）求出闭环传递函数。

2．4反馈控制系统的传递函数

控制系统一般会受到两类输人作用，一类是有用输入，或称给定输入、参考输入以及理想输入等；另一类则是扰动，或称干扰。给定输入通常加在控制装置的输人端，也就是系统的输入端；而干扰一般作用在被控对象上。为了消除干扰对系统输出的影响，一般采用反馈控制的方式，将系统设计成闭环系统。典型结构可用图2.4.1(a)所示的方框图表示。图2.4.1(a)反馈控制系统的典型框图

应用叠加原理可分别求出在输入信号和由扰动作用时，反馈控制系统的传递函数，即闭环传递函数。

输入信号作用下的闭环传递函数