统计基础教案-相关分析

统计基础教案——相关解析统计基础教案——相关解析PAGE9/9PAGE9统计基础教案——相关解析PAGE第八章相关解析

经过本章的学习，使学生认识相关关系和相关解析根本观点，掌握相关解析理论。

学生必须深刻意会相关关系的观点，弄清相关解析和回归解析之间的关系,掌握相关解析和回归解析的统计解析方法。

【教学重点、难点】

相关解析的观点

相关系数的含义与计算

回归方程的建立

回归系数的含义

【教学用具】多媒体

【教学过程】

前述解析方法如综合解析法、动向解析法、因素解析法、抽样推断法均是对同一现象的

数量特点进行描述和解析，而相关解析与之最大区别为相关解析重视于两个现象之间的数量

联系的研究，自然也不消除时间数列的自相关解析。相关解析有广义与狭义之分，广义的相

关解析还包括回归解析，本章的相关解析是广义的观点。

第一节相关解析归纳

一、变量关系的种类

在大量变量关系中，存在着两种不同的种类：函数关系和相关关系。

函数关系是指变量之间存在的一种完全确定的一一对应的关系，它是一种严格确实定

性的关系。

相关关系是指两个变量也许假设干变量之间存在着一种不完全确定的关系，它是一种非

严格确实定性的关系。

两者之间的联系：

①由于人类的认知水平的限制，有些函数关系可能目前表现为相关关系。

②对拥有相关关系的变量进行量上的测定需要借助于函数关系。

二、相关关系的种类

按照相关关系涉及的因素的多少，可分为

单相关

复相关

按照相关关系的方向，可分为

正相关

负相关

按照相关的表现形式，可分为

直线相关

曲线相关

按照相关的程度，可以分为

完全相关

完全不相关

不完全相关

三、相关解析的内容

对于相关关系的解析我们可以借助于假设干解析指标〔如相关系数或相关指数〕对变量之

间的亲密程度进行测定，这种方法平时被称作相关解析〔狭义观点〕，广义的相关解析还

包括回归解析。对于存在的相关关系的变量，运用相应的函数关系来根据给定的自变量，来

估计因变量的值，这种统计解析方法平时称为回归解析。相关解析和回归解析都是对现象的之间相关关系的解析。广义相关解析包括的内容有：

确定变量之间是否存在相关关系及其表现形式

狭义相关解析

确定相关关系的亲密程度

确定相关关系的数学表达式

回归解析

确定因变量估计值误差的程度

第二节一元线性相关解析

一、相关关系亲密程度的测定

在判断相关关系亲密程度从前，首先确定现象之间有无相关关系。确定方法有：一是根

据自己的理论知识和实践经验综合解析判断；二是用相关图表进一步确定现象之间相关的方

向和形式。在此基础上经过计算相关系数或相关指数来测定相关关系亲密的程度。相关系数

是用来说明直线相关的亲密程度；相关指数那么是用来判断曲线相关的亲密程度。这是主要介

绍相关系数的计算。

相关系数是用来解析判断直线相关的方向和程度的一种统计解析指标，其计算方法中

最简单是最常用的为积差法，是用两个变量的协方差与两变量的标准差的乘积之比来计算

的，计算公式如下：

r

2(xx)(yy)xy22xy(xx)yy)〔1〕xyx?y2222(xx)?(yy)〔2〕nxyxy〔3〕nx2(x)2ny2(y)2上述三个公式均可以使用，由于〔3〕式是平时原始资料计算，所以较为正确，也较为

常用。相关系数的取值范围是：-1≤r≤+1正的表示正相关，负的表示负相关。

利用相关系数判断相关关系的亲密程度，平时认为：

相关系数的值直线相关程度r=0完全不相关0＜r≤微弱相关＜r≤低度相关＜r≤显著相关＜r≤1高度相关r=1完全相关

二、一元线性回归解析

回归解析是对拥有相关关系的两个变量之间的数量变化的一般关系确定一个适宜的数

学表达式，以便进行估计和预测的统计方法。用一条回归直线来说明两个相关变量之间一般

数学关系的方程式，成为简单直线回归方程。这种解析方法称为一元线性回归解析。

〔一〕一元线性回归解析的特点

1.在两个变量之间，必须根据研究目的详尽确定哪个是自变量〔x〕，哪个是因变量〔y〕。

没有显然因果关系的两个变量(x)与(y)可以求得两个方程——y依x的回归方程和x依

y的回归方程.两个方程式相互独立的，不能相互替换。

回归方程的主要作用在于给出自变量的数值来估计因变量的数值。一个回归方程只能做一种推算。

计算相关系数时，要求相关的两个变量都是随机的变量；但是进行回归解析时，只管两个变量也都是随机变量，但要求自变量是给定的，因变量是随机的。

〔二〕一元线性回归模型与参数估计

直线方程的模型为：

ycabx式中，yc表示因变量的估计理论值；x为自变量的实际值；a，b为待定参数。其几何意义是：a是直线方程的截距，b是斜率。其经济意义是：a当x等于0时，y的估计值；b是当x每增加一个单位时，y平均增加或减少的量，b也叫回归系数。〔与相关系数的关系〕

求a，b两个参数的计算公式为:

bnxyxynx2(x)2aybx

一元线性回归方程的估计标准误差

估计标准误差是用来说明回归方程代表性大小的统计解析指标,是指示实际察看值和理

论值的平均误差。其计算公式为：

Syx(yyc)2n2但是，估计标准误差根号内的分母局部不是n，而是n-2，其表示估计回归线失去两个自由度，即样本数据的个数减去自变量的个数〔m=1〕，再减1。在实际应用中，当n很大时，一般是n≥30时，计算估计标准误差时就用n来代替n-2，那么计算公式就成为：

2(yyc)Syxn

便公式：

y2aybxySyxn

第三多元性相关解析*

一、多元性相关的涵

在中，研究一个量与多个量之相关关系的理和方法，称多元相关解析；研究一个因量和多各自量的回解析就是多元回解析或复回解析。多元回可分两个主要方面：一是性回；二是非性回。

二、多元性回模型

〔一〕多元性回模型

多元性回模型的一般表达式：

yib0b1xi1b2xi2b3xi3bmximui

式中，b0表示截距，b1,b2,,bm分表示与个自量相系的斜率，ui表示

节余残差或称作随机听从ui~(0,2)。

多元性回方程：

ycb0b1x1b2x2bmxm

方程式中的参数b0,b1,b2,,bm的求解方程式：ynb0b1x1b2x2bmxmx1yb0x1b1x12b2x1x2bmx1xmx2yb0x2b1x2x1b2x22bmx2xm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

xmyb0xmb1xmx1b2xmx2bmxm2〔二〕二元线性回归模型两个自变量〔用x1和x2表示〕分别与因变量之间体现线性相关时，可用二元线性回归模型来表示：yib0b1xi1b2xi2ui上式中，ui表示节余残差项或称作随机扰动项听从ui~(0,2)。

二元线性回归方程：

ycb0b1x1b2x2

求解b0,b1,b2参数的方程组为：

ynb0b1x1b2x2x1yb0x1b1x12b2x1x2x2yb0x2b1x2x1b2x22

三、多元线性回归方程的估计标准误差

在多元线性回归解析中，回归估计标准误差的计算同一元线性回归标准误差的计算方法

相同。公式如下：Syx

(yyc)2

nm1

四、复相关系数和偏相关系数

〔一〕复相关系数

复相关系数是指在拥有多元相关关系的变量中，用来测定因变量y与一组自变量

x1x2x3???xm之间相关程度的指标。

复相关系数的计算公式为：

ry,123m(yyc)21y)2(y复相关系数的取值是介于-1和+1之间，和简单相关系数同样，也是用其绝对值的大小来

判断相关的亲密程度。

〔二〕偏相关系数

偏相关系数是在多个变量中，当其他变量保持不变的情况下，测定任意两个变量之间的相关程度的指标。偏相关系数取值是介于-1和+1之间，和简单相关系数同样，也是用其数值的大小来判断相关的亲密程度。设有三个变量x1,x2,x3，如果在这三个变量中，剔除x3的影响，可计算x1，x2对x3偏相关系数，记作r12,3，其计算公式为：r12,3rx1x2rx3x3rx2x3(rxx)21(rxx)211323如果在这三个变量中，剔除x2的影响，可计算x1、x3对x2偏向关系数，记作r13,2，其计算公式为：r13,2rx1x3rx1x2rx3x2(rxx)21(rx)21x1232如果在这三个变量中，剔除

其计算公式为：r23,1

1

【知识要点网络图】

相关关系

相关系数

直线相关

曲线相关

x1的影响，可计算x2，x3对x1偏向关系数，记作r23,1，rx2x3rx2x1rx3x1(rxx)21(rxx)22131

变量关系

函数关系

表

达式

直线回归方程

相关程度高

曲线回归方程

相关指数解析回归方程的代表性

【随堂练习】

1．抽取由10名大学生组成的随机样本，研究他们在高中与大学的英语成绩得出下表结

果：

高考成绩〔分〕40609588768398809568x大学成绩〔分〕50729590758895839073y试用相关系数r测定其相关程度。

2．下面是几家百货商店销售额和利润率的资料：

商店编号每人月平均销售额利润率(％)(千元)162538