2018学数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测（十六）三角函数与解三角形文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精8-学必求其心得，业必贵于专精PAGE课时跟踪检测（十六)三角函数与解三角形1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8。(1)若a＝2,b＝eq\f（5,2)，求cosC的值；（2）若sinA＋sinB＝3sinC，且△ABC的面积S＝eq\f(9,2)sinC，求a和b的值．解：(1）由题意可知c＝8－(a＋b)＝eq\f(7,2）。由余弦定理得，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2，2ab)＝eq\f（22＋\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(5,2）））2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(7,2））)2,2×2×\f(5，2)）＝－eq\f(1,5）。即cosC＝－eq\f（1，5）.(2）因为sinA＋sinB＝3sinC.由正弦定理可知a＋b＝3c。又因为a＋b＋c＝8，故a＋b＝6.①由于S＝eq\f（1，2）absinC＝eq\f（9，2）sinC，所以ab＝9，②由①②解得a＝3，b＝3.2．（2017·西安八校联考）已知△ABC内接于单位圆，角A,B,C的对边分别为a，b，c，且2acosA＝ccosB＋bcosC。（1）求cosA的值;(2)若b2＋c2＝4，求△ABC的面积．解：（1)∵2acosA＝ccosB＋bcosC,∴2sinAcosA＝sinCcosB＋sinBcosC，即2sinAcosA＝sin（B＋C）＝sinA.又0＜A＜π,∴sinA≠0。∴2cosA＝1，cosA＝eq\f(1，2）.(2）由(1)知cosA＝eq\f（1，2)，∴sinA＝eq\f（\r(3),2）。∵eq\f（a,sinA）＝2，∴a＝2sinA＝eq\r(3)。由a2＝b2＋c2－2bccosA，得bc＝b2＋c2－a2＝4－3＝1,∴S△ABC＝eq\f（1，2）bcsinA＝eq\f（1，2）×1×eq\f(\r(3)，2)＝eq\f(\r（3)，4).3．(2017·天津模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinA＋cosA＝1－sineq\f(A，2）.(1)求sinA的值；（2)若c2－a2＝2b，且sinB＝3cosC，求b.解：（1）由已知，2sineq\f(A,2)coseq\f(A，2）＋1－2sin2eq\f（A,2)＝1－sineq\f（A,2)，在△ABC中，sineq\f（A，2）≠0,因而sineq\f（A,2）－coseq\f（A,2）＝eq\f（1，2），则sin2eq\f(A,2）－2sineq\f（A,2)coseq\f(A,2）＋cos2eq\f（A,2）＝eq\f(1,4)，因而sinA＝eq\f（3，4）.(2)由已知sinB＝3cosC，结合（1）,得sinB＝4cosCsinA。法一：利用正弦定理和余弦定理得b＝eq\f（4a2＋b2－c2，2ab)×a，整理得b2＝2（c2－a2）．又c2－a2＝2b，∴b2＝4b，在△ABC中，b≠0,∴b＝4。法二:∵c2＝a2＋b2－2abcosC,∴2b＝b2－2abcosC，在△ABC中，b≠0，∴b＝2＋2acosC，①又sinB＝4cosCsinA，由正弦定理，得b＝4acosC，②由①②解得b＝4.4．（2017·天津五区县模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且8sin2eq\f(A＋B，2)－2cos2C＝7.（1)求tanC的值；(2）若c＝eq\r（3），sinB＝2sinA,求a，b的值．解：(1）在△ABC中,因为A＋B＋C＝π,所以eq\f(A＋B，2)＝eq\f（π，2)－eq\f（C,2），则sineq\f（A＋B，2）＝coseq\f（C,2)。由8sin2eq\f(A＋B，2）－2cos2C＝7，得8cos2eq\f（C,2）－2cos2C＝7，所以4（1＋cosC）－2（2cos2C－1）＝7，即(2cosC－1)2＝0,所以cosC＝eq\f(1,2)。因为0＜C＜π，所以C＝eq\f（π,3)，于是tanC＝taneq\f(π,3）＝eq\r(3）。（2）由sinB＝2sinA，得b＝2a.①又c＝eq\r（3)，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcoseq\f（π,3)，即a2＋b2－ab＝3.②联立①②，解得a＝1，b＝2.5．（2018届高三·湘中名校联考）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c，a＝2bsinA。(1）求B的大小；(2）求cosA＋sinC的取值范围．解：（1）∵a＝2bsinA，根据正弦定理得sinA＝2sinBsinA,∵sinA≠0,∴sinB＝eq\f（1,2).又△ABC为锐角三角形，∴B＝eq\f(π,6)。(2)∵B＝eq\f(π，6)，∴cosA＋sinC＝cosA＋sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（π－\f(π,6)－A)）＝cosA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,6）＋A））＝cosA＋eq\f（1,2)cosA＋eq\f(\r（3）,2)sinA＝eq\r（3）sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3))）。由△ABC为锐角三角形知，A＋B＞eq\f（π，2）,∴eq\f(π,3）＜A＜eq\f(π，2)，∴eq\f（2π，3）＜A＋eq\f(π，3)＜eq\f(5π，6），∴eq\f（1，2）＜sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3）)）＜eq\f(\r(3)，2），∴eq\f（\r（3），2）＜eq\r（3）sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（A＋\f（π，3）））＜eq\f（3,2），∴cosA＋sinC的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r(3)，2)，\f（3，2）））.6.(2017·洛阳模拟）如图，平面四边形ABDC中，∠CAD＝∠BAD＝30°.(1）若∠ABC＝75°,AB＝10，且AC∥BD，求CD的长;（2)若BC＝10，求AC＋AB的取值范围．解:(1）由已知，易得∠ACB＝45°，在△ABC中，eq\f（10,sin45°）＝eq\f（CB,sin60°),解得CB＝5eq\r（6).因为AC∥BD,所以∠ADB＝∠CAD＝30°，∠CBD＝∠ACB＝45°，在△ABD中，∠ADB＝30°＝∠BAD，所以DB＝AB＝10.在△BCD中，CD＝eq\r(CB2＋DB2－2CB·DBcos45°)＝5eq\r（10－4\r(3)).（2)AC＋AB＞BC＝10，由余弦定理得cos60°＝eq\f(AB2＋AC2－100，2AB·AC），即(AB＋AC)2－100＝3AB·AC。又AB·AC≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（AB＋AC,2））)2，所以eq\f(AB＋AC2－100