2022年高考数学一轮复习 分布列（精练）（解析版）

8.6分布列（精练）【题组一超几何分布】1．（2021·合肥市第六中学）近日，国家卫健委公布了2020年9月到12月开展的全国性近视专项调查结果：2020年，我国儿童青少年总体近视率为．为掌握某校学生近视情况，从该校高三（1）班随机抽取7名学生，其中4人近视、3人不近视．现从这7人中随机抽取球3人做进一步医学检查．（1）用表示抽取的3人中近视的学生人数，求随机变量的分布列与数学期望；（2）设为事件“抽取的3人，既有近视的学生，又有不近视的学生”，求事件发生的概率．【答案】（1）分布列见解析；期望为；（2）．【解析】（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，且所以，随机变量的分布列为：X0123P随机变量的数学期望．（2）设B为事件“抽取的3名学生中，不近视2人，近视1人”；设为事件“抽取的3名学生中，不近视1人，近视2人”，则，且与互斥，从而，所以事件A发生的概率为2．（2021·云南师大附中高三月考）随着手机的日益普及，中学生使用手机的人数也越来越多，使用的手机也越来越智能．某中学为了解学生在校园使用手机对学习成绩的影响，从全校学生中随机抽取了名学生进行问卷调查．经统计，有的学生在校园期间使用手机，且使用手机的学生中学习成绩优秀的占，另不使用手机的学生中学习成绩优秀的占．（1）请根据以上信息完成列联表，并分析是否有的把握认为“在校期间使用手机和学习成绩有关”？学习成绩优秀学习成绩不优秀合计在校期间使用手机在校期间不使用手机合计（2）现从上表中学习成绩优秀的学生中按在校期间是否使用手机分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人，设这人中在校期间使用手机的学生人数为，求的分布列和数学期望．参考公式：，其中．．参考数据：【答案】（1）表格见解析，有的把握认为“在校期间使用手机和学习成绩有关”；（2）分布列见解析，.【解析】（1）列联表如下：学习成绩优秀学习成绩不优秀合计在校期间使用手机在校期间不使用手机合计的观测值，所以有的把握认为“在校期间使用手机和学习成绩有关”．（2）从学习成绩优秀的学生中按在校是否使用手机分层抽样选出人，其中在校使用手机的学生有人，在校不使用手机的学生有人．可能的取值为，，，，，，的分布列为：的数学期望为．3．（2021·湖南高考真题）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.（1）用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列；（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.【答案】（1）分布列见解析；（2）.【解析】（1）由条件可知，，，，所以的分布列，如下表，（2）选取的2个中至少有1个豆沙粽的对立事件是一个都没有，则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.【题组二二项分布】1．（2021·陕西（理））中国探月工程自2004年批准立项以来，聚焦“自主创新､重点跨越､支撑发展､引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，首次实现了我国地外天体无人采样返回.为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生.如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）.（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为对“嫦娥五号”的关注程度与性别有关？关注没关注合计男生女生合计（2）若将频率视为概率，现从该中学高三女生中随机抽取2人.记被抽取的2名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.附：，其中.0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.879【答案】（1）列联表见解析，有的把握性认为“对嫦娥我好关注度与性别有关”；（2）分布列见解析，期望为【解析】（1）由题意，根据等高条形图中的数据，可得：女性人中，其中人关注，人不关注；男性人中，其中人关注，人不关注；所以可得如下的的列联表：关注没关注合计男生303060女生122840合计4258100所以，所以有的把握性认为“对嫦娥我好关注度与性别有关”.（2）因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为，又因为随机变量，所以随机变量的分布列为：012所以.2．（2021·广东西关外国语学校高三月考）2020新年伊始爆发的新冠疫情让广大民众意识到健康的重要性，云南省全面开展爱国卫生7个专项行动及健康文明生活的6条新风尚行动，其中“科学健身”鼓励公众每天进行60分钟的体育锻炼．某社区从居民中随机抽取了若干名，统计他们的平均每天锻炼时间（单位：分钟/天），得到的数据如下表：（所有数据均在0~120分钟/天之间）平均锻炼时间人数2739ab4515频率0.090.130.38c0.150.05（1）求，，的值；（2）为了鼓励居民进行体育锻炼，该社区决定对运动时间不低于分钟的居民进行奖励，为使30%的人得到奖励，试估计的取值？（3）在第（2）问的条件下，以频率作为概率，在该社区得到奖励的人中随机抽取4人，设这4人中日均锻炼时间不低于80分钟的人数为，求的分布列和数学期望．【答案】（1），；；（2）；（3）分布列见解析；期望为．【解析】（1）由题意，设总人数为，则，得，∴，．（2），分别占0.15和0.05，共0.2，要使得30%到奖励，则位于之间，且占0.1，∴．（3）该社区得到奖励的人中锻炼时间不低于钟的占，，的所有可能取值为0，1，2，3，4，则，，，，，∴的分布列如下：01234．3．（2021·全国高三专题练习（理））某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需的时间(单位:分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为（1）求直方图中的值；（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)【答案】（1）0.0025；（2）180；（3）分布列见解析，期望为.【解析】(1)由直方图可得:∴x=0.0025.(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为,所以新生中可以申请住宿的人数为：1200×0.15=180人所以估计1200名新生中有180名学生可以申请住宿.（3）X的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知每一个学生上学所需时间少于40分钟的概率为，所以，,,,则X的分布列为：X01234P故.即X的数学期望为.4．（2021·全国高三（理））新冠疫情这特殊的时期，规定居民出行或出席公共场合均需佩戴口罩，现将地区居民人一周的口罩使用量统计如表所示，其中个人一周的口罩使用为个以及个上的有人.个人的一周口罩使用数量（单位：个）频率（1）求、的值；（2）用样本估计总体，将频率视为概率，若从地区的所有居民中随机抽取人，记一周使用口罩数量（单位：个）在范围的人数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1），；（2）分布列见解析，期望为.【解析】（1）由题意可得，则，因为，解得；（2）从地区的所有居民中随机抽取人，此人一周使用口罩数量（单位：个）在范围内的概率为，则，所以，，，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：故.5．（2021·四川成都·双流中学高三（理））从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图.（1）求的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高（假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在以上的概率.若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取人，用表示身高在以上的男生人数，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1），平均身高为；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【解析】（1）根据题意得，解得，设样本中男生身高的平均值为，，所以估计该市中学全体男生的平均身高为；（3）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在以上的概率约为.由已知得，所以，，，.随机变量的分布列为所以.6．（2021·黑龙江高三（理））青年大学习是共青团中央组织的青年学习行动，共青团中央用习近平新时代中国特色社会主义思想武装全团､教育青年，把深入学习宣传贯彻党的十九大精神作为首要政治任务和核心业务，在全团部署实施“青年大学习”行动.某区为调在学生学习情况，对全区高中进行抽样调查，调查最近一周的周得分情况.如下茎叶图是抽查的A校和B校各30人得到的这周得分情况：根据成绩分为如下等级：成绩(单位：分)等级不合格合格良好优秀（1）根据茎叶图判断A校和B校中的哪个学校完成学习的效果更好，并说明理由(不要求计算)；（2）现要从A校被抽查的成绩等级合格和不合格的8名同学中任选4人进行座谈，记其中所含不合格人数，求的分布列和期望；（3）若将所统计的这60人的频率作为概率，在全区的高中学生中任意抽取4人参加知识竞赛，记其中所含成绩优秀人数，求的分布列､期望和方差.【答案】(1)B校完成学习的效果更好，理由见解析；(2)分布列答案见解析，；（3）分布列答案见解析，，.【解析】(1)(i)根据茎叶图可知A校样本得分中位数为160分，B校样本得分中位数为169分，因此B校完成学习的效果更好；(ii)根据茎叶图可知A校样本约有73%同学的分数在150分以上，B校样本有76%同学的分数在160分数段上，因此B校完成学习的效果更好；(ⅲ)根据茎叶图可知A校样本在150，160，170分数段上分布较均匀，B校样本在170分左右人数更多更集中，因此B校完成学习的效果更好.(以上给出了3种理由，只需答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)(2)的所有可取取值为0，1，2，，，所以的分布列为012所以，.(3)所统计的这60人中获得优秀的有24人，频率为，将其作为概率，则的所有可能取值为0，1，2，3，4，，，，，所以的分布列为01234所以，.【题组三独立重复实验】1．（2021·广东深圳市·高三月考）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率是.假设各局比赛结果互相独立.（1）分别求甲队以，，胜利的概率；（2）若比赛结果为或，则胜利方得分，对方得分；若比赛结果为，则胜利方得分、对方得分，求乙队得分的分布列及数学期望.【答案】（1），，；（2）分布列见解析，数学期望为.【解析】（1）甲队以胜利的概率；甲队以胜利的概率；甲队以胜利的概率；（2）由题意知：所有可能的取值为，，，，，的分布列为：数学期望.2．（2021·湖北高三月考）某公司每五年需淘汰一批旧机器并购买一批新机器，购买新机器的同时，也要购买易损零件．每台新机器随机器购买第一个易损零件花费1500元，优惠0元；每多买一个易损零件都要在原优惠基础上多优惠100元，即购买第一个易损零件没有优惠，第二个易损零件优惠100元，第三个易损零件优惠200元，……，依此类推，每台新机器最多可随新机购买8个易损零件．平时购买易损零件按零售价每个2000元买入．根据以往的记录，十台机器正常工作五年内使用的易损零件数如表：使用易损零件数678机器台数352以这十台机器使用易损零件数的频率代替一台机器使用易损零件数发生的概率，假设每台机器使用易损零件的个数是相互独立的，记X表示两台机器五年内使用的易损零件数．（1）求X的分布列；（2）若在购买两台新机器时，每台机器随机器购买7个易损零件，求这两台机器五年内在使用易损零件上所需费用的期望．【答案】（1）分布列见解析；（2）16784元.【解析】（1）记X表示两台机器五年内使用的易损零件数，则X的可能取值为12，13，14，15，16，，，，，，∴X的分布列为：X1213141516P0.090.30.370.20.04（2）在购买两台新机器时，每台机器随机器购买7个易损零件，所需费用为：元，（元），∴这两台机器五年内在使用易损零件上所需费用的期望为：（元）.3．（2021·内蒙古包头·高三开学考试（理））一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件甲，乙，丙需要调整的概率分别为0.1，0.3，0.4，各部件的状态相互独立．（1）求设备在一天的运转中，部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率；（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）0.37；（2）分布列见解析；期望为．【解析】解：（1）用A，B，C分别表示事件：“设备在一天的运转中，部件甲，乙，丙需要调整”，则，，用D表示事件：“设备在一天的运转中，部件甲，乙中至少有1个需要调整”则所以部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率为0.37（2）X的所有可能取值为0，1，2，3所以X的分布列为X0123P0.3780.4560.1540.012故X的数学期望为4．（2021·吉林长春外国语学校高三开学考试（理））一位同学分别参加了三所大学招生笔试（各校试题各不相同），如果该同学通过各校笔试的概率分别为、、，且该同学参加三所大学的笔试通过与否互不影响．（1）求该同学至少通过一所大学笔试的概率；（2）设该同学通过笔试的大学所数为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为【解析】（1）设该同学分别通过三所大学笔试的的事件为该同学至少通过一所大学笔试的概率，所以该同学至少通过一所大学笔试的概率为；（2）由条件可知，，；；，分布列如下图，5．（2021·广东高三开学考试）体育交流是学校之间交流的重要方式.甲乙两校定期举办击球比赛，规定：把从裁判发球哨响开始到之后裁判第一哨响止，叫做一回合.每一回合中，发球队赢球后得分1分，另一队得零分，在下一回由发球队继续发球；发球队输球后，比赛双方均得零分，下一回合由另一队发球.甲乙两队正在进行这种击球比赛，假设每一回合甲队贏球的概率是，乙队赢球的概率是，且各回合比赛的结果相互独立.（1）第一回合由甲队发球，在连续三个回合中，求甲队得1分的概率；（2）比赛进入决胜局，两队得分均为25分.在接下来的比赛中，甲队第一回合发球，若甲乙两队某一队得分比对方得分多2分，则比赛结束，得分多的队伍获胜.求在比赛四回合以内（包含第四回合），甲队获胜的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】记第局比赛甲队获胜为事件，乙队获胜为事件，则（1）记第一回合由甲队发球，在连续三个回合中甲队得1分为事件，则，由于各回合比赛的结果相互独立，且事件与互斥，所以（2）记在四回合以内，甲队获胜为事件，由于甲队获胜时需要比乙队得分多2分，所以至少需要进行两个回合的比赛，当比赛两个回合时，只有甲队连贏两个回合，甲队才获胜，则，当比赛三个回合时，只有这一种情况，且甲队输，当比赛四个回合时，只有以下两种情况，甲队会获胜，即事件与，且两个事件互斥，则所以6．（2021·双峰县第一中学高三开学考试）有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球，从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换．（1）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；（2）二次交换后，记X为“乙袋中红球的个数”，求随机变量X的分布列与数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】（1）甲乙交换的均是红球，则概率为，甲乙交换的均是白球，则概率为，所以乙袋中红球与白球个数不变的概率为；（2）X可取0，1，2，3，4，由（1）得，一次交换后，乙袋中有2个白球2个红球的概率为，乙袋中有1个白球3个红球的概率为，乙袋中有3个白球1个红球的概率为，则，，，，，所以随机变量X的分布列为X01234P所以数学期望.【题组四正态分布】1．（多选）（2021·渝中·重庆巴蜀中学高三开学考试）近年来，中国进入一个鲜花消费的增长期．某农户利用精准扶贫政策，货款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布和，则下列正确的是（）附：若随机变量服从正态分布，则A．若红玫瑰的日销售量范围在的概率是，则红玫瑰的日销售量的平均数约为B．白玫瑰的日销售量比红玫瑰的日销售更集中C．红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售更集中D．白玫瑰的日销售量在范围内的概率约为【答案】ACD【解析】因红玫瑰的日销售量范围在的概率是，则，即，A正确；因，即红玫瑰的日销售量的标准差小于白玫瑰的日销售量的标准差，则红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售更集中，B不正确，C正确；因，则，即白玫瑰的日销售量在范围内的概率约为，D正确.故选：ACD2．（多选）（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）下列说法正确的是（）A．已知随机变量，则B．已知随机变量X，Y满足，且，则C．线性回归模型中，相关系数r的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强D．设，则越大，正态分布曲线越矮胖【答案】ACD【解析】对于：已知随机变量，则，故正确；对于：随机变量，满足，所以，且，则，故错误；对于：线性回归模型中，相关系数的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强，故正确；对于：设，则越大，正态分布曲线越矮胖，越小，正态分布曲线越瘦高，故正确；故选：ACD．3．（2021·广东茂名·）某企业为了提高产量，需通过提高工人的工资，调动员工的工作积极性，为了对员工工资进行合理调整，需对员工的日加工量进行分析.为此随机抽取了50名员工某天加工零件的个数x（单位：个），整理后得到频数分布表如下：零件个数x/个频数y56912864（1）由频数分布表估计这50名员工这一天加工产量的平均值x（四舍五入取整）（区间值用中点值代替）；（2）该企业为提高产量，开展了一周（7天）的“超量有奖”宣传活动，并且准备了6.5万元用于发给超量的员工.规定在这一周内，凡是生产线上日加工量在290个以上（含290）的员工，除获得“日生产线上的标兵”的荣称号外，当天还可额外获得100元的超量奖励，若该企业生产线上的4000名员工每天加工零件数量大致服从正态分布，其中近似为（1）中的平均值，请利用正态分布知识估计6.5万元用于超量奖的准备金是否充足；（3）为了解“日生产线上的标兵”员工的生产情况，企业有关部门对抽取的样本中的50名员工中的日生产量进行分析发现，有6个获得“日生产线上的标兵”的荣誉称号，现从这6名员工中任意抽取4名员工，记日生产量至少为300个的员工人数为，求的分布列与数学期望.参考数据：，，.【答案】（1）248；（2）充足；（3）分布列见解析，.【解析】（1）由频数分布表得：（2）由（1）知，所以，所以，因为，所以每天需奖励（元），所以一周需奖励（元），所以6.5万元的准备金充足.（3）由频数分布表可知，6个获得“日生产线上的标兵”荣誉称号中，日生产量至少为300个的员工有4名，所以的可能值为