ch3矩阵的初等变换与线性方程组课件

第3章矩阵的初等变换与线性方程组§3.3

线性方程组§3.2矩阵的秩§3.1矩阵的初等变换-1-第3章矩阵的初等变换与线性方程组-2

-3.1.4用初等变换求逆矩阵3.1.3矩阵的等价标准形3.1.2初等矩阵3.1.1矩阵的初等变换3.1.5用逆矩阵解矩阵方程§3.1矩阵的初等变换§3.1矩阵的初等变换-3

-

初等变换是研究矩阵的性质、求矩阵的逆和解线性方程组的重要工具.其核心是利用初等变换，把复杂矩阵化成简单矩阵来处理,，同时要求简单矩阵还要保留原来矩阵的若干性质.定义

如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作例如-5

--6

-记号例如(下页)3.1.2初等矩阵定义

由n阶单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为n阶初等矩阵.-7

-例1

初等矩阵为非奇异矩阵.解例如：-9

-定理相当于相当于相当于相当于相当于相当于设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在矩阵A的左边乘相应的m

阶初等对A施行一次初等列变换，相当于在矩阵A的右边乘相应的n

阶初等矩阵，即矩阵；此定理也可称为“左行右列”原则.-10

--11

-用相应的初等矩阵左乘.用相应的初等矩阵右乘.-13

-用相应的初等矩阵左乘.用相应的初等矩阵右乘.-14

-上式例2计算解-15

-(A)交换的第一列与第二列得到(B)交换的第一行与第二行得到(C)交换的第一列与第二列得到(D)交换的第一行与第二行得故选(C).例3

设A为n阶可逆矩阵(n≥2)

,交换A的第1行与第2行得到矩阵B，则（）解-17

-非零行的首非零元所在列的其余元均为零.例如都是行简化梯矩阵.定义如果一个阶梯矩阵具有如下特征，则称其为最简阶梯矩阵(行简化梯矩阵):

非零行的首非零元为1;2.简化阶梯形矩阵-18

-例4只用初等行变换将矩阵A化为简化阶梯形矩阵.-19

-阶梯形阶梯形最简阶梯形-21

-(续例4)形状为-22

-

3.标准形矩阵化为:定理

用初等变换必能将矩阵称此矩阵为矩阵A的等价标准形.[r≤min(m,n)].例6用初等变换将下列矩阵化为标准形：-23

--25

-使得和根据“左行右列”原则和等价标准形定理，或对任意矩阵A存在可逆矩阵P

和Q,使得(1)推论1

对任意矩阵A存在有限个初等矩阵一些有用的推论如下：-26

-

定理

n阶方阵A可逆的充要条件是A

可表示成有限个初等矩阵的乘积.(2)因为初等矩阵的逆仍然是初等矩阵，再由(2)得：推论2方阵A可逆的充要条件是A的等价标准这是因为如果A可逆，则(1)式中A的等价标准形必为E，否则左边是可逆矩阵,右边是不可逆矩阵，矛盾.反之,如果A的等价标准形为E，由(1)式有由(2)知A

是可逆的.

形为E.-27

-这说明:

方阵A可逆的充要条件是只用初等行变换必可将A

化为单位矩阵E.推论3如果A

可逆,由(2)又得的逆矩阵.作3×6矩阵例1

求矩阵解-29

--30

-于是得到如果不知矩阵A

是否可逆，也可按上述方法去做,只要n×2n左边子块有一行元素全为零，则A不可逆.-31

-例2

判断求作3×6矩阵∵左边子块第三行全为０，∴A不可逆.解是否可逆，若可逆-32

-五、用逆矩阵解矩阵方程-33

-1.解矩阵方程AX=B(假设A可逆)方法1：先求，再计算方法2：方法1：先求，再计算2.解矩阵方程XA=B(假设A可逆)方法2：3.1.5用逆矩阵解矩阵方程-34

-解例3求矩阵X，使,其中由AX+B=X，得-35

-这说明E−A是可逆矩阵

，且小结：用初等变换求逆矩阵

解矩阵方程作业：P862（2）、3（2）-37

-3.2.2用初等变换求矩阵的秩3.2.1矩阵秩的定义§3.2矩阵的秩§3.2矩阵的秩3.2.1矩阵的秩的定义在矩阵中任选k

行

k

列其相交处的个元素，按原来定义3.5的位置构成k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.矩阵共有个

阶子式.最低阶为阶，最高阶为阶.其中不为零的子式称为非零子式.1.k

阶子式3.2.1矩阵的秩的定义等等,它们都是三阶子式.每一个元素都是一阶子式.等等,例如它们都是二阶子式.-39

-的最高阶子式是3阶，共有4个3阶子式.易见2.矩阵的秩定义3.6如果在矩阵A中有一个r

阶非零子式D，且所有的r+1阶子式(如果存在的话)全等于0，那么D记作R(A)，即R(A)=r.称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，

在矩阵A中，当所有的r+1阶子式全等于零时，由行列式的性质可知，所有高于r+1阶的子式(如果存在的话)也全等于零，因此A的秩R(A)就是A中不等于零的子式的最高阶数.规定零矩阵的秩等于零.定义阶方阵

，则称A为满秩矩阵.定义，则称为行满秩阵；，则称为列满秩阵；则称A为降秩矩阵.

因为可逆矩阵的秩等于其阶数，故可逆矩阵又称为满秩矩阵.不可逆方阵又称为降秩矩阵.A可逆

A非奇异

|A|0A满秩矩阵

A的最高阶非零子式为|A|

A的标准形为E.例１解计算A的3阶子式，

用定义求矩阵的秩并非易事，后面我们将用初等变换法去求矩阵的秩.定理3.4

3.2.2用初等变换求矩阵的秩由于的充要条件是有可逆矩阵P、Q，使因此可得推论若可逆矩阵P、Q，使则

由此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩.矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即3.2.2用初等变换求矩阵的秩

例2

将下列矩阵利用初等变换化为行阶梯形,再化为行最简形,最后化为标准形.并求其秩.秩显然为３.是A的标准形.为行阶梯形矩阵，为行最简形矩阵，

注意：化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用初等行变换.化矩阵为标准形时，初等行变换和初等列变换均可以使用.例３设其中求解分析：直接将化为阶梯形矩阵即可，故

矩阵的秩的性质例4设又

或

解若R(A)<3，求a.-50

-3.3.2非齐次线性方程组有解的充分必要条件§3.3线性方程组3.3.3齐次线性方程组有解的充分必要条件3.3.1用高斯消元法解线性方程组§3.3线性方程组-51

--52

-

克莱姆法则只适用n个未知量n个方程的线性方程组,且系数行列式不为零.使用高斯消元法可求解更一般的线性方程组.1.线性方程组何时有解?2.若有解,解是否唯一？3.有解时,如何求出全部的解？问题

方法

矩阵的初等变换.

矩阵形式:(2.3)1.线性方程组的一般式含有n个未知量m个方程的线性方程组一般形式为：-53

-一、线性方程组的一般式其中

为n元未知量矩阵。为常数项矩阵，为系数矩阵，3.3.1用高斯消元法解线性方程组称为增广矩阵.-54

-线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的.例如2.高斯消元法的求解过程例1解线性方程组

(注意方程组初等变换与增广矩阵初等行变换的关系).-55

-二、高斯消元法的求解过程互换方程(1)与(2)的位置，得解(2)+(1)×(-2),(3)+(1)×(-4)，得(3)+(2)×(-1),得-56

--57

-(3)×(-1/2)，得

阶梯形方程组阶梯形矩阵-58

-(2)+(3)×2,(1)+(3)×(-2)，得(2)×(-1/3)，得-59

-(1)+(2)×(-1)，得可得原方程组的解为：行简化梯矩阵-60

-由于三种变换均可逆,所以变换前的方程组与在例1的求解过程中，对方程组始终用到如下三种变换：(1)交换方程的位置；(2)以不等于0的数乘某个方程两边；(3)把一个方程的k倍加到另一个方程上.等价地，就是对增广矩阵只实施初等行变换.变换后的方程组是同解的.-61

-最后一行对应的方程是：0=2

,所以方程组无解.例2求解非齐次线性方程组对增广矩阵使用初等行变换化梯矩阵:解-62

-(1)对增广矩阵使用初等行变换化行最简形矩阵:例3解非齐次线性方程组解-63

-(2)写出同解的最简梯形方程组

(3)移项:保留第一个未知量在左边，其余的移到右边此时,右边的未知量称为自由变量.(4)令自由变量取任意常数，即得一般解(通解或全部解)即令为任意常数.-64

-(取任意常数)得方程组的一般解为:从以上3例可以看出，一个线性方程组的解可能出现三种情况：无解，唯一解，无穷多解.-65

-梯矩阵(判断是否有解)方程组增广矩阵行简化梯矩阵梯形方程组令自由变量为任意常数,得解有解结束移项行变换无解

使用高斯消元法求解线性方程组步骤矩阵的秩最高阶非零子式的阶数行阶梯形矩阵非零行的行数行最简形矩阵非零行的行数标准形矩阵中单位矩阵的阶数小结：作业：P864（3）、6（3）用高斯消元法解线性方程组-67

-的秩，可以方便地讨论线性方程组的解.利用线性方程组(3.1)的系数矩阵A与増广矩阵设线性方程组(3.1)的系数矩阵的秩R(A)=r，其增广矩阵有从而只有两种可能：对线性方程组(3.1)的增广矩阵施以行初等变换，化为行阶梯形矩阵，由定理3.4知，初等变换不改变矩阵的秩，从而判别出线性方程组解的情况.3.3.2非齐次线性方程组有解的充要条件3.3.2非齐次线性方程组有解的充分必要条件-68

-不妨设m×n线性方程组(3.1)的增广矩阵经过一系列初等行变换化为如下行阶梯形矩阵-69

-

同解阶梯形方程组为量称为自由未知量.自由未知量共有n–r个.称为主元,主元所在定义

列对应的未知量称为约束变量,其余未知-70

-方程组中有矛盾方程，方由克莱姆法则知,方程组有唯一解.由梯形方程组可得若则方程组有解，且(1)当r=n时,梯形方程组为程组无解;若-71

-（2）当r<n

时,梯形方程组为移项

任给自由变量一组值,由克拉默法则知,可唯一确定因此原方程组有无穷多个解.

线性方程组方程组Ax=b有解的充要条如果r=n，那么方程组有唯一解；如果r<n，那么方程组有无穷多解.线性方程组方程组Ax=b无解的充要条件是件是定理3.5-72

--73

-

问方程组何时无解，何时有解?当方程组有解时求出其一般解.例4

对方程组的增广矩阵作初等行变换解-74

-如果q=4,p=1对B进一步作初等行变换,可得当q=4时,R(A)=R(A,b)=3，原方程组有解;当q≠4时,R(A)=3，R(A,b)=4，原方程组无解;-75

-得同解方程组:令,移项得：得通解为:-76

-如果q=4，p≠1，对B进一步作初等行变换,可得得同解方程组并移项令，得一般解为(为任意常数)练习1问a,b

取何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷多解？-77

-练习2当k为何值时，下列方程组有解练习1问a,b

取何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷多解？解-78

-原方程组无解；原方程组有无穷多解.原方程组有唯一解；当a=5，b≠–3时，当a=5，b=–3时，当a≠5，b为任意时，-79

-练习2当k为何值时，下列方程组有解∴方程组有无穷多解.解-80

-定理3.6若齐次