2022年高考数学一轮复习 平面向量的线性运算及基本定理（精练）（解析版）

10.1平面向量的线性运算及基本定理（精练）【题组一基本概念的辨析】1．（2021·上海市嘉定区第一中学高三月考）下列说法中正确的是（）A．；B．若、非零向量且，则；C．若且，则；D．若，则有且只有一个实数，使得.【答案】B【解析】左边是向量的加法，结果是零向量，用表示，故A错误；由、非零向量且，两边平方可得，即，所以，故B正确；当时也有且，故C错误；若，，不存在实数，使得，故D错误．故选：B．2．（2021·广东深圳市·深圳外国语学校高三月考）（多选）下列说法错误的是（）A．若，则 B．若，则存在唯一实数使得C．若，，则 D．与非零向量共线的单位向量为【答案】ABC【解析】对于A，若，则，无法得到，A错误；对于B，若，，则，此时不存在满足的实数，B错误；对于C，若，则，，无法得到，C错误；对于D，，由单位向量和共线向量定义可知与共线的单位向量为，D正确.故选：ABC.3．（2021·东莞高级中学高三月考）（多选）关于平面向量，下列说法中错误的是（）A．若且，则 B．C．若，且，则 D．【答案】ACD【解析】A.若向量，则不一定平行，故错误；B.根据向量的运算律可知，B正确；C.，且，所以或，故错误；D.表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，与不一定相等，故错误.故选：ACD4．（2021·全国高三专题练习（理））（多选）已知是三个平面向量，则下列叙述错误的是（）A．若，则B．若，且，则C．若∥，∥，则∥D．若，则【答案】ABC【解析】对A，不一定共线，故A错误；对B，平面向量的数量积没有消去律，故B错误；对C，若，则的方向是任意的，故C错误；对D，，故D正确.故选：ABC.5．（2021·全国（文））（多选）下列说法正确的是（）A．若为平面向量，，则B．若为平面向量，，则C．若，，则在方向上的投影为D．在中，M是AB的中点，＝3，BN与CM交于点P，＝+，则λ＝2μ【答案】CD【解析】A，若，则与任意向量共线，所以与不一定平行，故A错误；B，若，则，，当共面时，，若不共面时，与不平行，故B错误；C，若，则，所以，在方向上的投影为，故C正确；D，，设,则，设，则，即，①，设，，，即，②由①②可得，，即，故D正确.故选：CD6．（2021·全国高三专题练习（理））（多选）下列命题中正确的是（）A．若，则B．C．若向量是非零向量，则与方向相同D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使【答案】CD【解析】向量不等比较大小，故A选项错误.向量加法、减法的结果仍为向量，故B选项错误.与方向相同，C选项正确.根据向量共线的知识可知D选项正确.故选：CD7．（2021·全国高三专题练习（文））（多选）下列命题中，其中错误命题有（）A．所有单位向量都相等 B．若，则C．存在两个不能成为基底的单位向量 D．若，则【答案】ABD【解析】单位向量的模都相等，并不是单位向量都相等，故A错误；若，满足，但不成立，故B错误;如单位向量共线时，不能成为基底，故C正确；若时，显然不一定满足，故D错误.故选：ABD【题组二线性运算】1．（2021·全国高三专题练习（理））在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设，，则向量等于（）A．＋ B．--C．-＋ D．-【答案】C【解析】平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，则有，如图，所以＝＝(＋)＝＝-＋.故选：C2．（2021·武功县普集高级中学高三开学考试（文））如图所示，已知，，，，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，故选：A3．（2021·安徽高三（理））我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，即，解得，即．故选：B．4．（2021·山东高考真题）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，．故选：B5．（2021·安徽（文））已知，且四边形ABCD为平行四边形，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由四边形ABCD为平行四边形，所以，即，故.故选：B.【题组三共线问题】1．（2021·全国高三）已知向量和不共线，向量，，，若､､三点共线，则（）A．3 B．2 C．1 D．【答案】A【解析】因为､､三点共线，所以存在实数λ，使得，，所以，∴，解得.故选：A.2．（2021·辽宁葫芦岛·高三）在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（）A．3 B． C．1 D．【答案】A【解析】由题设，如下图示：，又，，∴，由三点共线，有，∴，当且仅当时等号成立.故选：A3．（2021·全国）设与是两个不共线向量，，，.若A，B，D三点共线，则的值为________．【答案】【解析】因为A，B，D三点共线，所以必存在一个实数λ，使得.又，，，所以，化简为，所以，又与不共线，所以解得.故答案为：4．（2021·上海民办南模中学高三）已知正六边形，､分别是对角线､上的点，使得，当___________时，､､三点共线.【答案】【解析】连结AD，交EC于G点，设正六边形边长为a，由正六边形的性质知，，，G点为EC的中点，且，则，又，（），则，，故，即若B、M、N三点共线，由共线定理知，，解得或（舍）故答案为：5．（2021·浙江高三期末）设是不共线的向量，若三点共线，则的值为__________．【答案】【解析】：因为是不共线的向量，所以可以作为平面内一组基底，因为，所以，因为三点共线，所以，所以，解得故答案为：6．（2021·山西临汾·高三（理））在中，，是线段上除去端点外的一动点，设，则的最小值为____________.【答案】4【解析】因为可得：，所以，又因为C，E，D三点共线，则所以4当且仅当，即时取等号，此时的最小值为4.故答案为：4.7．（2021·全国高三专题练习）设向量，不共线．若，，．若，，三点共线，求实数的值．【答案】.【解析】由，不共线且，，三点共线存在实数，使得又，，，则故答案为：8．（2021·全国）设两个非零向量与不共线，（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使和共线．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：，，，，共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．（2）和共线，∴存在实数λ，使，即，.，是两个不共线的非零向量，，.【题组四基本定理】1．（2021·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高三月考）在中，，，设，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在三角形中，，，可得,因为，所以，所以.故选：C.2．（2021·甘肃兰州·兰大附中高三月考（理））.如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为（）A． B．C．2 D．【答案】A【解析】设，因为，所以，则，又因为，所以，解得.故选：A.3．（2021·全国高三月考（理））如图所示，是的中线.是上的一点，且，若，其中，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为是的中线，是上的一点，且，所以是的重心，则，又因为，所以，，可得，故选：C.4．（2021·重庆北碚区·西南大学附中高三月考）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（）A． B． C． D．1【答案】C【解析】在△ABC中，M为边BC上任意一点，则，于是得，而，且与不共线，则，即有，因此，，当且仅当时取“=”，此时M为BC中点，所以的最小值为.故选：C5．（2021·东莞市东方明珠学校高三）已知是的边的中点，点在上，且满足，则与的面积之比为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，由得，即，即，故，故与以为底，其高的比为，故．故选：C．6．（2021·上海市民办扬波中学）已知，则与的面积之比为_______【答案】【解析】【解析】，点在的边上：有，．故答案为：．7．（2021·全国）设为所在平面上一点，且满足，若的面积为2，则面积为_______________．【答案】3【解析】因为，所以，令，则，所以，所以为上靠近的三等分点，因为，所以∥,所以，所以，故答案为：38．（2021·全国（文））已知点为所在平面内一点，满足，，，则______．【答案】7【解析】解：如图建立平面直角坐标系，设，，，由，所以，所以，，由，所以，所以，又所以，解得或，因为，所以故答案为：9．（2021·全国高三（文））在中，，分别为边，上的点，，，与交于点，设，，则___________.（用，表示）【答案】【解析】如图，在中，依题意，，，因与交于点，则，于是得，，，，因，而与不共线，从而有，解得，所以.故答案为：10．（2021·安徽（文））在中，已知点D满足，若，则____________．【答案】【解析】∵，∴．故答案为：11．（2021·全国高三专题练习）如图，在中，点是上