2023届二轮复习通用版 专题6 第3讲 导数的简单应用 课件（60张）

第二篇经典专题突破•核心素养提升专题六函数与导数第3讲导数的简单应用1．高考对导数几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题的第一问．2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等偏下，有时综合在解答题中．考情分析自主先热身真题定乾坤核心拔头筹考点巧突破专题勇过关能力巧提升自主先热身真题定乾坤1．(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为

(

)A．y＝－2x－1

B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3

D．y＝2x＋1【解析】

∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f(1)＝－1，f′(1)＝－2，因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.真题热身B

B

3．(2022·全国乙卷)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是_______．【解析】

f′(x)＝2lna·ax－2ex，因为x1，x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2的极小值点和极大值点，所以函数f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上递减，在(x1，x2)上递增，所以当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)<0，当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，若a>1时，当x<0时，2lna·ax>0，2ex<0，则此时f′(x)>0，与前面矛盾，故a>1不符合题意，若0<a<1时，则方程2lna·ax－2ex＝0的两个根为x1，x2，即方程lna·ax＝ex的两个根为x1，x2，即函数y＝lna·ax与函数y＝ex的图象有两个不同的交点，∵0<a<1，∴函数y＝ax的图象是单调递减的指数函数，又∵lna<0，∴y＝lna·ax的图象由指数函数y＝ax向下关于x轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的|lna|倍得到，如图所示：设过原点且与函数y＝g(x)的图象相切的直线的切点为(x0，lna·ax0)，则切线的斜率为g′(x0)＝ln2a·ax0，5x－y＋2＝0

5．(2021·全国新高考Ⅰ卷)函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值为____．1

1．高考对导数的几何意义的考查，多在选择、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题第一问．2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度较大．有时出现在解答题第一问．感悟高考核心拔头筹考点巧突破1．导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).考点一导数的计算、几何意义2．基本初等函数的导数公式 (1)已知函数f(x)＝asinx＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2016)＋f(－2016)＋f′(2016)－f′(－2016)＝ (

)A．0

B．2015C．8

D．2016【解析】∵f(x)＝asinx＋bx3＋4，∴f′(x)＝acosx＋3bx2，∴f(x)＋f(－x)＝8，f′(x)－f′(－x)＝0，∴f(2016)＋f(－2016)＋f′(2016)－f′(－2016)＝8.故选C.典例1C

(2)(2021·河南洛阳模拟)已知曲线y＝xlnx－3x2的一条切线在y轴上的截距为2，则这条切线的方程为

(

)A．4x－y－2＝0

B．5x－y－2＝0C．4x＋y－2＝0

D．5x＋y－2＝0D

3

【素养提升】求曲线y＝f(x)切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程．(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．C

－1

导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，函数不具有单调性．考点二利用导数研究函数的单调性考向1讨论函数的单调性

已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若过点P(1，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且仅有两条，求实数a的取值范围．典例2作出g(x)的大致图象如下图所示，

由图可知，－a＋1＞1，解得a＜0，故实数a的取值范围为(－∞，0).【素养提升】求解或讨论函数单调性问题的解题策略讨论函数的单调性，其实就是讨论不等式解集的情况，大多数情况下，这类问题可以归纳为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．[注意]讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．考向2利用函数的单调性求参数取值(范围) (1)(2021·贵州贵阳高三模拟)已知函数f(x)＝2x2＋2x＋4lnx－ax，若当m＞n＞0时，f(m)－f(n)＞m－n，则实数a的取值范围是 (

)A．(0，9)

B．(－∞，9]C．(－∞，8]

D．[8，＋∞)典例3B

【素养提升】已知y＝f(x)在(a，b)上的单调性求参数范围的方法(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题求解：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”．(3)若函数y＝f(x)在(a，b)上不单调，通常转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解．D

[e－1，＋∞)

可导函数的极值与最值(1)若在x0附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．考点三利用导数研究函数的极值与最值

(2022·山东潍坊高三模拟)已知函数f(x)＝2x3－(a＋3)x2＋2ax，a∈R.(1)当a＝0时，求f(x)的极值；(2)当|a|≥1时，求f(x)在[0，|a|]上的最小值．典例4【解析】(1)当a＝0时，f(x)＝2x3－3x2，f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，故当x∈(－∞，0)，(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，则f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减．所以f(x)的极大值为f(0)＝0，极小值为f(1)＝－1.【素养提升】(1)讨论函数的极值，首先要讨论函数的单调性，一般地，若讨论函数的导数符号可以转化为二次函数符号，且该二次函数能够因式分解，则因式分解后，根据导数对应方程根的大小以及