向量数乘运算及其几何意义

2.2.3向量数乘运算及其几何意义【学习目标】1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义2理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题问题导学新知探究点点落实知识点一向量数乘的定义思考1向量3m—3。与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？答 3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同.—3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反.思考2一般地，我们规定：实数丸与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作加，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？答一般地，实数丸与向量a的积是一个向量，记作加，它的长度和方向规定如下：⑴IAa1=1丸IlaI；(2)当A>0时，Aa的方向与a的方向相同：当A<0时，Aa的方向与a的方向相反：当a=0时，Aa=0；当A=0时，Aa=0.(3)Aa几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当1Al>1时，表示a的有向线段在原方向(A>0)或反方向(A<0)上伸长为原来的IAI倍.知识点二向量数乘的运算律思考类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？答结合律，分配律.(1)A(pa)=(X^)a；(2)(A+p)a=Aa+pa；(3)A(a+b)=Aa+Ab.知识点三向量共线定理思考若b=2a,b与a共线吗？答 根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线.如果有一个实数九使b=Aa(aW0),那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(aW0)是共线向量，那么有且只有一个实数九使得b=Aa.

重点难点个个击破题型探究重点难点个个击破类型一向量数乘的基本运算例1(1)化简|[(4a—3b)+1b—4(6a—7b)_|；2( 1 3 7解原式二§(4a-3b+3b-,a+4b23L23L4-Ua+(-3+3+7)b2(5 11八—5 11工35a-12bJ=3a-18b.3x-2y=a①，(2)已知向量为a,b,未知向量为x,y，向量a,b,x,y满足关系式3x—2y=a,—4x+33x-2y=a①，< 由①X3+②X2得送=3a+2b，代入①得3X(3a+2b)-2y=a、-4x+3y=b②，所以x=3a+2b,y=4a+3b.反思与感悟1.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.2.向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练1计算:TOC\o"1-5"\h\z解 (a+b) - 3(a - b) - 8a= (a - 3a)+ (b +3b) - 8a=-2a+4b-8a=-10a+4b.(2)若2(y—3a)—3(c+b—3y)+b=0,其中a,b,c为已知向量，则未知向量y=2 2-1合案9a—9b+9c解析25-3a)-1(c+b-3y)+b=0,2 2.1 2 2.13y-3a+3b-3c=0,所以y=9a-9b+9c.

类型二向量的表示CA=3a,CB=2b,求CDCA=3a,CB=2b,求CD,CE.解•・•(CA=解•・•(CA=3a,CB=2b,fff一・•・AiB=CB-CA=2b-3a,又D,E为边AB的两个三等分点，22所以CD=CA+AD=3a+3b-a=2a+3b,-* -* 2~ 2 2-i_CE=CA+AE=3a+3AB((2-3((2-34-(2)在平行四边形(2)在平行四边形ABCD中，M,N分别是DC,BC的中点，d表示AB和AD.解如图，设AB=a,AD=b.已知AM=c,AN=d，试用c,:M,N分别是DC,BC的中点，lAD+DM=AM,•・,在△ADM和^ABN中，j[AB+bN=AN,TOC\o"1-5"\h\z工1 小Ib+2a=c, ①即1 L…la+2b=d.②

①X①X2-②，得b②X2-①，得a=|(2d-c).22一3-43c--一AD

23c-d

4-3--

魂*反思与感悟用已知向量表示未知向量的求解思路：⑴先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量⑶当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.跟踪训练2如图，在^OAB中，延长BA到。，使AC=BA,在OB上取点。，使DB=3OB,DC与OA交点为E，设Oa=a,Ob=b，用a,b表示向量OC,DSC.解,・,AC=BA,•.A是BC的中点，•・(OA=1((OB+Oc),fff 一•・OC=2OA-OB=2a-b."o_2:o：o ^o2o•••DC=OC-OD=OC-3OB-・25.=2a_b_3b=2a_3b.类型三共线问题例3(1)已知非零向量e1,e2不共线，如果魂=e1+2e2,BC=—5e1+6e2，CD=7e1—2e2,则共线的三个点是 .(2)已知A,B,P三点共线，O为直线外任意一点，若OP=x(OA+yOB，则％+y=答案(1)A,B,D(2)1解析(1)VAB=e1+2e2,BD=BC+CD=-5e1+6e2+7e1-2e2=2(e1+2e2)=2AB.・•・AB,BD共线，且有公共点B，,A,B,D三点共线.(2)由于A,B,P三点共线，贝AB,AP在同一直线上，由共线向量定理可知，必存在实数丸使得ap=xab即crp-Oa=丸(Ob-Oa)，,Op=(1-丸)Oa+x()b.二%=1-X,y=X，贝iJ%+y=1.反思与感悟(1)有关三点共线，通常转化为三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据.(2)已知O,A,B是不共线的三点，且OP=m()A+n(JB(m,n£R),A,P,B三点共线m+n=1.跟踪训练3(1)设e1,e2是两个不共线的向量，已知矗=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1一e2,若A,B,D三点共线，求k的值.解BD=CD-CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.因为A,B,D三点共线，故存在实数X，使得AB=XBD，即2e1+ke2=X(e1-4e2)=Xe1-4Xe2.'X=2,由向量相等的条件得J 所以k=-8.k=-4X,V 7(2)已知O为平面ABC内任意一点，若存在a,B£R，使OC=a(JA+^OfB,a+B=1，那么A,B,C三点是否共线？解共线，因为存在a,B£R，使OC=aOOA+BC,且a+B=1.B=1-a，,OC=aOA+(1-a)OB,,C_. Ot* t*.OC=aOA+OB-aOB,.OC-OB=a(OA-OB),.BC=aBA，,A,B,C三点共线.当堂检测巩固反馈达标检测当堂检测巩固反馈.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m=—e1+ke2（k£R）与向量n=4—2e1共线，则（）A.k=0 B,k=1C.k=2 D.k=2答案D解析当k=2时，m=-e1+2e2,n=-2e1+e2./.n=2m，此时，m,n共线.2,下列各式计算正确的有（）①（一7）6a=—42a；②7（a+b）-8b=7a+15b；③a—2b+a+2b=2a；®4（2a+b）=8a+4b.A.1个B.2个C.3个D.4个答案C3.已知4ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,且PA+PB+PC=AB，则（ ）A.P在^ABC内部B.P在^ABC外部C.P在AB边上或其延长线上D.P在AC边上答案D解析PA+pB+pC=PB-PA,・•・PC=-2PA.，二P在AC边上..若la1=5,b与a方向相反，且Ibl=7,则a=b.答案—解析Vial=|lbl,且a与b方向相反，Aa=-7b..如图所示，已知ap=3ab，用（OA,Ob表示O.

解(JP=Oa解(JP=Oa+,4P=Oa+4/4B=OA+3(OB-OA尸-1f ■■规律与方法■■ 'I.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如丸+烈，丸-0是没有意义的..加的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的1丸I倍.向量a表示与IaI向量a同向的单位向量..共线向量定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问题.40分钟课时作业 强化训练拓展提升一、选择题.在△ABC中，如果AD,BE分别为BC,AC上的中线，且AD=a,BE=b,那么BC为( )的a2 2,B.3a—2 2,B.3a—3b-2 4C.3a-3bD.-3a+3b答案A解析由题意，得bC=bE+EC=b+1AC=b+2(AD+DC)=b+|a+1bC，即BC=b+1a+4—> —>24BC.解得BC=3a+3b..若,4B=5e1，CD=-7e］，且|ADI=IBCI,则四边形ABCD是( )A.平行四边形 B.等腰梯形C.菱形 D.梯形但两腰不相等答案B解析CD=-5AB,・•・CD//AB，且CDWAB，而且1,4DI=IBCI,・•・四边形ABCD是等腰梯形.

TOC\o"1-5"\h\z.在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD=2IDB,CD=|C1A+ACB，则丸等于（ ）1 2A.3 B.§cl d3c.2 4答案B12解析.A,B,D二点共线，..3+A=1,A=3..已知m,n是实数，ab是向量，则下列命题中正确的为（ ）①m（a-b）=ma一mb；②（m-n）a=ma-na:③若ma=mb，则Ua=b:④若ma=na，则Um=n.A.①④ B.①②C.①③ D.③④答案B解析①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m=0,则不能推出a=b,错误；④中，若a=0,则IJm,n没有关系，错误..设D为^ABC所在平面内一点，BC=3CD，则（A.AD=-A.AD=-3aB+3AC7^17^,B.AD=3AB—一—4工,1—AD=3AB+3AC六4六1t^,AD=3AB—3AC答案A解析AD=AC+CD=AC+1BC=AC+3(AC-AB)=3^-3AB=-3+3.故选A.6.若非零向量a与b不共线，ka+b与a+kb共线，则实数k的值为（）A.k=—1 B,k=1C.k=±1 D.k=2答案C解析：ka+b与a+kb共线，・•・存在实数A使ka+b=A(a+kb),：.（k-丸）a=（Xk-1）b.'k-X=0,Va与b不共线，.，k=±1.Xk-1=0,

、 77.已知4ABC和点M满足MLA+MLB+氤=0.若存在实数m使得AB+AC=mAM,成立，则m的值为（）A.2B.3C.4 D.5答案B解析VMtA+Mb+MLC=0,・•.点M是、ABC的重心.-一-一・•・AB+AC=3AM，二m=3.二、填空题8.（a+9b—2c）+（b+2c）=.答案a+10b9在ABCD中，AB=a,AD=b,AN=3Nc,M为BC的中点，则M=（用a,b表示）.答案4b-4a解析如图，MLN=Mb+BA+AN=-1b-a+4AC=-2b-a+4(a+b)=1b-a)..已知向量a,b满足Ia1=3,lbl=5,且a=Xb，则实数X的值是 .3答案±5.设a,b是不共线的两个向量，已知后=2a+kb,BC=a+