2022年高考数学一轮复习 椭圆（精练）（解析版）

9.3椭圆（精练）【题组一椭圆的定义及应用】1．（2021·全国高三月考）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】易知的轨迹为椭圆，其方程为，设，则，因为，所以，即，.故选：.2．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（）A．1 B．－1 C． D．【答案】A【解析】设椭圆的左焦点为，则，可得，所以，如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，此时取得最小值，又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．故选：A．3．（2021·河南信阳高中（文））“"是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为方程+=1表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得，故“”是“方程+=1表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选：B4．（2021·江西（理））若随机变量，且.点在椭圆：上，的左焦点为，为曲线：上的动点，则的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】因为随机变量，且，结合正态分布的对称性可知，所以，所以；而的圆心为，半径为1，设椭圆的右焦点为，则，所以，因此,而当三点共线时，最小，且，所以的最小值为，故选：B.5．（2021·全国高三专题练习）已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且．若的面积为9，则____________．【答案】3【解析】由知，则由题意，得，所以可得，即，所以.故答案为：3．6．（2021·上海闵行区·闵行中学高三开学考试）已知点在焦点为、的椭圆上，则______．【答案】8【解析】因为点在焦点为、的椭圆上，所以，所以，所以，故答案为：7．（2021·武功县普集高级中学（理））已知椭圆的两个焦点分别为，，点为椭圆上一点，且面积的最大值为，则椭圆的短轴长为_______________________．【答案】【解析】由椭圆的方程可知，椭圆的焦点，在轴上，且，由题意可知，当点为椭圆左右顶点时，的面积最大，且，解得，所以椭圆的短轴长为.故答案为：8．（2021·湖北恩施·）设点是椭圆上的点，，是该椭圆的两个焦点，若的面积为，则_______．【答案】【解析】在椭圆中，长半轴，半焦距，由椭圆定义得，在中，由余弦定理得：，即：，则，又的面积为，则，即，于是得，两边平方得，解得，则，所以.故答案为：【题组二椭圆的标准方程】1．（2021·全国高三专题练习）阿基米德是古希腊著名的数学家､物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，解得，所以椭圆的标准方程是.故选：A2．（2021·山西长治市·高三月考（文））古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用周长为72的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意椭圆方程是方程为，排除BD，矩形的四边与椭圆相切，则矩形的周长为，．在椭圆中，，,不满足题意，在椭圆中，,满足题意．故选：C．3．（2021·全国（文））已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆，其长轴长为4，焦距为2，则的方程为（）A． B．或C． D．或【答案】D【解析】因椭圆中心在原点，其长轴长为4，焦距为2，则，，，当椭圆的焦点在轴上时，椭圆方程为：，当椭圆的焦点在轴上时，椭圆方程为：．故选：D4．（2021·湖南师大附中高三月考）（多选）若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1，则称该椭圆为“倍径椭圆”．则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】设点P到椭圆两个焦点的距离分别为m和，则，即．因为，则，所以．对A，a=4,c=1，不满足；对B，a=3,c=1，满足；对C，a=5,c=2，满足；对D，a=6,，不满足.故选：BC．5．（2021·全国（理））写出一个与椭圆有公共焦点的椭圆方程__________．【答案】（答案不唯一）【解析】由题可知椭圆的形式应为（，且），可取故答案为：（答案不唯一）【题组三直线与椭圆的位置关系】1．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】设，是椭圆C上关于l对称的两点，AB的中点为，则，，.又因为A，B在椭圆C上，所以，，两式相减可得，即.又点M在l上，故，解得，.因为点M在椭圆C内部，所以，解得.故选：C2．（2021·山东高三）直线与曲线（）A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点【答案】D【解析】当时，曲线为，与直线方程联立得：解得：，此时直线与曲线有两个交点当时，曲线为，与直线方程联立得：解得：（舍），此时直线与曲线有一个交点综上所述：直线与曲线有三个交点故选：3（2021·浙江高三）已知椭圆上一点和该椭圆上两动点、，直线、的斜率分别为、，且，则直线的斜率A．或 B． C． D．的值不确定【答案】C【解析】由，设直线为，直线为，点为，点为易知，点在椭圆上，联立直线与椭圆方程得，，由韦达定理得，即，代入直线中得到，即点为；同理可得，点为，则直线的斜率为，故选C4．（2021·全国高二课前预习）直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】C【解析】联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，因为Δ＝22＋12＝16＞0，所以直线与椭圆相交.5．（2021·上海市复兴高级中学）若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】如图示：表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线.当曲线为椭圆时，即，只需点落在椭圆内，即，解得：；当曲线为双曲线时，即，渐近线方程：要使曲线与曲线恰有两个不同的交点，只需，解得：.所以实数的取值范围是故选：C6．（2021·安徽高二月考（理））已知两定点，，直线：，在上满足的点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或1或2【答案】B【解析】∵，，∴在以为焦点，为长轴长的椭圆上，由于，，又，因此，椭圆方程为，由，解得，∴点只有一个．故选：B．7．（2021·全国高二课时练习）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（）A．2个 B．至少一个 C．1个 D．0个【答案】A【解析】直线和圆没有交点，直线与圆相离，圆心，半径，即点在以原点为圆心，半径为2的圆内，又椭圆短轴长为4，圆=2内切于椭圆，点在椭圆内，则过点的直线与椭圆的交点个数为2个.故选：A.8．（2021·江西南昌十中高二月考（文））已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为（）A． B．或C．且 D．且【答案】C【解析】由题意，直线，可得直线恒过定点，要使得直线与椭圆恒有公共点，只需点在椭圆的内部或在椭圆上，可得，即实数的取值范围为且.故选：C.9．（2021·全国高二课时练习）已知以，为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设椭圆长轴长为（且，则椭圆方程为．由，可得，因为直线与椭圆只有一个交点，则，即．解得或或，又由，所以，所以长轴长．故选：．10（2021·全国高三专题练习）已知直线与椭圆相交于与A，B两点，若椭圆上存在点C，使得，则点C的坐标为______________.【答案】或【解析】设，，由消去x整理得，，则，，所以，，又，则点C在以为直径的圆上（不与、重合），即点C在圆上，由可得或.故答案为：或.11（2021·全国高三专题练习）已知椭圆的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B2、B1、A、F，延长B1F与AB2交于点P，若∠B1PA为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为_____．【答案】【解析】由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，（c=）可得∠B1PA等于向量与的夹角，∵A（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），F2（c，0）∴=（a，﹣b），=（﹣c，﹣b），∵∠B1PA为钝角，∴与的夹角大于，由此可得•＜0，即﹣ac+b2＜0，将b2=a2﹣c2代入上式得：a2﹣ac﹣c2＜0，不等式两边都除以a2，可得1﹣e﹣e2＜0，即e2+e﹣1＞0，解之得e＜或e＞，结合椭圆的离心率e∈（0，1），可得＜e＜1，即椭圆离心率的取值范围为（，1）．故答案为（，1）．【题组四弦长及中点弦】1．（2021·山东济宁·高三）已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】设点、，由中点坐标公式可得，所以，因为，两式作差得，即，即，所以，，因此，直线的方程为，即.故选：B.2．（2021·珠海市第二中学）已知椭圆：的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，，由题意得，，两式相减，得，因为为线段的中点，且直线的倾斜角为，所以．设，则，过作轴，垂足为，则，，由题易知位于第二象限，所以，所以，得，所以，所以．故选：B3．（2021·广西南宁三中高三（理））已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为（）A． B． C． D．1【答案】A【解析】设，，则的中点坐标为，由题意可得，，将，的坐标的代入椭圆的方程：，作差可得，所以，又因为离心率，，所以，所以，即直线的斜率为，故选：A.4．（2021·全国）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，，则，两式相减得：，∴===，又==，∴，联立，得.∴椭圆方程为.故选：D．5．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆的离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1（O为坐标原点），则＝__．【答案】2【解析】∵椭圆的离心率为，∴，则，得．又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条边所在直线的斜率分别为k1、k2，k3，且k1、k2，k3均不为0．O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则，，两式作差得，则，即，同理可得，．∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2．故答案为：26．（2021·陕西宝鸡·高三月考（文））是圆的一条直径，若椭圆经过两点，则直线方程为______．【答案】【解析】是圆的直径，中点为，设，，则，两式作差得：，，所在直线方程为：，即.故答案为：.7．（2021·全国高三专题练习（文））椭圆内，过点且被该点平分的弦所在的直线方程为______．【答案】【解析】设直线与椭圆的两个交点为，因为在椭圆上，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以的方程为：，即，故答案为：.【题组五离心率】1．（2021·全国高三）已知椭圆：（）的半截距为，是上异于短轴端点的一点，若点的坐标为，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】将点的坐标代入的方程得，所以，整理得．又，所以，所以，即，所以椭圆的离心率，故选：D．2．（2021·甘肃高三开学考试（理））已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且．若，则C的离心率的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，延长交椭圆另一交点为，由再结合椭圆的对称性，易知，所以，由椭圆过焦点的弦通径最短，所以当垂直轴时，最短，所以，所以，解得.故选：C3．（2021·河北石家庄二中高三开学考试）椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆M上任一点，且最大值取值范围为（其中），则椭圆M的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由基本不等式及椭圆定义可知，的最大值为，由题意知，，.故选：A4．（2021·贵州贵阳·高三月考（文））设，是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】如图所示，点为直线上一点，是底角为的等腰三角形，可得，所以，整理得，所以，所以椭圆的离心率为.故选B．5．（2021·陕西咸阳市·高三开学考试（文））已知椭圆为C的左､右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（）A． B． C． D．3【答案】C【解析】由题意可得，的内心到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，.又，，即，解得或（舍），.又，解得.故选：C.6．（2021·乐清市知临中学高三月考）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，它们的离心率分别为，是它们的一个公共点，且.若，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦点为，不妨设在第一象限，则，解得，中由余弦定理得，即，所以，，，又，，所以，，所以．故选：B．7．（2021·河南高三月考（理））已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动，若的最大值为，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，，，直线为，设直线，的倾斜角分别为，，由椭圆的对称性，不妨设为第二象限的点，即，，则，.，，当且仅当，即时取等号，又得最大值为，，即，整理得，故椭圆的的离心率是.故选：C.8．（2021·江西新余·高三（理））已知是椭圆的左焦点，椭圆上一点关于原点的对称点为，若的周长为．则离心率（）A． B． C． D．【答案】A【解析】P与Q关于原点对称，则Q(-2，-1)，，又三角形PQF的周长为，设圆的右焦点为M，则由椭圆的性质可得，，得，将点P代入椭园方程可得：，解得，，则离心率，故选A．9．（2021·广东广州市·高三月考）已知椭圆的左焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A，B两点（点B在x轴上方），且，则椭圆的离心率为___________.【答案】【解析】设，由题意知，的斜率为，则直线方程为，设，联立直线和椭圆的方程得，整理得，则，，且，可得，则，，所以，可得，所以故答案为：．10．（2021·全国高三月考（文））若椭圆上有两个动点，满足（为坐标原点），过点作，垂足的轨迹为圆，则称该圆为的内准圆.已知的内准圆方程为，则的离心率为___________.【答案】【解析】当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立方程，化简整理得，则，所以，由可知，即，整理得.又原点到直线的距离，即，由题意得，解得，.当直线的斜率不存在时，由得，所以，解得.故答案为：.11．（2021·广东高三开学考试）已知椭圆C：的左右焦点为，过C上一点P作直线的垂线，垂足为Q.若四边形为菱形，则椭圆C的离心率为___________.【答案】【解析】由四边形为菱形，得，设点的坐标为，则，故点的坐标为，代入椭圆方程得1，即，化简得，2c），故或0，即或，解得或（舍去）.故答案为：12．（2021·江苏省如皋中学高三开学考试）焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为___________.【答案】【解析】由题意，如图：由椭圆的性质可知，AB＝2c，AC＝BC＝a，OC＝b，，所以，故椭圆离心率．故答案为：.【题组六椭圆的综合运用】1．（2021·全国高三月考（理））已知椭圆的离心率为，直线与圆相切，则实数的值是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意知，，则，∴直线，即．将圆的方程化为标准方程：．由直线与圆相切可得，解得．故选：C2．（2021·浙江省桐庐中学高三开学考试）双曲线与椭圆有两个公共焦点，，其中在轴左侧且该双曲线与直线相切，则的值是