第3章 复变函数的积分

同微积分一样，在复变函数中，积分法也是研究复变函数性质十分重要的方法．在解决实际问题中也是有力的工具．本章先介绍复变函数积分的概念，性质和计算方法然后介绍关于解析函数积分的柯西－古萨基本定理及其推广，有了这些基础，我们建立柯西积分公式，最后证明解析函数的导数仍是解析函数，从而导出高阶导数公式.第三章复变函数的积分11.有向曲线:

设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,3.1复积分的概念及其简单性质3.1.1积分的定义2简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明:在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.按段光滑的简单闭曲线称为周线。32.定义3.1设有向曲线C把曲线C分成若干弧段,作和式45关于定义的说明:（4）如果为闭曲线，那末沿此闭曲线的积分记作.63.定理3.1证明：正方向为参数增加的方向,注：今后我们所提曲线，若无特殊声明，总假定是光滑或按段光滑的。78根据线积分的存在定理,所以9当n

无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,

10在形式上可以看成是公式即复函数积分可表为两个实积分.113.1.2.复变函数积分的计算问题设有向曲线C：或12证明注：用公式(3.2)或(3.3)计算复变函数的积分,是从积分路径的参数方程着手,称为参数方程法.13例1

解积分路径的参数方程为14重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.153.1.3复变函数积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.16估值不等式(6)积分估值定理3.217证明两端取极限得[证毕]18证明而C之长为2,根据估值不等式知例219例4计算，其中为从原点到点的直线段。解：直线的方程可写成或于是由于容易验证，右边两个线积分都与路线无关，所以的值无论是怎样的曲线都等于20例5

解(1)积分路径的参数方程为y=x21(2)积分路径的参数方程为y=x22y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为积分路径不同,积分结果也可能不同.23例6

解积分路径的参数方程为24253.1.4小结与思考

这一小节我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积分的一般方法.26作业：P141：习题(一)1，2,3(1)273.2柯西积分定理早在1825年柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的一条基本定理，现称为柯西积分定理（或称柯西古萨基本定理）．28定理3.2.1如果函数在单连通域内处处解析，那末函数沿内的任何一条封闭曲线的积分值为零。即推论3.2.1设函数在复平面上的单连通域内解析，则在内任意两点之间的积分与路径无关。29证明：设与是D内连接与的两条曲线，则正方向曲线与负方向曲线就连接成D内的一条闭曲线C，从而由柯西积分定理及§１的性质（4）有:因此3.2.2柯西积分定理的古萨证明（略）303.2.3柯西积分定理的推广定理3.2.2设是一条周线，为的内部，函数在闭域上解析，则定理3.2.3设是一条周线，为的内部，函数在内解析，在上连续，则定理3.2.3（闭路变形原理）在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.31定理3.2.4（复合闭路定理）设为多连通域内的一条简单闭曲线，是在内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以为边界的区域全含于，则有如下结论：如果在内解析，那么1）其中及均取正方向;2）32这里为由及所组成的复合闭路（其方向是：按逆时针进行，按顺时针进行）.例如：根据闭路变形原理，例2中包含的任何一条正向简单闭曲线都有：33例3.2.1计算的值，为包含圆周在内的任何正向简单闭曲线.解：函数有两个奇点和，在内作两个互不包含也互不相交的正向圆周与，只包含奇点，只包含，那末根据复合闭路定理，有343.2.4原函数与不定积分定理3.2.5如果函数在单连通域内处处解析，那么积分与连结起点及终点的路线无关.由定理3.2.5，积分在内确定了一个单值函数，即定理3.2.6如果在单连通域内处处解析，那么函数必为内的一个解析函数，并且35证明：作一个以Z为心，以充分小的为半径的圆，使得在内取动点，则由于积分与路径无关，因而我们可取的积分路径为由

沿与相同的路径到Z

,再从Z沿直线段到,从而有于是

图3.3

图3.3证明：作一个以Z为心，以充分小的为半径的圆，使得在内取动点，则36但已知在D内连续，所以对，可取上述的充分小，使得在内的一切点均有，从而由定理3.2有即37定义如果函数在区域内的导数等于，即，那么称为在区域内的原函数.的任意两个原函数相差一个常数.定义的原函数的一般表达式（其中为任意常数.）为的不定积分，记作定理三如果在单连通域内处处解析，为的一个原函数，那么这里为域内的两点.38从定理三可以看出，用牛顿－莱布尼兹公式计算积分，首先，要看积分上、下限的两点是否可以包含在一个单连通域内，且被积函数是否在该单连通域内解析；其次，要易于求出被积函数的原函数。例3.2.2求积分解：39例3.3.3

求积分的值.解：函数在全平面内解析，容易求得它有一个原函数，所以40例3.3.4计算积分解：因为在复平面上处处解析，所以41练习：计算积分（1）；（2）；（3）；

（4）计算积分的值，C是0到的摆线：.42解：（1）；（2）；（3）0；（4）注意到积分与路径无关.433.3柯西积分公式及其推论3.3.1柯西积分公式定理3.3.1（柯西积分公式）如果函数在区域D内处处解析，C为内D的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,为C内的任一点,那末(3.3.1)公式(3.3.1)称为柯西积分公式.通过这个公式就可以把一个函数在C内部任何一点的值,用它在边界上的值来表示.44证明：对于任意固定一点，则函数作为的函数在D内除点z外解析．现以点z为心，充分小的为半径作圆周，使对于复围线及函数，应用复合闭路定理有而因此45又根据的连续性知对，只要时，就有再由复变函数积分估值不等式可得故有46例3.3.1求下列积分：1）；2）解：1）；2）47定理3.3.2（解析函数平均值定理）如果函数在圆内解析，在闭圆上连续，则即在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均数。例3.3.2设函数在闭圆上解析，如果存在，使当时，且，试证：在圆内至少有一个零点。48证：由题设知在闭圆上解析。由平均值定理，又据题设，有从而矛盾，故在圆内至少有一个零点。493.3.2解析函数的无穷可微性一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数.这一点与实变函数完全不同,因为一个实变函数的可导性不保证导数的连续性,因而不能保证高阶导数的存在,关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理定理3.3.3解析函数的导数仍为解析函数,它的n阶导数为:其中C为在函数的解析区域D内围绕的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于D.50高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导，而在于通过求导来求积分.例3.3.3求下列积分的值，其中C为正向圆周1）；2）解：1）函数在C内的处不解析，但在C内处处解析.故有512）在C内以为中心作正向圆周，以为中心作正向圆周，则根据复合闭路定理有52练习：计算积分，C为以下曲线：1）；2）；3）.53解：有两个奇点，，1）在内有一个奇点，故2）在内有一个奇点，故3）在内有两个奇点，，故543.3.3柯西不等式与刘维尔定理1.柯西不等式设函数在区域D内解析，为D内一点，以为心作圆周，只要及其内部K均含于D，则有其中证明：应用定理3.3.3直接可得。注：柯西不等式说明解析函数在解析点的各阶导数的估计与它的解析区域的大小密切相关。552.刘维尔定理

在整个复平面上解析的函数称为整函数，例如常数，多项式，，及都是整函数。刘维尔定理有界整函数必为常数。证：只须利用柯西不等式证明在复平面上的一阶导数为零即可。应用刘维尔定理可证如下代数学基本定理：在平面上，n次多项式至少有一个零点。证：用反证法。56证明：假设在z平面上无零点，由于在平面上解析，从

而在z平面上也是解析的．其次，由于

所以

于是，使得，又因为在上连续，故，使得从而在z平面上有即在z平面上解析且有界，因此根据刘维尔定理，为常数，故亦为常数，与已知为多项式矛盾，定理得证．573.3.4Morera定理定理3.3.5设函数在单连通域B内连续，且对于B内任何一条简单闭曲线C都有，那么在B内解析.定理3.3.7函数在区域G内解析的充要条件是：（1）在G内连续；（2）对任一周线C，只要C及其内部全含于G内，就有