平面向量最值问题9种题型

平面向量最值问题9种题型数量积的最值问题平面向量满足，则最小值是______分析：本题条件中有，而可利用向量数量积的投影定义得到在上的投影分别为1,2，通过作图可发现能够以的起点为原点，所在直线为轴建立坐标系，则起点在原点，终点分别在的直线上，从而可坐标化，再求出的最值即可【解析】如图建系可得：由可得：而，由轮换对称式不妨设，则，已知点为等边三角形的中心，，直线过点交边于点，交边于点，则的最大值为.【分析】本题由于为过的任一直线，所以的值不确定，从而不容易利用三边向量将进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特点，建立直角坐标系，从而坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线方程，与方程联立解出坐标，从而可解出最大值【解析】以为轴建立直角坐标系，设直线，由可得：得：；得：已知圆的方程，是椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点为，，则的取值范围为（）A．B．C．D．【解析】，设，设，的取值范围为，故选C已知△中，，，（）的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是【解析】令＝＝＋＋＝，当时，＝，因为，所以，则建立直角坐标系，，，设，则，，所以＝＝；当时，＝＋≥，解得，所以，则建立直角坐标系，，，设，则，，所以＝＝．综上所述，当时，取得最小值向量模长的最值问题已知为单位向量，且，向量满足，则范围为ABABO【解析】如图，，又向量满足与的夹角为，，则的最大值为（）【分析】根据已知条件可建立直角坐标系，用坐标表示有关点（向量），确定变量满足的等式和目标函数的解析式，结合平面几何知识求最值或范围．【解析】设；以OA所在直线为x，O为坐标原点建立直角坐标系∵与的夹角为，则A（4，0），B（2，2），设C（x，y）∵，∴x2+y2-6x-2y+9=0，即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3，1）为圆心，以1为半径的圆，表示点A，C的距离即圆上的点与点A（4，0）的距离．∵圆心到B的距离为，∴的最大值为向量夹角的最值问题已知非零向量满足，若函数在R上存在极值，则和夹角的取值范围为【解析】，设和夹角为，因为有极值，所以，即，即，所以已知向量满足，且关于的函数在实数集上单调递增，则向量的夹角的取值范围是（）A．B．C．D．平面向量系数的最值问题已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是【分析】与的夹角为锐角等价于，且与不共线同向，所以由，得，再除去与共线同向的情形．【解析】由于与的夹角为锐角，，且与不共线同向，由，解得，当向量与共线时，得，得，因此的取值范围是且．已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是【解析】如图三点共线，∵是的重心，解得，结合图象可知令故故，当且仅当等号成立如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为【解析】因为三点共线，所以，因为是重心，，所以，化简得，解得题目所给图像可知．由基本不等式得即．当且仅当，即时，等号成立，故最小值为．直角梯形中，，，是边长为的正三角形，是平面上的动点，，设（，），则的最大值为________【解析】以为原点，为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，∴可设，因为，所以，，即的最大值为故答案为．平面向量与三角函数相结合的最值问题已知向量，，．（1）若，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．【解析】（1）因为，，，所以．若，则，与矛盾，故．于是．又，所以．（2）.因为，所以，从而.于是，当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值平面向量与二次函数相结合的最值问题在平面直角坐标系中，已知点，，，是轴上的两个动点，且，的最小值为______．【解析】设，，所以，当时，取得最小值．在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（）A． B． C． D．【分析】如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出的坐标，求边所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数性质求最大值.【解析】依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，，，，，，，，因为点在线段的延长线上，设，，解得，，，，所在直线的方程为，因为点在边所在直线上，故设，，当时故选：平面向量与基本不等式相结合的最值问题若平面向量，满足：；则的最小值是．【解析】，在等腰梯形中,已知,,,．动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为．【解析】因为，，，，，当且仅当即时的最小值为已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则的最小值是___________【分析】本题根据条件构造，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.【解析】由可得，，根据A、B、C三点共线可得且，所以所以最小值为，故填.平面向量与圆相结合的最值问题在平面直角坐标系中，为原点，动点满足，则的最大值是．【解析】设，由，得，向量，故的最大值为圆上的动点到点距离的最大值，其最大值为圆的圆心到点的距离加上圆的半径，即．已知是单位向量，．若向量满足，则的最大值为A． B．C．D．【解析】建立平面直角坐标系，令向量的坐标，又设，代入得，又的最大值为圆上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1，1)到原点的距离加圆的半径，即．若过点的直线与相交于两点，则取值范围______【解析】本题中因为位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过作直线的垂线，垂足为，通过旋转可发现，当时，，位于其他位置时，点始终位于的反向延长线上，，故，故，下面寻找最小值，即的最大值，可得当在上的投影与重合时，最大，即为，此时直线即为直线。所以。进而的范围是已知，且的夹角为，点是的外接圆上优弧上的一个动点，则的最大值是________【分析】题中的模长为定值，考虑即为乘以在上的投影，从而的最大值只需寻找投影的大小，观察图形可得只有当与同向时，投影最大。即，只需计算的模长即可【解析】当与同向时，在上的投影最大，在中，，即，平面向量与三角形相结合的最值问题在中，已知，，，则的面积的最大值为（）A． B． C． D．【分析】，而又由余弦定理可得，再利用基本不等式即可解决.【解析】在中，由，及余弦定理可得，又（当且仅当时取等号），所以，即.因为，所以为的中点，所以的面积，所以，所以的面积的最大值为.故选：B.【小结】本题考查余弦定理解三角形，涉及到基本