数学选修2-1 第二章 231 双曲线及其标准方程

理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章考点一考点二2.32.3.1知识点一知识点二考点三2.3.1双曲线及其标准方程我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰组成第四批护航编队远赴亚丁湾，在索马里海域执行护航任务．某日“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍山”舰相距1600m的“千岛湖”舰，3s后也监听到了该马达声(声速为340m/s)．问题1：“千岛湖”舰比“马鞍山”舰距离快艇远多少米？提示：340×3＝1020（米）．问题2：若把“马鞍舰山”和“千岛湖”舰看成两个定点A，B，快艇看成动点M，M满足什么条件？提示：|MB|－|MA|＝1020.双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的

等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这

叫做双曲线的焦点，

叫做双曲线的焦距．差的绝对值两个定点两焦点间的距离在平面直角坐标系中，已知A(－3,0)，B(3,0)，C(0，－3)，D(0，3)．问题1：若动点M满足||MA|－|MB||＝4，则M的轨迹方程是什么？问题2：若动点M满足||MC|－|MD||＝4，则点M的轨迹方程呢？焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程(a>0，b>0)

(a>0，b>0)焦点坐标

a，b，c的关系c2＝

F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a2＋b21．双曲线定义的理解

(1)定义中的常数是“差的绝对值”，“绝对值”这一条件不可忽略.若没有绝对值，表示的只是双曲线的一支．①若|PF1|－|PF2|＝2a(a>0)，曲线只表示双曲线靠近F2的一支．②若|PF1|－|PF2|＝－2a(a>0)，曲线只表示双曲线靠近F1的一支．

(2)若|F1F2|＝2a，动点的轨迹不再是双曲线，而是两条射线．

(3)若|F1F2|<2a，动点的轨迹不存在．[思路点拨]

解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b，c的方程组，求得a，b，c，从而得双曲线标准方程;也可以设成mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式，可避免讨论并简化运算．[一点通]

求双曲线标准方程的步骤:答案：A[思路点拨]根据双曲线的定义和勾股定理分别列出关于|PF1|，|PF2|的方程，求得|PF1|，|PF2|或|PF1|·|PF2|即可．[一点通]

利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形的使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系；二是要与三角形知识相结合，如勾股定理、余弦定理、正弦定理等，同时要注意整体思想的应用．解析：双曲线中a2＝16，a＝4,2a＝8.由双曲线定义知||MF1|－|MF2||＝8，又|MF1|＝3|MF2|，所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4.答案：B4．已知动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切且与圆C2：(x－

3)2＋y2＝1内切，则动圆圆心M的轨迹方程是________．[例3]

已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．

[思路点拨]

解答本题可依据所学的各种曲线的标准形式的系数应满足的条件进行分类讨论．[一点通]解决这类题的基本方法是分类讨论，在分类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．在讨论过程中应说出该方程表示的是哪种曲线及其特征．答案：C6．当0°≤α≤180°时，方程x2cosα