土力学三++土中应力和地基应力分布

第三章土中应力1、土中一点的应力状态2、自重应力3、附加应力或荷载应力

垂直均布荷载、垂直集中荷载、垂直线状荷载、条形荷载（均布、三角形分布）、局部面积荷载——

圆形均布荷载、矩形荷载（均布、三角形分布）、

不规则面积任意分布荷载；非均质各向异性土中的附加应力分布

；4、基底压力、基底附加压力（基底净压力）地基中自重应力、附加应力分布规律；小结土中一点的应力状态在自然界中理想的弹性材料和塑性材料是没有的，为了简化设计计算，在一定条件下，把一般材料当成理想材料，在计算中引用弹性理论或塑性理论。对于土也是这样，近似地当成理想均匀弹性或塑性体，采用相应的计算理论。假定地基土是连续的、均质各向同性的、半无限弹性体从工程角度看，主要研究宏观土体的受力问题，工程上可以把土颗粒和孔隙混在一起，把土体当作连续介质来分析，从平均应力的概念出发，用一般材料力学的方法来定义土中的应力。当土层性质变化不大时，这样假定对竖直应力分布引起的误差，通常也在容许范围之内。当然，如果土层性质变化较大时，就要考虑非均质或各向异性的影响，进行必要的修正。考虑到一般建构筑物荷载在地基中引起的应力增量Δσ不是很大，地基中产生的塑性区基本没有或相对较小，因此，对一般工程而言，可以将土考虑为线弹性介质，以便直接用弹性理论求土中的应力分布。但对于一些十分重要且对沉降有特殊要求的建构筑物，用弹性理论进行土体中的应力分析其精度是不够的，必须借助土的弹塑性理论才能得到比较符合实际的应力与变形解答。

当土体受到外力作用而处于静力平衡状态时，土中一点的应力状态：1.可由6个独立应力分量表示σx、σy、σz、τxy、τxz、τyz

2.确定主应力方向，由主应力σ1、σ2、σ3表示土中一点的应力状态。

3.该点任一方向切面上的σ、τ都可确定（公式略）xzyσxσyσzτxyτyxτxzτzxτyzτzyσ2σ3σ1τxy=τyxτxz=

τzxτyz=

τzyzx0σxσzτxzτzx

二维平面问题：沿某一坐标轴向（假设y轴），随一点位置的改变其应力没有变化。

στ这种情况土中一点的应力状态：1.可由3个独立应力分量表示σx、σz、τxz2.确定主应力方向，由主应力σ1、σ3表示3.该点任一方向切面上的σ、τ都确定

σ1σ3Z由静力平衡条件：Fx=0Fy=0x0σxσz

τxzτzxστ

ABCσ=σ1或σ3zx0σxσzτxzτzxσ1(3)

σ1σ3τ=0

zx0σxσzτxzτzx

σ1σ3平面问题，土中一点的应力状态：1.可由3个独立应力分量表示σx、σz、τxz

2.确定主应力方向，由主应力σ1、σ3表示3.该点任一方向切面上的σ、τ都确定4、用摩尔应力圆表示

用摩尔应力圆表示土中一点的应力状态：

规定：法向应力以压为正，剪应力以逆时针方向旋转为正0στσ1σ3

0`σ1σ30στ

(σz,τzx)(σx,τxz)0`

zx0σxσzτxzτzx

0`0στ

σ1σ3

圆上任一点P坐标值表示土中一点某一方向切面上的法向应力和剪应力（该切面与大主应力作用面夹角为）P(σ,τ)σ1σ3

zx0σ1σ30`0στ

(σz,τzx)(σx,τxz)大主应力作用面饱和土的有效压力和孔隙水压力土体在外力作用下，土中应力由各相介质（土粒、水、气）分别承担，由于各介质的力学性能不同，从而影响到整个土体的变形和强度。饱和土体在外力作用下，土颗粒骨架和孔隙水分别承担了部分外力。

有效压力σ`：通过土颗粒传递的应力，即:使土骨架产生变形的压力（颗粒之间产生错动和压缩，造成土中孔隙的减小，导致土骨架收缩。假定固体颗粒本身的体积不变）孔隙水压力（孔隙压力）u：由孔隙水承担的压力(因为土颗粒四周受到同等水压,土骨架不会发生变形)。由外力引起的附加孔隙水压力，称为超静水压力（区别静水压力）

饱和土体上的总压力σ=σ`+u

能使土骨架产生变形的有效压力除了外力引起的，还有土的自重，土在自重作用下也能逐渐压密（在水面以上土的容重或在水面以下土的浮容重，为有效力），另外，水在土中的渗流也会产生有效力，对土骨架变形产生影响。h1h2土ab无渗流土的自重浮重度σ=？u=？土abh1h2h土的自重、水的渗流浮重度+渗透力σ=？u=？孔隙水向下渗流水力坡度i=？a土土abh1h2h土的自重、水的渗流浮重度-渗透力σ=？u=？孔隙水向上渗流水力坡度i=？

部分饱和土的孔隙压力和有效压力习题3-3外力引起的基础饱和土体：σ=σ`+u部分饱和土：孔隙压力系数在不同应力条件作用下，在不排水土体中引起多大的孔隙压力和有效压力，Skempton提出孔隙压力系数方法。σ=σ`+u影响土骨架变形，不易直接确定易确定σ`=σ-u孔隙压力系数u孔隙压力系数Bσ1σ2σ3u0σ2+Δσ3

σ3+Δσ3

σ1+Δσ3

u0+Δu3

01.01.0

BSrΔu3=BΔσ3

=

(公式推导略）Δσ3Sr=1时，B=1试验方法测Bσ1σ2σ3u0σ2+Δσ3

σ3+Δσ3

σ1+Δσ3

=u0+Δu3

=u0+BΔσ3

u=？

将公式改写成：Δu1=ABΔσ1

孔隙压力系数Aσ2

σ3

σ1+Δσ1u0+Δu1

推导出理论公式：

(公式推导略）σ2σ3u0σ1试验方法测B、A

σ2

σ3

σ1+Δσ1u=？σ2σ3u0σ1=u0+Δu1

=u0+ABΔσ1

σ2+Δσ3

σ3+Δσ3

σ1+Δσ1u0+Δu

σ2σ3u0Δu=BΔσ3+AB（Δσ1-Δσ3）σ1σ2+Δσ3

σ3+Δσ3

σ1+Δσ3

σ2

σ3σ1+（Δσ1-Δσ3）

习题3-2地基中应力大小，主要决定于上覆土层的自重压力和作用于地面上的外加荷载。分析地基中的应力，假定地基土为弹性半无限体。（渗透力）

=总压力-孔隙压力=γzγ：为有效容重有效容重的确定：1）水面以上的土取天然容重2）水面以下的粗粒土和透水粘性土，受浮力作用，用浮容重；不透水的饱和粘土，不受浮力作用，用饱和容重Z土中垂直自重有效应力粘性土→液性指数

对于成层土：Z自重应力分布曲线εx=εy=0例题3一1

：第一层土为粉砂，厚度6m，1=18.5kN/m3，1sat=21.4kN/m3；第二层土为粘土，厚度4m，2=16.8kN/m3,2sat=19.7kN/m3，w=50%，wL=48%，wP=25%，地下水位距地表3m，求：(1)土中自重应力；(2)如果地下水位下降1.0m，不考虑毛细现象，土自重应力出现怎样变化？

(a)地下水位下降(b)地下水位上升(c)填土图3-6由于填土或地下水位升降引起自重应力的变化（实线：变化前自重应力；虚线：变化后自重应力）当地下水位下降时或土层为新近沉积或地面有大面积的人工填土时，土中的自重应力会增大新增加的自重应力会引起土体本身产生压缩变形，进而引起地面沉降。

若考虑毛细作用，土层中由于毛细水位的上升（高度为hc)，上升的水柱重量通过水膜张力传递到土骨架上，形成有效力，因此毛细作用将会提高土层的有效自重应力。

由于水膜的提升作用，使孔隙水中产生一负孔隙水压力u毛=–γwhc，它相当于把高出地下水面hc的水柱悬挂起来的拉力。

考虑毛细作用的垂直自重有效应力

例题：现有一由两层土组成之地基，上层为粉砂，厚6米，下层为软塑粉质粘土，地下水面深3米，水面以上土的天然容重为17kN/m3，而饱和容重为19kN/m3，粉质粘土的饱和容重为20kN/m3，试计算10米深范围内的自重压力的分布。粉砂软塑粉质粘土6米3米4米z5178.6119.4

hhc

σ`=σ–u=σσ`=σ–u=σ-0-u毛=σ+γwhcσ`=σ–u=σ-u静水压力-u毛=σ-γwh1+γwhch1σ`=σ–u=σ-u静水压力-u毛=σ-γwh2+γwhc=σσ`=σ–u=σ-γwh3+γwhch2h3

例题：现有一由两层土组成之地基，上层为粉砂，厚6米，下层为软塑粉质粘土，地下水面深3米，水面以上土的天然容重为17kN/m3，而饱和容重为19kN/m3，粉质粘土的饱和容重为20kN/m3，试计算10米深范围内的自重压力的分布。（砂土中出现毛细水，毛细水面上升1.0m。）6米3米4米qzz3480.6121.4粉砂软塑粉质粘土43.853粉砂软塑粉质粘土6米3米4米qzz5178.6119.4qzz3480.6121.443.853粉砂软塑粉质粘土不考虑毛细水作用考虑毛细水作用习题3-4

基底的接触应力在计算地基应力之前，首先要知道地表荷载的分布和规律。实际地表荷载多为局部不规则荷载，比较复杂。且建筑物荷载是通过基础传递给地基的。因此要知道基础底部与地基之间的接触应力（基底压力）。

影响基底压力的因素很多，实际基底的接触应力分布复杂。1.影响因素：

基础的刚柔度（刚性基础、柔性基础）、基础埋深、基础面积；

荷载大小、分布；

地基土种类等

刚性基础基底压力简化算法计算基底压力若考虑所有影响因素，那太复杂，实际也不可能办到。目前在进行地基基础设计中，常采用简化计算法。

假定刚性基础基底压力总是成直线分布

中心荷载（基底上荷载合力通过基底形心）

P中心荷载下基底压力均匀分布：形心位置----G—p76(a)中心荷载(b)双向偏心荷载(c)单向偏心荷载

二.偏心荷载1.单轴偏心:基底压力为不均匀直线分布(讨论矩形基础)PPM=P*ep1p2y×

eX

W为截面模量

I为基础底面对y轴的惯性矩为核心半径p1p2×

eac1c2b矩形基础b——力矩M作用方向的基础边长

e>b/6P2=0p1e>b/6P2

p1e<b/6p1P2

P2=0p1e=b/6？？L=?P1=?

p1eL=3(b/2-e)矩形基础(3-9)(其他形状基础)PM=Pep1p2

o×

eyc1c2xP——AP——AP——AP——A

2.双轴向偏心:基底压力为不均匀直线分布1234p1p4p3p21234yxexey基底附加压力基底附加压力:作用于基底上的平均压力减去基（基底净压力）底处原先存在于土中的自重应力。

地基土在自重应力的长期作用下变形已完成挖去土重

d

d

d

基底压力为p，但能引起地基土产生压缩变形的为新增加的压力p-d

，即基底附加压力000例题3一2某外墙柱下独立基础底面尺寸为3m×2.4m，柱传给基础顶部的竖向荷载标准值F=900kN，弯矩M=150kN·m，求基础底部的压力p、pmax、pmin和基底附加压力p0。例题：有一条形刚性基础，宽b=4.0m，作用着均布线状中心荷载P=1000kN/m（包括基础自重），(基础埋深d=1.5m，地基土容重=17.4kN/m3，)试求基础中点下6m处及基础边沿下6m处的竖向荷载应力。习题：有一矩形刚性基础，长a=6.0m,宽b=4.0m，作用着中心荷载P=1000kN（不包括基础自重），(基础埋深d

=1.5m，地基土容重=17.4kN/m3，)试求基础中点下6m处的竖向荷载应力。

例题有一圆环形基础，圆环外径为12m，内径为8m，离基础中心点2m处作用有合力为9000kN的垂直荷载，试求基底最大和最小压应力？9000kN

附加应力(荷载应力）：由外加荷载引起的应力。区别于土的自重应力。垂直方向附加应力表示为地面上作用有垂直均匀满布荷载qqz垂直附加应力：其它方向附加应力：自重应力地基中附加应力扩散示意图新增加的荷载产生应力扩散，附加应力随深度的增加平面分布范围增大，但数值减小。同一深度表现为中部应力大，向两侧渐小。

地面上作用有垂直集中荷载P,计算土中的附加应力

zPrRzrK查表3-1Boussinesq解出：采用弹性理论解答三维问题：其余应力分量同样解出

（采用直角坐标）

zPrzr（采用圆柱坐标）X、Y、Z轴方向的位移

垂直线状荷载下，土中的附加应力积分：rxzxyzp0RdyP0dy二维平面问题：其余应力分量同样解出

rxzxyzp0RdyP0dy

条形荷载下，土中的附加应力积分：NrdxP(x)xx1x2

条形均布荷载p0zx0bNxz积分结果：（应力系数，与x,z,b有关,可查表注意：坐标原点在荷载的中点二维平面问题：其余应力分量同样解出：

NPx大小主应力：P166(6-1)

条形三角形分布荷载p0xzN0bxz积分结果：（应力系数，与x,z,b有关,可查表）注意：坐标原点在三角形顶点上，x轴的方向以荷载增长的方向为正二维平面问题：其余应力分量同样解出

pxzN0bxz例题3-5

局部面积荷载下，土中的附加应力

取一微分面积dxdy，将作用在这一微分面积上的荷载p(x，y)

dxdy作为一集中荷载，利用集中荷载下的公式求附加压力：然后对此附加压力进行面积积分：

坐标原点设在荷载圆心，求z轴上一点N的垂直应力zNz

R积分结果：对任一点的垂直应力也可推出解析解，其结果不能用初等函数表示，不再介绍。圆形均布荷载p0查表

矩形均布荷载角点下的应力系数查表矩形均布荷载推导出计算公式比较复杂，可用下式查表计算：m=l/b，n=z/b

b为荷载面的短边宽度(3-14)角点下矩形均布荷载下任一点处的垂直附加应力计算：

用叠加原理，转为角点下，查表计算矩形内一点下矩形边点下矩形外一点下

矩形线性分布荷载在荷载为零的角点下的应力系数查表矩形三角形分布荷载推导出计算公式比较复杂，可用下式查表计算：m=l/b和n=z/b

b是沿三角形分布荷载方向的边长。角点下矩形线性分布荷载下任一点处的垂直附加应力计算：用叠加原理，查表计算

矩形角点下矩形边点下矩形内一点下矩形外一点下例题3一3例题3一4

例题：有一矩形均布面积荷载，平面尺寸为34，单位面上压力p=300kPa，如图所示。试计算在矩形短边延长线上，离角点外侧1m，地面下4m处A点之（采用角点法之应力系数表）4m3mA1m4mA

不规则面积任意分布的荷载

采用近似方法求解：把荷载面积分成许多小块，求每一小块面积上的合力pi，作为集中荷载，计算地面下一点由此集中荷载产生的附加应力，然后通过叠加，求总的附加应力

Newmark感应图通过感应图求均布面积荷载作用下，弹性地基中任一点上的附加应力。ABNN比例尺AB长度等于N点的深度感应图中每个小感应面在N点引起垂直应力为0.005p

地基中附加应力分布曲线及分布规律

附加应力分布规律：（1）在荷载面以下同一深度的水平面上，沿荷载轴线上的附加应力最大，向两边逐渐减