【模拟测试】数学高考押题卷附答案解析

2022年数学高考模拟测试试卷学校________  班级________  姓名________  成绩________（满分150分，时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.已知多项选择题的四个选项、、、中至少有两个选项正确，规定：如果选择了错误选项就不得分．若某题的正确答案是，某考生随机选了两个选项，则其得分的概率为（）A.B.C.D.3.不等式的解集是（）A.B.C.D.4.在的展开式中，常数项为（）A.B.C.D.5.设复数满足，在复平面内对应的点到原点距离的最大值是（）A.B.C.D.6.在中，为的中点，为边上的点，且，则（）A.B.C.D.7.劳动力调查是一项抽样调查.2021年的劳动力调查以第七次人口普查的最新数据为基础抽取相关住户进入样本，并且采用样本轮换模式．劳动力调查的轮换是按照“”模式进行，即一个住户连续受调查，在接下来的个月中不接受调查，然后再接受连续个月的调查，经历四次调查之后退出样个月接本．调查进行时保持每月进入样本接受第一次调查的新住户数量相同．若从第个月开始，每个月都有的样本接受第一次调查，的样本接受第二次调查，本接受第四次调查，则的值为（）的样本接受第三次调查，的样A.B.C.D.8.已知为双曲线右焦点，为双曲线右支上一点，且位于轴上方，为渐近线上一点，为坐标原点．若四边形为菱形，则双曲线的离心率（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得分，部分选对的得2分．9.设函数的图象为曲线，则（）A.将曲线向右平移个单位长度，与曲线重合B.将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，与曲线重合C.是曲线的一个对称中心D.若，且，则的最小值为10.已知，且，则（）A.C.B.D.11.三棱锥的三视图如图，图中所示顶点为棱锥对应顶点的投影，正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，则（）A.该棱锥各面都是直角三角形B.直线C.点到底面12.若直线与曲线相交于不同两点与所成角为的距离为D.该棱锥的外接球的表面积为，，曲线A，点处切线交于点，则（）A.B.C.D.存在，使得三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为_____.14.设是首项为的等比数列，是其前项和．若，则__________．15.有以下三个条件：①定义域不是；②值域为；③奇函数；写出一个同时满足以上条件的函数__________．16.设抛物线的焦点为，直线与交于，，与轴交于，若，则__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知为等差数列（1）求；的前项和，，．（2）记数列的前项和为，证明：．18.改革开放是我国发展最大“红利”，自1978年以来，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．下表数据反应了我国改革开放三十余年的人口平均预期寿命变化．人口平均预期寿命变化表单位：岁年份年份代码人口平均预期寿命1981199020002010（1）散点图如上图所示，可用线性回归模型拟合与的关系，已知回归方程中的斜率；，且，求（2）关于2020年我国人口平均预期寿命的统计数据迄今暂未公布，依据线性回归（结果保留两位小方程，对进行预测并给出预测值数），结合散点图的发展趋势，估计与的大小关系，并说明理由．19.如图，在多面体中，底面为正方形，，平面平面，，．（1）判断平面与平面交线与的位置关系，并说明理由；（2）求平面20.在与平面中，角所成二面角大小．，，的对边分别为，，．，边上的高为．（1）若，求．的周长；（2）求的最大值．，求21.已知函数（1）若的取值范围；（2）若22.已知有两个零点，，且，证明：．、分别为椭圆的左顶点和下顶点，为直线上的动点，的最小值为．（1）求（2）设的方程；与的另一交点为，与的另一交点为，问：是否存在点，使得四边形为梯形，若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A.，，则（）B.C.D.[答案]C[解析][分析]先化简集合Q，再利用集合的交集运算求解.[详解]因为所以，，故选：C2.已知多项选择题的四个选项、、、中至少有两个选项正确，规定：如果选择了错误选项就不得分．若某题的正确答案是，某考生随机选了两个选项，则其得分的概率为（）A.B.C.D.[答案]A[解析][分析]利用古典概型的概率公式求解.[详解]由题得从4个选项里选两个选项，共有种方法，从3个正确选项里选择两个选项，共有种方法.由古典概型的概率公式得所求的概率为.故选：A[点睛]方法点睛：利用古典概型的概率公式求解，先要求出基本事件的总数，再求出事件A的基本事件的数量，再利用古典概型的概率公式求解.3.不等式的解集是（）A.B.C.D.[答案]B[解析][分析]在同一坐标系中作出函数的图象，先求得[详解]再同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：的解，然后由图象写出的解集.当时，解得，由图象知：的解集是故选：B4.在的展开式中，常数项为（）A.B.C.D.[答案]D[解析][分析]写出二项式展开式的通项公式求出常数项.[详解]展开式的通项，令常数项故选：D．，[点睛]方法点睛：本题考查二项定理.二项展开式问题的常见类型及解法:(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数．5.设复数满足，在复平面内对应的点到原点距离的最大值是（）A.B.C.D.[答案]D[解析][分析]根据复数模的几何意义可求得结果.[详解]设，则，所以，即，所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以.所以复平面内对应的点到原点距离的最大值是.故选：D6.在中，为的中点，为边上的点，且，则（）A.B.C.D.[答案]B[解析][分析]根据平面向量的线性加减运算以及向量的基底表示化简判断.[详解]如图，可知.故选：B7.劳动力调查是一项抽样调查.2021年的劳动力调查以第七次人口普查的最新数据为基础抽取相关住户进入样本，并且采用样本轮换模式．劳动力调查的轮换是按照“”模式进行，即一个住户连续个月接受调查，在接下来的个月中不接受调查，然后再接受连续个月的调查，经历四次调查之后退出样本．调查进行时保持每月进入样本接受第一次调查的新住户数量相同．若从第个月开始，每个月都有的样本接受第一次调查，的样本接受第二次调查，的样本接受第三次调查，的样本接受第四次调查，则的值为（）A.B.C.D.[答案]C[解析][分析]假设每月新增一组人，将其编号为1,2,3,4,……，然后分析每个月接受调查的情况，即可判断.[详解]假设每月新增一组人，将其编号为1,2,3,4,……，则每个月接受调查的情况为：1月：1；2月：1,2；3月：2,3；4月：3,4；5月：4,5；6月：5,6；7月：6,7；8月：7,8；9月：8,9；10月：9,10；11月：10,11；12月：11,12；13月：12,13,1；14月：14,13,2,1；15月：15,14,3,2；可知到第14个月开始，接受调查的有4组，并且分别是第一次调查、第二次调查、第三次调查和第四次调查.故选：C.8.已知为双曲线且位于轴上方，为渐近线上一点，为坐标原点．若四边形（）的右焦点，为双曲线右支上一点，为菱形，则双曲线的离心率A.B.C.D.[答案]D[解析][分析]设，由，求得，再设，代入双曲线的方程，求得，且渐近线方程，，利用，和双曲线的离心率的定义，即可求解.[详解]由题意，双曲线的焦点因为四边形设为菱形，如图所示，，因为，解得，可得，即，，设，代入双曲线的方程，可得，可得又由，可得，所以双曲线的离心率为.故选：D.[点睛]求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得分，部分选对的得2分．9.设函数A.将曲线B.将曲线C.的图象为曲线，则（）向右平移个单位长度，与曲线重合上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，与曲线重合是曲线的一个对称中心D.若，且，则的最小值为[答案]BD[解析][分析]A：根据正弦型函数图象变换的规律进行判断即可；B：根据正弦型函数图象变换的规律进行判断即可；C：根据正弦型函数的对称性进行判断即可；D：根据正弦型函数的零点进行判断即可；[详解]A：曲线向右平移个单位长度，得到函数，显然该函数的图象与曲线不重合，故本说法不正确；B：由曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得，故本说法正确；C：因为，所以点不是该函数的对称中心，故本选项不正确；D：由，可得因为所以即，所以，，，因为，，所以的最小值为1，的最小值为，故本选项正确，故选：BD10.已知A.，且，则（）B.C.D.[答案]ACD[解析][分析]利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断.[详解]因为，且，对A，，所以，故A正确；对B，取，所以，故B错误；对C，，当且仅当，取等号，又因为，当且仅当取等号，所以，当且仅当取等号，因为，所以，所以不能取等号，故C正确；对D，当；当，，所以，当且仅当取等号，因为，所以不能取等号，故D正确.故选：ACD.[点睛]在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．11.三棱锥的三视图如图，图中所示顶点为棱锥对应顶点的投影，正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，则（）A.该棱锥各面都是直角三角形B.直线与所成角为C.点到底面[答案]CD[解析]的距离为D.该棱锥的外接球的表面积为[分析]根据三视图可知三棱锥几何特征，即可逐项分析.[详解]由三视图可知三棱锥的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，且，如图，其中为等边三角形，故A错误；由侧视图可知直线与所成角为，故B错误；由正视图，侧视图可知点到底面由条件可知三棱锥外接球直径为故选：CD的距离为，故C正确；，所以，故D正确.[点睛]关键点点睛：根据三视图可知，三棱锥为正方体中的边，面上的对角线，体对角线构成的三棱锥，边长分别为1，，属于中档题.12.若直线与曲线相交于不同两点，，曲线在A，点处切线交于点，则（）A.C.B.D.存在，使得[答案]ABC[解析][分析]对于A：求出过原点的切线的斜率为，根据直线与曲线有两个不同的交点，可得出和范围；对于B：由已知得，，不妨设，则，分别求出在点A，点B处的切线方程，由两切线方程求得交点的横坐标，可得结论；对于C：要证.构造函数，即证，，即证，因为，所以需证，求导，分析导函数的正负，得出所构造的函数的单调性和最值，可得结论；对于D：设直线AM交轴于C，直线BM交轴于点D，作轴于点E．若，则，即，根据正切函数的差角公式和切线的斜率得，[详解]对于A：当时，直线与曲线没有两个不同交点，所以，如图1所示，当直线与曲线相切时，设切点为，代入点，则，所以切线方程为：相切，解得，此时，所以直线与曲线所以当当时直线与曲线与曲线，有两个不同的交点，时，直线没有交点，故A正确；对于B：由已知得，不妨设，则，又在点A处的切线方程为：，在点B处的切线方程为，两式相减得，将，代入得，因为，所以，令，即，故B正确；对于C：要证，即证，即证与，因为，所以需证.令，则，则点A、B是的两个交点，令，所以，令，则，所以当，所以时，，，单调递减，而即，所以，所以时，单调递减，所以，，又，所以，，而以，所以当时，单调递增，又，，所，则，即，故C正确；对于D：设直线AM交轴于C，直线BM交轴于点D，作轴于点E．若，即，所以，化简得，即，所以，即，令，则，又，所以，而，所以方程无解，所以不存在，使得，故D不正确，故选：ABC．[点睛]方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为_____.[答案][解析][分析]依据展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，求出圆锥的高，得出体积.[详解]解：设圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得，∴圆锥的高，∴圆锥的体积.故答案为：.[点睛]本题考查了圆锥的侧面展开图，圆锥的结构特征，圆锥的体积计算，属于基础题.14.设[答案][解析]是首项为的等比数列，是其前项和．若，则__________．[分析]根据等比数列的通项公式求出公比，再根据等比数列的求和公式可求出结果.[详解]设等比数列的公比为，，将则代入得，得，所以.故答案为：15.有以下三个条件：①定义域不是；②值域为；③奇函数；写出一个同时满足以上条件的函数__________．[答案][解析]，或或等[分析]列举出满足三个已知条件的函数即可.[详解]满足已知的函数为，或或或等.（答案不唯一）故答案为：，或等.（答案不唯一）16.设抛物线的焦点为，直线，则与交于，，与轴交于__________．，若[答案][解析][分析]由题设知直线必过F点，且在，之间，，联立抛物线和直线方程整理并结合韦达定理有，而由抛物线定义可得，即可列方程求，进而求.[详解]由题设知：∴在，，而直线过点，又，之间，且，，即，联立抛物线与直线方程，若，整理得且，，则，而，∴，可得，即.故答案为：.[点睛]关键点点睛：判断直线过F且在，之间，，由勾股定理得，联立抛物线和直线，结合韦达定理及抛物线定义得，即可求.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知（1）求为等差数列；的前项和，，．（2）记数列的前项和为，证明：．[答案]（1）[解析]；（2）证明见解析．[分析]（1）由已知等差数列的前n项和求基本量，写出即可；（2）利用裂项求和法求[详解]（1）设等差数列，应用放缩法证明不等式.的公差为，则，∴由题意，有，得，．∴．（2），∴，．18.改革开放是我国发展的最大“红利”，自1978年以来，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．下表数据反应了我国改革开放三十余年的人口平均预期寿命变化．人口平均预期寿命变化表单位：岁年份1981199020002010年份代码人口平均预期寿命（1）散点图如上图所示，可用线性回归模型拟合与的关系，已知回归方程，且，求；中的斜率（2）关于2020年我国人口平均预期寿命的统计数据迄今暂未公布，依据线性回归方程，对进行预测并给出预测值明理由．（结果保留两位小数），结合散点图的发展趋势，估计与的大小关系，并说[答案]（1）[解析]；（2）；；答案见解析．[分析]（1）先求出，再把样本中心点的坐标代入回归方程即得解；（2）2020年对应的年份代码[详解]解：（1），求出即得解.，．（2）2020年对应的年份代码，．从散点图的发展趋势可以得出：随着年份代码增加，人口平均预期寿命提高的越快．因此，估计．[点睛]结论点睛：散点是否在回归直线上，不能确定，但是，样本中心点是回归直线的一个重要性质.一定在回归直线上.这19.如图，在多面体中，底面．为正方形，，平面平面，，（1）判断平面与平面的交线与的位置关系，并说明理由；（2）求平面[答案]（1）[解析]与平面所成二面角的大小．；答案见解析；（2）．[分析]（1）（2）先证明，证明见解析；，再利用向量法求解即可.[详解]解：（1）由，，可知延长，交于一点设为．过点作的平行线即为，，理由如下：由题意可知，平面，平面，则平面．又平面，平面平面，则．（2）由，，，，得，，又，则，所以，由题意可知，点向平面引垂线，垂足落在上，设为，则．以为原点，以，的方向分别为轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．，，，则，，设平面由的法向量为，，得，，可取，，，则，设平面的法向量为，同理可得，因为，所以平面与平面平面，即平面平面，所以，平面所成二面角的大小为．[点睛]方法点睛：二面角的求法：方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）；方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）20.在中，角，，，求的对边分别为，，．，边上的高为．（1）若（2）求的周长；的最大值．[答案]（1）[解析]；（2）．[分析]（1）由三角形面积公式可得，，结合余弦定理，可得，即可得的周长；（2）由（1）和正弦定理可得，，转化为三角函数以后利用辅助角公式化简运算，由，根据三角函数的性质求解最大值.[详解]解：（1）依题意，可得，因为，所以．由余弦定理得，因此故，即．．的周长为（2）由（1）及