2017-2018版高中数学第1章导数及其应用1.1.1平均变化率学案版2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14学必求其心得，业必贵于专精PAGE1．1。1平均变化率学习目标1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率.2。了解平均变化率概念的形成过程,会在具体的环境中，说明平均变化率的实际意义．知识点函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图,并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f（x）表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f（x）表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为（x1，y1)，点B的坐标为（x2,y2）．思考1若旅游者从点A爬到点B,自变量x和函数值y的改变量分别是多少？思考2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？思考3观察函数y＝f(x)的图象，平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f（fx2－fx1,x2－x1)表示什么？函数f（x)在区间[x1，x2］上的平均变化率(1）定义式:eq\f（Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).(2）实质：______的增量与________增量之比．（3)作用：刻画函数值在区间［x1，x2］上变化的快慢．(4）几何意义：已知P1（x1，f(x1）)，P2（x2，f(x2))是函数y＝f（x）的图象上两点,则平均变化率eq\f(Δy，Δx）＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示割线P1P2的______．类型一求函数在某区间内的平均变化率例1(1)已知函数y＝f（x）＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0。1时，Δy的值为________．（2）已知函数f(x）＝x＋eq\f(1,x），分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快．反思与感悟求函数平均变化率的步骤:（1)求自变量的改变量Δx＝x2－x1;（2）求函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）;(3）求平均变化率eq\f（Δy,Δx）＝eq\f（fx2－fx1，x2－x1）.跟踪训练1分别计算下列三个图象表示的函数h（t)在区间[0，3]上的平均变化率．类型二实际问题中的平均变化率例2在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h（单位:m)与起跳后的时间t(单位：s）存在函数关系h(t）＝－4。9t2＋6。5t＋10。（1）求运动员在第一个0。5s内高度h的平均变化率；（2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．反思与感悟(1)综合物理知识可知，在第一个0。5s内高度h的平均变化率为正值，表示此时运动员在起跳后处于上升过程;在1≤t≤2这段时间内,高度h的平均变化率为负值,表示此时运动员已开始向水面下降．事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0.(2）平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度（重量）的平均变化率等等．解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量．跟踪训练2已知某物体运动位移与时间的关系s（t)＝eq\f(1,2）gt2，试分别计算t从3s到3。1s，3.001s各段的平均速度,通过计算你能发现平均速度有什么特点吗？类型三平均变化率的应用例32012年冬至2013年春，我国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计,该市小麦受旱面积如图所示，据图回答：(1）2012年11月至2012年12月间,小麦受旱面积变化大吗？（2)哪个时间段内,小麦受旱面积增幅最大？（3）从2012年11月到2013年2月，与从2013年1月到2013年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？反思与感悟(1）本例中的(2)（3)可数形结合，利用平均变化率进行分析，抓住平均变化率的几何意义．（2)在实际问题中，平均变化率具有现实意义，应根据问题情境，理解其具体意义．跟踪训练3甲、乙二人跑步,路程与时间关系以及百米赛跑路程与时间关系分别如图中①②所示,试问：(1)甲、乙二人哪一个跑得快？（2）甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快?1．如果函数y＝ax＋b在区间［1，2］上的平均变化率为3，则a＝________.2．在雨季潮讯期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24h内发现水位从102。7m上涨到105.1m，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.3．已知曲线y＝eq\f(1，x）－1上两点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2,－\f（1，2）)），Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2＋Δx，－\f(1,2)＋Δy）），当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．4．甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？(设两企业投产前的投资成本都是10万元）1．准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量Δy与自变量取值增量Δx的比值．涉及具体问题,计算Δy很容易出现运算错误，因此,计算时要注意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法．2．函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积体积变化率等．解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的．提醒：完成作业1.1.1

答案精析问题导学知识点思考1自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy.思考2对山路AB来说，用eq\f（Δy,Δx）＝eq\f(y2－y1，x2－x1）可近似地刻画其陡峭程度．思考3观察图象可看出,eq\f(Δy,Δx）表示曲线y＝f（x）上两点(x1，f（x1))，（x2，f(x2））连线的斜率．（2）函数值自变量（4)斜率题型探究例1(1）0。41（2）解自变量x从1变到2时，函数f（x)的平均变化率为eq\f(f2－f1，2－1）＝eq\f(2＋\f(1,2）－1＋1，1）＝eq\f(1,2)；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为eq\f(f5－f3，5－3）＝eq\f(5＋\f（1,5)－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（3＋\f(1,3)）)，2)＝eq\f(14,15）.因为eq\f（1,2）＜eq\f(14,15)，所以函数f(x)＝x＋eq\f(1,x）在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．跟踪训练1解对于（1)，Δh＝h(3)－h（0)＝10－0＝10，∴eq\f（Δh,Δt)＝eq\f(10,3－0）＝eq\f(10，3），即平均变化率为eq\f(10，3)。同理可以算得(2）（3）中函数h(t)在区间[0,3]上的平均变化率均为eq\f（10,3）。例2解(1）运动员在第一个0.5s内高度h的平均变化率为eq\f（h0。5－h0，0.5－0）＝4.05（m/s）；（2）在1≤t≤2这段时间内,高度h的平均变化率为eq\f(h2－h1，2－1）＝－8.2（m/s)．跟踪训练2解设物体在区间[3,3。1］，[3,3。001]上的平均速度分别为v1,v2，则Δs1＝s（3.1)－s(3)＝eq\f（1，2)g×3.12－eq\f（1，2)g×32＝0。305g(m）．∴物体从3s到3。1s时平均速度v1＝eq\f（Δs1,3。1－3）＝eq\f(0。305g，0.1)＝3.05g（m/s)，同理v2＝eq\f（Δs2,3。001－3)＝eq\f(0.0030005g,0。001）＝3。0005g(m/s)．通过计算可以发现，随着时间间隔Δt的变小，平均速度在向3gm/s靠近,而3gm/s为物体做自由落体运动时，t＝3s时的瞬时速度．例3解（1)在2012年11月至2012年12月间,Δs变化不大,即小麦受旱面积变化不大．(2)由图可知，在2013年1月至2013年2月间,平均变化率eq\f（Δs，Δt)较大，故小麦受旱面积增幅最大．（3）在2012年11月至2013年2月间,平均变化率＝eq\f（sB－sA,3）,在2013年1月至2013年2月间，平均变化率＝eq\f（sB－sC,1）＝sB－sC，显然kBC＞kAB,即sB－sC＞eq\f（sB－sA，3)，∴在2013年1月至2013年2月间，小麦受旱面积增幅较大．跟踪训练3解（1)对于图①，设甲、乙两曲线的右端点分别为A,B,显然有kOB＞kOA，故乙的平均变化率大于甲的平均变化率,所以乙比甲跑得快．（2）对于图②，在[0，t0]上，甲、乙的平均变化率是相等的，但甲的平均变化率是常数，而乙的变化率逐渐增大,快到终点时,乙的变化率大于甲的变化率，所以，快到终点时，乙跑得较快．达标检测1．32.0.13.－eq\f（1,6)4．解甲企业生产效益的平均变化率为