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文档简介

1第六章留数理论及其应用1、留数2、用留数定理计算实积分3、辐角原理及其应用21、留数的定义§1留数1.1引入30(高阶导数公式)0(柯西-古萨基本定理)41.2定义1Residue5注：62、留数定理定理1证明由复合闭路定理得7Dcznz1z3z2于是，得留数定理非常重要，也为求积分提供了新方法！83、留数的计算9证明:由条件,得10特别注可直接展开洛朗级数求来计算留数.2.在应用公式时,取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便.1.在实际计算中应灵活运用计算规则.

为了计算方便一般不要将m但有时把m取得比实际的如为m级极点，当m较大而导数又难以计算时,11证毕.证明:12例1解:13例2解:14例3解:例4解:15例5解:另解:16例如取m=6,提示：还有其他奇点？

17(这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向).4、无穷远点的留数定义2注18注意到：再由无穷远点留数定义及留数定理，立即得到定理2若在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，则在所有奇点（包括无穷点）处的留数之和为零.19命题证明：20说明:定理二提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法:

此法在很多情况下此法更为简单.解：函数在的外部,除点外没有其他奇点.21与以下解法作比较:被积函数有四个一级极点都在圆周的内部,所以可见,利用无穷远点的留数更简单.22例6

计算积分C为正向圆周:解

除被积函数点外,其他奇点为则由于与1在C的内部,所以23练习解:所以故243、留数的计算规则本

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