2017年高中数学模块综合测试4-4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE16-学必求其心得，业必贵于专精模块综合测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列有关坐标系的说法,错误的是（）A．在直角坐标系中,通过伸缩变换圆可以变成椭圆B．在直角坐标系中,平移变换不会改变图形的形状和大小C．任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程D．同一条曲线可以有不同的参数方程解析:直角坐标系是最基本的坐标系，在直角坐标系中，伸缩变形可以改变图形的形状,但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到，例如圆可以变成椭圆；而平移变换不改变图形和大小而只改变图形的位置；对于参数方程，有些比较复杂的是不能化成普通方程的,同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程．答案:C2．把函数y＝eq\f（1,2）sin2x的图象经过________变化，可以得到函数y＝eq\f(1，4)sinx的图象．()A．横坐标缩短为原来的eq\f（1,2）倍，纵坐标伸长为原来的2倍B．横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的2倍C．横坐标缩短为原来的eq\f（1,2)倍，纵坐标缩短为原来的eq\f（1，2）倍D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的eq\f(1，2)解析：本题主要考查直角坐标系的伸缩变换,根据变换的方法和步骤可知,把函数y＝eq\f（1，2)sin2x的图象的横坐标伸长为原来的2倍可得y＝eq\f(1,2)sinx的图象，再把纵坐标缩短为原来的eq\f（1,2），得到y＝eq\f（1,4）sinx的图象．答案：D3．极坐标方程ρ2－ρ（2＋sinθ）＋2sinθ＝0表示的图形是()A．一个圆与一条直线 B．一个圆C．两个圆 D．两条直线解析：所给方程可以化为（ρ－2）（ρ－sinθ)＝0，即ρ＝2或ρ＝sinθ.化成直角坐标方程分别为x2＋y2＝4和x2＋y2－y＝0，可知分别表示两个圆．答案:C4．在极坐标系中,如果一个圆方程是ρ＝4cosθ＋6sinθ,那么过圆心且与极轴平行的直线方程是(）A．ρsinθ＝3 B．ρsinθ＝－3C．ρcosθ＝2 D．ρcosθ＝－2答案：A5．将参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋sin2θ，y＝sin2θ））（θ为参数）化为普通方程为(）A．y＝x－2 B．y＝x＋2C．y＝x－2（2≤x≤3) D．y＝x＋2（0≤y≤1）解析：由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2＋sin2θ，y＝sin2θ)）知x＝2＋y（2≤x≤3）所以y＝x－2(2≤x≤3）．答案:C6．经过点M(1,5）且倾斜角为eq\f(π,3)的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是()A．eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f（1，2）t,y＝5－\f(\r（3),2）t)) B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1－\f（1，2)t,y＝5＋\f(\r(3）,2)t））C．eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f（1,2）t，y＝5－\f(\r(3），2)t）) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f（1,2）t，y＝5＋\f(\r（3),2)t）)解析:根据直线参数方程的定义,易得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋t·cos\f(π,3),y＝5＋t·sin\f(π,3))），即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，y＝5＋\f(\r（3），2)t)）.答案:D7．x2＋y2＝1经过伸缩变换eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x′＝2x，y′＝3x）)，后所得图形的焦距()A．4 B．2eq\r（13)C．2eq\r(5) D．6解析：变换后方程变为:eq\f（x2,4)＋eq\f（y2,9）＝1，故c2＝a2－b2＝9－4＝5，c＝eq\r(5),所以焦距为2eq\r（5）。答案：C8．已知直线eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2－tsin30°,y＝－1＋tsin30°）)(t为参数)与圆x2＋y2＝8相交于B、C两点,则｜BC｜的值为(）A．2eq\r（7) B．eq\r（30)C．7eq\r（2） D．eq\f(\r（30),2）解析：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2－tsin30°,y＝－1＋tsin30°））⇒eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2－\f（1,2）t＝2－\f(\r(2),2）t′,y＝－1＋\f(1,2）t＝－1＋\f（\r(2),2）t））(t′为参数)．代入x2＋y2＝8，得t′2－3eq\r(2)t′－3＝0，∴｜BC|＝｜t′1－t′2｜＝eq\r(t′1＋t′22－4t′1t′2)＝eq\r（3\r（2）2＋4×3)＝eq\r（30)，故选B．答案：B9．已知P点的柱坐标是eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f（π，4），1）），点Q的球面坐标为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1，\f(π，2），\f（π，4))）,根据空间坐标系中两点A（x1,y1,z1），B（x2，y2，z2)之间的距离公式|AB｜＝eq\r（x1－x22＋y1－y22＋z1－z22），可知P、Q之间的距离为(）A．eq\r(3） B．eq\r(2)C．eq\r（5) D．eq\f（\r（2），2）解析：首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系，把P点的柱坐标转化为空间直角坐标(eq\r（2），eq\r(2)，1），再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把Q点的球坐标转化为空间直角坐标eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)，2），\f（\r(2），2)，0)),代入两点之间的距离公式即可得到距离为eq\r（2）。答案：B10．如果直线ρ＝eq\f（1，cosθ－2sinθ）与直线l关于极轴对称，则直线l的极坐标方程是(）A．ρ＝eq\f（1,cosθ＋2sinθ) B．ρ＝eq\f(1，2sinθ－conθ)C．ρ＝eq\f(1，2cosθ＋sinθ） D．ρ＝eq\f(1，2cosθ－sinθ)解析：由ρ＝eq\f(1，cosθ＋2sinθ）知ρcosθ＋2ρsinθ＝1，∴x＋2y＝1。答案：C11．圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程是（)A．eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ＋4sinφ，，y＝2sinφ－4cosφ。）)(φ为参数)B．eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝4cosθ＋θsinθ,，y＝4sinθ－θcosθ.）)(θ为参数)C．eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2φ－sinφ,，y＝21－cosφ.)）(φ为参数）D．eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝4θ－sinθ，,y＝41－cosθ.））（θ为参数）解析：圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2cosφ＋φsinφ，,y＝2sinφ－φcosφ.φ为参数.))答案:A12．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域(含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点P（x,y）、点P′（x′，y′)满足x≤x′，且y≥y′,则称P优于P′.如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其他点优于Q,那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（）A．eq\x\to（AB） B．eq\x\to(BC)C．eq\x\to(CD） D．eq\x\to(DA）解析：∵x≤x′且y≥y′，∴点P（x，y）在点P′(x′,y′）的左上方．∵Ω中不存在优于Q的点，∴点Q组成的集合是劣弧eq\x\to(AD)，故选D．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确答案填在题中横线上)13．已知直线的极坐标方程为ρsineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f(π,4）)）＝eq\f(\r（2)，2）,则极点到该直线的距离是________解析：对于求一点到一条直线的距离问题，我们联想到的是直角坐标系中的距离公式，因此应首选把极坐标平面内的问题化为直角坐标问题的解决方法，这需把极点、直线的方程化为直角坐标系内的点的坐标、直线的方程．极点的直角坐标为O（0，0），ρsineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（θ＋\f(π，4）))＝ρeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r(2)，2)sinθ＋\f(\r(2)，2)cosθ））＝eq\f(\r(2)，2），∴ρsinθ＋ρcosθ＝1,化为直角坐标方程为x＋y－1＝0.∴点O（0,0）到直线x＋y－1＝0的距离为d＝eq\f(1，\r(2）)＝eq\f(\r（2)，2)，即极点到直线ρsineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π，4）)）＝eq\f（\r(2）,2)的距离为eq\f(\r（2)，2)。答案:eq\f（\r(2),2）14．直线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝tcosα,，y＝tsinα))(t为参数)与圆eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝4＋2cosφ，，y＝2sinφ)）（φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________。解析：直线：y＝x·tanα，圆：(x－4）2＋y2＝4,如图，sinα＝eq\f(2,4)＝eq\f（1，2），∴α＝eq\f（π,6)或eq\f(5,6）π。答案:eq\f（π，6）或eq\f(5,6）π。15．已知直线l的参数方程eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝t，,y＝1＋2t)）（t为参数）,若以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2eq\r(2)sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))）.则圆的直角坐标方程为__________，直线l和圆C的位置关系为__________(填相交、相切、相离）．解析：(1)消去参数t，得直线l的普通方程为y＝2x＋1.ρ＝2eq\r(2)sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π,4）))即ρ＝2(sinθ＋cosθ），两边同乘以ρ得ρ2＝2（ρsinθ＋ρcosθ）,消去参数θ，得⊙C的直角坐标方程为（x－1）2＋(y－1)2＝2.(2）圆心C到直线l的距离d＝eq\f（｜2－1＋1｜，\r(22＋12))＝eq\f（2\r（5),5)〈eq\r（2），所以直线l和⊙C相交．答案：(x－1）2＋(y－1)2＝2；相交16．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋3，，y＝3－t）)(参数t∈R），圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2cosθ,y＝2sinθ＋2))（参数θ∈［0,2π]），则圆C的圆心坐标为______,圆心到直线l的距离为______。解析：直线和圆的方程分别是x＋y－6＝0，x2＋(y－2）2＝22，所以圆心为(0,2），其到直线的距离为d＝eq\f（｜0＋2－6|,\r（1＋1))＝2eq\r（2)。答案：(0,2)2eq\r(2)三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分)（1)化ρ＝cosθ－2sinθ.为直角坐标形式并说明曲线的形状；(2）化曲线F的直角坐标方程:x2＋y2－5eq\r（x2＋y2）－5x＝0为极坐标方程．解析：（1)ρ＝cosθ－2sinθ两边同乘以ρ得ρ2＝ρcosθ－2ρsinθ∴x2＋y2＝x－2y即x2＋y2－x＋2y＝0即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)）)2＋（y＋1）2＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(\r(5），2)))2表示的是以eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))为圆心，半径为eq\f(\r（5）,2)的圆．（2)由x＝ρcosθ,y＝ρsinθ得x2＋y2－5eq\r(x2＋y2)－5x＝0的极坐标方程为：ρ2－5ρ－5ρcosθ＝0。18．（12分）在极坐标系中,已知圆C的圆心Ceq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（3，\f（π,9）))，半径为1。Q点在圆周上运动,O为极点．(1）求圆C的极坐标方程；（2)若P在直线OQ上运动，且满足eq\f(OQ,QP)＝eq\f（2,3)，求动点P的轨迹方程．解析：（1）设M(ρ，θ）为圆C上任意一点,如图,在△OCM中，|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM｜＝1，∠COM＝eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f（π，6)））,根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·coseq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1(θ－\f（π，6)）)，化简整理，得ρ2－6·ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f（π,6)））＋8＝0为圆C的轨迹方程．(2）设Q（ρ1，θ1)，则有ρeq\o\al(2,1)－6·ρ1coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（θ1－\f(π，6))）＋8＝0①设P(ρ，θ),则OQ∶QP＝ρ1∶(ρ－ρ1）＝2∶3⇒ρ1＝eq\f（2，5)ρ，又θ1＝θ,即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（ρ1＝\f（2，5)ρ，，θ1＝θ，))代入①得eq\f（4，25）ρ2－6·eq\f(2,5)ρcos(θ－eq\f(π,6))＋8＝0,整理得ρ2－15ρcoseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(θ－\f(5π，6)）)＋50＝0为P点的轨迹方程．19．(12分)已知椭圆C的极坐标方程为ρ2＝eq\f(12,3cos2θ＋4sin2θ），点F1，F2为其左，右焦点,直线l的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2＋\f(\r(2）,2）t,,y＝\f(\r（2)，2）t））（t为参数,t∈R）．（1)求直线l和曲线C的普通方程；(2）求点F1，F2到直线l的距离之和．解析：(1）直线l的普通方程为y＝x－2；曲线C的普通方程为eq\f(x2,4）＋eq\f（y2,3)＝1。（2）∵F1(－1，0），F2（1，0），∴点F1到直线l的距离d1＝eq\f(｜－1－0－2｜,\r(2))＝eq\f(3\r（2）,2）.点F2到直线l的距离d2＝eq\f(｜1－0－2|，\r(2)）＝eq\f(\r(2），2）,∴d1＋d2＝2eq\r(2）.20．(12分）已知直线l过点P（2，0)，斜率为eq\f(4，3），直线l与抛物线y2＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M。(1)求P、M两点间的距离；(2）求M点的坐标；（3）求线段AB的长|AB|.解析：(1)∵直线l过点P（2，0)，斜率为eq\f（4，3），设倾斜角为α，tanα＝eq\f(4，3），cosα＝eq\f(3,5）,sinα＝eq\f（4,5）,∴直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(3，5)t,y＝\f（4,5)t)）(t为参数），∵直线l与抛物线相交，把直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝2x,整理得8t2－15t－50＝0,设这个方程的两个根为t1、t2，则t1＋t2＝eq\f(15,8）,t1·t2＝－eq\f(25,4)。由M为线段AB的中点,根据t的几何意义，得|PM|＝eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(\f(t1＋t2，2)))＝eq\f(15，16).（2）由（1）知，中点M所对参数为tM＝eq\f（15,16），代入直线的参数方程，M点的坐标为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2＋\f(3,5)×\f(15，16)＝\f(41,16）,y＝\f（4,5）×\f（15，16)＝\f（3,4）))，即Meq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（41，16），\f（3，4))）.（3）由参数t的几何意义，｜AB|＝|t2－t1|＝eq\r（t2＋t12－4t1t2）＝eq\f(5，8）eq\r(73).21．(12分)如图，自双曲线x2－y2＝1上一动点Q引直线l：x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN中点P的轨迹方程．解析：设点Q的坐标为(secφ，tanφ)，（φ为参数)．∵QN⊥l,∴可设直线QN的方程为x－y＝λ ①将点Q的坐标代入①得：λ＝secφ－tanφ所以线段QN的方程为x－y＝secφ－tn