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文档简介

§5

微积分学基本定理

一、变限积分与原函数的存在性

本节将介绍微积分学基本定理,并用以证明连续函数的原函数的存在性.在此基础上又可导出定积分的换元积分法与分部积分法.

三、泰勒公式的积分型余项

二、换元积分法与分部积分法返回一、变限积分与原函数的存在性积分;类似称为变下限的定积分.定理9.9(变上限定积分的连续性)证则为变上限的定于是定理9.10（微积分学基本定理)若f在

[a,b]上连续,上处处可导,且由

x的任意性,

f在

[a,b]上连续.证由于

f在

x处连续，因此注1

本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似续函数必存在原函数”这个重要结论.乎不相干的概念之间的内在联系,也证明了“连注2

由于f的任意两个原函数只能相差一个常数,所以当f为连续函数时,它的任一原函数F必为二、换元积分法与分部积分法则定理9.12（定积分换元积分法）注与不定积分不同之处:定积分换元后不一定要例1解（不变元,不变限）元积分法时，引入了新变量，此时须改变积分限.保留原积分变量，因此不必改变积分限;用第二换用原变量代回.一般说来，用第一换元积分法时，例2解（变元,变限）例3解（必须注意偶次根式的非负性）例4解因此,积分的分部积分公式：若

u(x),v(x)为

[a,b]上的连续可微函数,则有定定理9.13（定积分分部积分法）例5解例6

计算解例7.

计算解令

例8.

计算解若

u(x),v(x)在

[a,b]上有

(n+1)阶连续导函数,则由此可得以下

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