数字滤波器第二讲课件

《数字信号处理》课程2010-2011学年度秋季学期——IIR数字滤波器

引言IIR滤波器是极零点滤波器，也即该滤波器既具有零点也具有极点。极点的存在说明了反馈的存在，因而导致了无限长的冲激响应。用差分方程来描述一个离散时间IIR滤波器：

IIR滤波器的主要优点：

结构简单，计算量相对FIR较低；易于表示成级联的形式，使得高阶的滤波器能够由低阶滤波器的级联来实现。

IIR滤波器的主要缺点：

由于极点的存在，造成了IIR滤波器的不稳定；较难满足线性相位。主要内容系统的全通分解与最小相位系统；IIR数字滤波器的设计流程；IIR模拟滤波器设计简介；模拟和数字之间的转换和逼近方法。1.系统的全通分解

若一个因果系统的幅频响应对于所有的频率都等于1或某个常数则该系统称为全通系统。一个最简单的全通系统是

该系统表明其输出信号仅仅是输入信号的延迟。

一个全通系统的极点和零点关于单位圆镜像对称其分子分母多项式是互为镜像的多项式，即其中为N阶实系数多项式。进一步可以证明

最小相位系统由于IIR滤波器难以满足线性相位的要求，因此分析全通系统的意义在于一个全通系统和一个最小相位系统的级联可以做到在不改变系统的幅频响应的前提下，实现对相位的矫正，使得系统的相位响应尽可能接近线性或者实现常数相位。一个因果、稳定的系统要求极点全部在单位圆内，如果一个系统的极点和零点全部位于单位圆内，则该系统称为最小相位系统。若零点全部在单位圆外，则系统为最大相位系统；若单位圆内外均有零点，则为混合相位系统

最小相位滤波器具有一些重要的性质，首先最小相位滤波器相对于零相位（轴）具有最小的相位偏移，因此其冲激响应也具有最小的迟延。在反卷积和系统辨识的应用中，逆系统是一个非常重要的概念，给定一个稳定的因果系统则其逆系统，也就是逆滤波器当且仅当是最小相位滤波器时，逆滤波器才是稳定的、因果的，也即物理可实现的最小相位滤波器另一个重要的用途就是和全通系统级联，也即所谓的全通分解性质。任何一个非最小相位的因果系统的转移函数均可以由一个最小相位系统和一个全通系统级联构成证明：2.IIR数字滤波器设计流程

设计一个滤波器首先应该考虑滤波器的应用前提，明确滤波器在一个系统中的作用比如要设计的是一个低通、带通还是高通滤波器…？是否要求线性相位？其次考虑实现的方式，是软件实现还是硬件实现？然后再考虑所要求的滤波器的性能如何，也就说明确滤波器的技术指标，如对通带、阻带和过渡带的要求

典型的幅度技术指标

通带：，为通带截止频率，为通带波纹阻带：，为阻带截止频率，为阻带波纹；峰值通带波纹：最小阻带衰减：过渡带宽度：模拟和数字滤波器的幅频指标的对应

数字滤波器的设计流程（以双线性变换逼近法为例）

3.IIR模拟滤波器设计简介

由于数字IIR滤波器的设计实质上是利用模拟滤波器的成果，因此有必要对于模拟滤波器的设计作一个简要的介绍。模拟滤波器的设计主要有Butterworth，Chebyshev和椭圆滤波器，这里只介绍前两种滤波器的设计方法。模拟滤波器的设计采用的是函数逼近的方法来近似所要求的滤波器的幅频特性。滤波器的技术指标同滤波器的幅频特性紧密相关的，通常采用幅度平方特性建立滤波器的幅度特性和技术指标之间的函数联系。模拟滤波器的设计步骤频率的归一化。由于滤波器的动态范围千差万别，为使设计工作规范化，通常需要将滤波器的频率相对于某个频率作一个归一化的处理。对于低通滤波器，令，则，；由所要求的技术指标来确定近似函数的参数，也即滤波器的设计参数；由求滤波器的系统函数，也即确定系统的极零点。Butterworth滤波器

Butterworth滤波器的定义：

其中C为待定的常数，N为滤波器的阶数。设计的主要工作就是确定合适的C和N，进而设计系统的极零点。频率归一化后，由于确定参数后，下面剩下的任务就是确定合适的了，这等效于求系统函数，和归一化频率相对应，可以定义归一化复变量进一步有令考虑到所设计的滤波器应该是稳定的，因此将左半平面的极点赋予，即若N为偶数，则极点共轭成对出现，每一对共轭极点构成一个二阶系统，这样可以等效为个二阶系统的级联。若N为奇数，则等效为一个一阶系统和个二阶系统的级联。因此高阶系统可以转化为低阶（一阶和二阶）系统的级联。

Butterworth滤波器无论在通带还是阻带都是单调下降的，其过渡带随着N的增大而逐渐变窄

Chebyshev滤波器

Chebyshev-I型滤波器：幅度平方特性为其中频率归一化由于由于所以，令进而，写出n的计算表达式下面确定滤波器的极点分布，由于的极点为的根，因此求解椭圆方程

该方程的根分布在一个椭圆的圆周上椭圆方程也因而得名。对于具体的求解步骤这里不再赘述，详见相关的专著。上述方程左半平面的根就对应滤波器的极点，进而可以确定滤波器的系统函数为：Chebyshev-I型滤波器在通带内等波纹振荡，在阻带内单调下降。该滤波器在相同的阶数条件下，过渡带明显要窄于Butterworth滤波器。Chebyshev-I型滤波器的频率特性Chebyshev-II型滤波器Chebyshev-II型滤波器的幅度平方定义为：

和I型相比，不难判断其通带和阻带特性是相反的。同I型相反，II型在阻带内等波纹振荡，在通带内单调下降。Chebyshev-II型滤波器的设计步骤这里就不详细讨论了。椭圆滤波器在通带和阻带内都是等波纹振荡的，且其过渡带非常窄，椭圆滤波器不仅有极点而且还有零点，因此椭圆滤波器的设计更为复杂，对于椭圆滤波器这里同样不作讨论。

Chebyshev-II型滤波器的频率特性4.数字－模拟－数字的逼近

数字IIR滤波器的设计主要是借助模拟IIR滤波器的设计方法，将所要设计的数字滤波器通过适当的方法转化为模拟滤波器即可。问题的实质集中于数字－模拟的近似方法，主要有：双线性变换法，导数逼近法和冲激响应不变法（阶跃响应不变法）。

冲激响应不变法

由于离散时间系统可以通过连续时间系统的采样来定义。由于冲激响应能够表征一个LTI系统，因此也可以通过对冲激响应的采样来得到离散时间系统的冲激响应，从而确定一个数字滤波器。对应的滤波器的频率响应的关系为：时域的采样会引起频域的延拓。若是带限的，则因此，可以模拟频率和数字频率的关系式出发，首先将数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标，设计一个满足要求的模拟滤波器对应的冲激响应

然后再对采样，得到数字滤波器的冲激响应为对应的滤波器的系统函数为比较S平面上在处的极点变换为Z平面上处的极点，且和仅相差一个比例因子T。若稳定，则其极点必位于左半平面，对应的的极点位于单位圆内。阶跃响应不变法和冲激响应不变法的实质是一样的，但是这种的映射方法势必会造成频域的延拓和混叠，因此仅适用于带限滤波器。

双线性变换法双线性变换是实现滤波器数字－模拟近似任务的一种主要的方法。该方法的思想是将Z平面通过双线性变换映射为S平面，也就是建立一种变换由于Z平面上的单位圆对应于S平面的轴，因此希望寻找一种满足以下要求的变换：

S平面的轴映射为Z平面上的单位圆的一周，也即一一映射；若稳定，则也稳定；该映射变换是可逆的；若，则根据和

即可将模拟频率换成数字频率

这种想法最为直观，但是满足前面对于变换的要求吗？在单位圆上将代入，则这样在轴上，每隔便对应映射单位圆的一周，从而引起频域的混叠，不满足上述一一映射的要求。双线性变换是满足要求的一种变换，定义为在轴上，对应的频率关系为：

这种频率的映射实质上是一种非线性的变换

模拟和数字频率的正弦函数映射关系

设计步骤由给定的滤波器的频率响应的指标通过变换求得对应的模拟滤波器的指标借助不同的模拟滤波器的设计方法得到模拟滤波器

利用双线性变换求出对应的数字滤波器，也即

导数逼近法

模拟滤波器到数字滤波器的转换，另一个方法是用差分方程来近似连续时间系统的微分方程实质上等效于线性常系数微分方程的数值解法。当时，用后向差分替代微分其中T为采样间隔，且模拟微分器的系统函数而数字差分系统的系统函数为因此→同样二阶微分也可以由二次差分来表示对应于频域即为同理，可以导出的k阶微分对应于频域为

由差分对于微分的近似，IIR数字滤波器的系统函数可以由模拟滤波器的系统函数来表示

该式实质上给出了一种由S域到Z域的映射关系以替换s，又可以得到导数逼近法所建立的模拟和数字频率的映射关系

当沿着虚轴运动时，其轨迹映射到Z域上是一个以为圆心，半径为1/2的圆。？？？？？？可以证明该映射将S域左半平面映射到了上述圆的内部，右半平面映射为该圆的外部。然而该方法所设计的数字滤波器，其系统函数的极点会被限制在相对较小的频率范围之内，这是因为S域的左半平面仅仅对应于上述圆的内部，并且该圆在单位圆的内部所占区域较小，从而限制了极点的范围。因而该方法仅限于用来设计频率响应范围相对较窄的低通或带通滤波器。由于极点位置受限，采用上述导数逼近方法只能映射某些特定的高通滤波器，缺乏将任意的模拟高通滤波器映射成相应的数字高通滤波器的能力。一些复杂的微分替代方法可以克服上述限制，特别是L阶差分替换式的形式其中{}是一组系数用以优化逼近的性能。其对应的S域到Z域映射即为当时以代换s，则模拟频率变量与数字频率变量之间的关系为

选择适当的系数{}，则可以实现将轴映射为Z域的单位圆，也可以满足S域左半平面映射为单位圆内部的要求。但是合适系数的选择是相当困难的。思考题

信号和干扰的频谱是分离的，则采用上述经典的滤波器，也即：低通、带通、高通和带阻滤波器即可虑除。但是如果信号和干扰的频谱混合在一起，如何做到信噪的分离呢？（从经典到现代）能否实现依相位频率特性的滤波呢？FIR和IIR数字滤波器级联而成的滤波器的频率特性又该如何呢？5.数字滤波器小结

离散时间系统的基本理论是数字滤波器设计的基础。模拟滤波器的