时间最优控制

极小值原理的应用：时间，燃料最优控制问题目录一.Bang-Bang控制原理二.线性定常系统的时间最优控制三.燃料最优控制四.时间-燃料最优控制五.习题六.总结

时间最优控制

时间最优控制问题，是可以运用极小值求解的一个常见的工程实际问题。如果把系统由初始状态转移到目标集的时间作为性能指标，则使转移时间为最短的控制称为最短时间控制，亦称最速控制。一、Bang-Bang控制原理1.移动目标集的时间最优控制问题已知受控系统的状态方程为：寻找满足不等式约束的r维容许控制向量u(t),使系统从初始状态出发，在末态时刻，首次达到目标集其中g是p维向量函数,且使最小值的最优控制u(t).

上述问题用极小值原理求解，构造哈密顿函数为：

规范方程、边界及横截条件分别为:极值条件为：可得式中sgn(*)为符号函数，令则最优控制分量应取在最优轨线末端，哈密顿函数应满足由以上条件知：若,则可以运用极小值原理确定，此时称为正常情况。若不确定，可取满足约束条件的任意值，此时称为奇异情况。2.正常和奇异控制问题设在区间内，存在时间可数集合，使有在时间最优控制是正常的在区间，至少存在一个子区间，使得对所有，至少有一个函数则时间最优控制是奇异的，称为奇异区间。3.Bang-Bang控制原理设u*(t)是上述问题的时间最优控制，x*(t)和是相应的状态向量和协态向量。若问题正常，则最优控制为：定理表明，每个控制分量恰好在自己的两个边界值之间来回切换，满足的各个点正好是切换点。这是一种继电型控制或开关控制，故有邦-邦控制之称。线性定常系统的时间最优控制设线性定常系统是完全可控的，求满足下列约束的容许控制向量u(t)：使系统从已知状态x(0)=x0转移到状态空间原点x(tf)=0的时间最短，性能指标为在解决上述问题之前，应该先判断它是否正常。定理1令式中，当且仅当m个矩阵中，至少有一个是奇异矩阵时，它则是奇异的。定理2当且仅当式中，上述问题是正常的。定理3若上述系统是正常的，且时间最优控制存在，则最优控制必定唯一。定理4有限切换（开关次数）定理设线性定常系统是正常的，nxn系统矩阵A的全部特征值均为实数，时间最优控制存在，其分量为。令表示的切换时刻，则在两个边界值之间的切换次数N≦n-1.(n为系统的维数）定理5当系统正常是，存在最优解的必要条件为：正则方程

式中哈密顿函数为边界条件

极小值条件若A有全部实特征值，则的切换次数为N≦n-1.H函数变化率燃料最优控制

在工程实际中，常常需要考虑是控制过程中所消耗的能量最小。此时控制作用表现为推力或力矩的大小和方向。若以非负量表示燃料的瞬时消耗率，则控制过程中所消耗的的燃料总量为,仅考虑如下形式的关系：式中是m维控制向量u(t)的第j个分量，CJ为比例系数，称为比耗。为了保证控制过程中最省燃料，选择燃料消耗总量作为性能指标二次积分模型的状态方程：求满足约束条件的最优控制，是系统有任意初态，转移到状态空间原点（0.0）且使性能指标为最小。设末端时刻tf自由。正则方程，哈密顿函数则有边界条件极小值条件函数变化律H函数的最优控制取极小值时，等价于函数对最优控制取极小值。引入死区函数记号dez,其意义为a=dez{b},表示为以及由以上关系能否完全确定，取决于函数的性质。与时间最优控制问题类似，也可以分为正常与奇异两种情况：若在时间区间[0,tf]内，值在有限点成立，则属正常情况，最优控制可取-1、0、+1三个值，随时间的增长，在这三个值上转换，称为三位控制或开关控制。若至少存在一段时间间隔，在其上有则问题属于奇异情况。对协态方程积分可得：式中为协态初始条件。根据的数值情况，为奇异控制或为正常控制.（1）奇异情况若为满足,应有。此时，只能决定的符号，而无法确定其数值。（2）正常情况若，则是时间t的线性函数。这是，至多在两个孤立的时刻成立，因而燃料最优控制函数是正常的，为三位控制，且最多有两次切换。对系统进行相平面分析，当u=+1和u=-1时，系统由初态转移到坐标原点的两条轨线为,如下图所示，点集表达式为：

A.初始点在上,为唯一最优控制。B.初始点在上,为唯一最优控制。C.初始点在R4区,u(t)有无穷多组解,但u=[01]所用时间最短.初始点在R2区,u(t)有无穷多组解,但u=[0-1]所用时间最短.D.初始点在R1，R3区,u(t)无解,但存在一个燃料最优问题.综上所述，燃料最优控制律：时间-燃料最优问题

单纯以节省燃料为目标的燃料最优控制问题，往往使得系统的响应太慢，不满足实际的使用要求。若将缩短时间与节省燃料加以综合考虑，设计的控制系统既能节约燃料又不至于响应缓慢，因而产生了时间-燃料最优控制问题。一种好的处理方法是在燃料最优控制性能指标中增加时间的加权项，得到式中，为时间加权系数，表示设计者对响应时间的重视程度。若取，表示不计时间长短，只考虑节省燃料。若取，表示不计燃料消耗，只求时间最短。已知系统的状态方程求满足下列约束条件：的最优控制u*(t)，使系统由任意初态转移到空间原点（0,0），且使性能指标为最小。设末端时刻tf自由。令哈密顿函数与上节类似，由极小值条件可得根据协态方程假定初始协态为，解得

最优轨线应满足通过分析，如下六种控制序列为候选最优控制序列{+1}，{-1}，{+1}，{0，+1}，{0，-1}，{+1,0,-1}，{-1,0,+1}，通过相平面法讨论得相轨迹图如下：除为开关曲线外,也为开关曲线.是u由-1切到0的开关曲线,且有整个相平面分成4个区域,且起于各区初始状态的相应控制为：可得时间-燃料最优控制律为：例题

设人造卫星姿态控制系统方程为：控制约束要求确定，使性能指标极小，并求出切换时间ts和最短时间构造哈密顿函数：最优控制由协态方程解得因为协态向量为非零向量，故不能同时为零。根据的不同组合，的可能形状如下图所示。因而候选控制序列为：{+1}，{-1}，{+1，-1}，{-1，+1}，令，由状态方程有消去t得轨迹方程为：满足末态相轨迹为：曲线和组合成曲线，表达式为曲线将相平面分割为两个区域。作为状态集合，可表示为：相轨迹图为：相平面上的开关曲线对于一般的二次积分模型的时间最优控制问题，其最优控制律为：本例，故最优控制律为了具体求出切换时间ts,需要求解最优轨线方程。

总结

最短时间控制系统，是依据所谓砰-砰原理构成的，它只有+1和-1两种工作状态。最少燃料控制问题，其哈密尔顿函数对控制u(t)及其是一次的。它包含+1,0，-1三种工作状态。和最短时间控制系统相比，最少燃料控制系统的最大特点，是多了一个u=0的控制方式，这意味着在工作过程的某些阶段，可以借助于系统中积存的能量来维持工作，不用消耗燃料