附录一截面的几何性质

附录Ⅰ截面几何性质§1-1截面的静矩和形心一、静矩OyzdAyz截面对y,z

轴的静矩为静矩可正,可负,也可能等于零.yzO

dAyz二、截面的形心C(2)截面对形心轴的静矩等于零.(1)若截面对某一轴的静矩等于零,则该轴必过形心.

例：计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。解：例：求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。解：三、组合截面的静矩和形心

由几个简单图形组成的截面称为组合截面

截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和,就等于该截面对于同一轴的静矩.其中Ai——第i个简单截面面积1、组合截面静矩2、组合截面形心——第i个简单截面的形心坐标解例1试确定图示截面形心C的位置.建立坐标轴101012012Ozy90矩形1矩形21010120O12zy90所以

法2用负面积法求解,图形分割及坐标如图(b)图(b)C1（0,0）C2（5,5）C2负面积C1yz一、惯性矩

§1-2

极惯性矩、惯性矩、惯性积

二、极惯性矩

工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积，即分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径例：求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。 解：例：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。三、惯性积

如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积必等于零。二、组合截面的惯性矩、惯性积组合截面的惯性矩,惯性积

——第i个简单截面对y,z轴的惯性矩,惯性积.

§1-3

平行移轴公式

平行移轴公式：例4求梯形截面对其形心轴yC

的惯性矩.解将截面分成两个矩形截面.201401002021zCyC所以截面的形心坐标为y2014010020y21zcyC例：求图示平面图形对y轴的惯性矩IyCL6TU11解：CL6TU11

§1-2

极惯性矩、惯性矩、惯性积

yzOdAyz二、极惯性矩一、惯性矩所以yzOdAyz三、惯性积

(1)惯性矩的数值恒为正,惯性积则可能为正值,负值,也可能等于零.(2)若y,z两坐标轴中有一个为截面的对称轴,则截面对y,z轴的惯性积一定等于零.yzdydyzdAdA四、惯性半径解bhyzCzdz例2求矩形截面对其对称轴y,z轴的惯性矩.

zyd解因为截面对其圆心O的极惯性矩为

例3求圆形截面对其对称轴的惯性矩.所以yzOC(a,b)ba一、平行移轴公式(a,b)_____

形心C在yoz坐标系下的坐标.

§1-3

平行移轴公式

y,z——任意一对坐标轴C——截面形心yzOC(a,b)bazCyCyC

,zC——过截面的形心C

且与y,z轴平行的坐标轴(形心轴）

Iy

,Iz

,Iyz

_____截面对y,z

轴的惯性矩和惯性积.已知截面对形心轴yC,zC

的惯性矩和惯性积求截面对与形心轴平行的y,z轴惯性矩和惯性积则平行移轴公式

——截面对形心轴yC

,zC的惯性矩和惯性积.一、转轴公式§1-4

转轴公式

yoz为过截面上的任一点建立的坐标系Oyzy1z1y1oz1

为yoz

转过

角后形成的新坐标系顺時针转取为–号逆時针转取为+号已知截面对坐标轴轴y,z

轴的惯性矩和惯性积求截面对y1,z1

轴惯性矩和惯性积转轴公式为Oyzy1z1显然二、截面的主惯性轴和主惯性矩

主惯性轴(Principalaxes)——总可以找到一个特定的角0

,使截面对新坐标轴y0,z0的惯性积等于0,则称y0,z0

为主惯性轴.主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩.形心主惯性轴——当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时,则称为形心主惯性轴.形心主惯性矩

——截面对形心主惯性轴的惯性矩

求出后,就确定了主惯性轴的位置.(1)主惯性轴的位置设为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角则有由此(2)主惯性矩的计算公式(3)截面的对称轴一定是形心主惯性轴过截面上的任一点可以作无数对坐标轴,其中必有一对是主惯性轴.截面的主惯性矩是所有惯性矩中的极值.即求形心主惯性矩的方法(1)确定形心的位置(2)选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐标轴y,z,计算Iy

,Iz

,Iyz(3)确定形心主惯性轴的方位(4)计算形心主惯性矩101012025例5计算所示图形的形心主惯性矩.解该图形形心C的位置已确定,如图所示.过形心C选一对座标轴y,z

轴,计算其惯性矩(积).C4020yz20158035101012025C4020yz20158035在第三象限分别由

y轴和z轴绕C点逆时针转113.8º

得出.

形心主惯性轴

y0,z0101012070形心主惯形矩为C4020yzy00=113.80z0例6在矩形内挖去一与上边内切的圆,求图形的形心主轴.(b=1.5d)解(1)建立坐标系如图.(2)求形心位置.db2dyzO(3)建立形心坐标系,求yCzCCdb2dyzOyCzCC便是形心主轴便是形心主惯性轴所以附录结束第六章平面图形的几何性质CL6TU1§6-1静矩和形心形心坐标：CL6TU3静矩和形心坐标之间的关系：

例：确定图示图形形心C的位置。CL6TU5解：§6-4转轴公式主惯性轴和主惯性矩CL6TU12转轴公式：主惯性轴方位：或简写成：主惯性矩公式：

求形心主惯性轴的位置及形心主惯性矩大小的步骤：1）找出形心位置；