2022年高考数学一轮复习 平面向量的应用（精讲）（解析版）

10.3平面向量的应用（精讲）常见考法常见考法考法一平面向量与四心【例1】（1）（2021·河南（文））已知的三个内角分别为，，，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的（）A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心（2）（2021·山东莱州一中高三开学考试）是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（）A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心【答案】（1）A（2）D【解析】（1）在中，令线段BC的中点为M，由正弦定理得：，由得：，即，而，，则，于是得与同向共线，而它们有公共起点，即动点P的轨迹是射线AM(除A点外)，又重心在线段AM上，所以动点的轨迹一定经过的重心.故选：A（2）令为的中点，则，于是有，点､､共线，即点的轨迹通过三角形的重心.故选：D【一隅三反】1．（2021·全国高三专题练习）在中，设，则动点的轨迹必通过的（）A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心【答案】D【解析】设的中点是，，即，所以，所以动点在线段的中垂线上，所以动点的轨迹必通过的外心，故选：D.2．（2021·全国高三（理））已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.△ABC内一点M满足：，则M一定为△ABC的（）A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心【答案】D【解析】由题意可设，，，其中，，分别为，，方向上的单位向量，∵，∴，则，∴=.∴M在∠BAC的角分线上，同理M在∠ABC与∠ACB的角分线上.∴M为△ABC的内心.故选：D.3．（2021·全国（文））在中，若，则下列说法正确的是（）A．是的外心 B．是的内心C．是的重心. D．是的垂心【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴，同理由，得到，∴点是的三条高的交点.故选：D4．（2021·营口市第二高级中学高三月考）已知△ABC的重心为O，则向量（）A． B．C． D．【答案】C【解析】设分别是的中点，由于是三角形的重心，所以.故选：C考法二平面向量与三角函数【例2】（2021·北京市第十二中学高三月考）如图，角均以为始边，终边与单位圆分别交于，则（）

A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意角均以为始边，终边与单位圆分别交于，则，则.故选：C【一隅三反】1．（2021·河北武强中学高三月考）已知向量，，，则的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为向量，，，即故选：A2．（2021·河南洛阳·（理））在中，内角，，所对的边分别为，，，且，设是的中点，若，则面积的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】所以，由余弦定理可知：，因此有，因为是的中点，所以有，平方得：，因为，所以，，故选：A.3．（2021·全国高三月考）（多选）已知点为平面直角坐标系原点，角的终边分别与以为圆心的单位圆交于两点，若为第四象限角，且，则（）A．B．当时，C．最大值为D．当时，【答案】CD【解析】易知，，故A错误；当时，，，故B错误；由于，故过原点时，最大且最大值为，故C正确；因为，且为第四象限角，所以.，，即，，故D正确.故选：.考法三平面向量与数列【例3】（2021·全国高三专题练习）已知等差数列的前项和为，设，，，为坐标平面上三点，为坐标原点，若向量与在向量方向上的投影相同，则为（）A． B． C．2017 D．0【答案】D【解析】，，，，向量与在向量方向上的投影相同，，，即，，，故选：D．【一隅三反】1．（2021·全国高三专题练习）如图，已知点为的边上一点，，为边的一列点，满足，其中实数列中，，则的通项公式为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，为边的一列点，，化为：，即，数列是等比数列，首项为2，公比为3．，即，故选：D2．（2021·全国高三专题练习）已知等差数列的前项和为，若，且、、三点共线（该直线不过点，则等于（）A．1006 B．2012 C． D．【答案】A【解析】，且、、三点共线（该直线不过点，；数列是等差数列，；．故选：A3．（2021·全国高三专题练习）已知直线上有三点，，，为外一点，又等差数列的前项和为，若，则（）A． B．3 C． D．【答案】A【解析】点、、是直线上不同的三点，存在非零实数，使；若，，；；数列是等差数列，；．故选：A．考法四平面向量与其他知识【例4】（2021·五华·云南师大附中高三月考（文））双曲线C:，O是坐标原点，F是双曲线C的右焦点，离心率是e，已知A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，则的值为（）A．0 B．–e C．2 D．【答案】A【解析】据题意渐近线方程是，则点的坐标是，点的坐标是，则，故选：A．【一隅三反】1．（2021·安徽六安一中高三（文））过双曲线的右焦点作轴的垂线，与双曲线及其一条渐近线在第一象限分别交于两点，且为坐标原点），则该双曲线的离心率是()A．2. B． C． D．【答案】D【解析】设双曲线的半焦距为，由得到，由得到，而，，即点A是线段FB的中点，所以，所以.故选：D2．（2021·湖南雅礼中学高三）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，所以，，设直线的倾斜角为，则为钝角，，结合解得，设，则，，将点坐标代入双曲线方程得，而，所以，化简得，，，，，所以双曲线的渐近线方程为.故选：A3．（2021·全国高三专题练习（理））半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，与交于点，由得：，所以四边形是菱形，且，则，，由图知，，而，∴，同理，，而，∴，∴，∵点是圆内一点，则，∴，故选：A.4．（2021·湖南天心·长郡中学高三月考）在中，D为三角形所在平面内一点，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，设AD交BC于E，且，由B,E,C三点共线可得：，∴，∴.设，则，∴.又，∴，∴.故选：B.考法五最值（范围）【例5】（2021·北京高三专题练习）若均为单位向量，且，则的值可能为（）A． B．3 C． D．2【答案】A【解析】因为均为单位向量，且，所以，所以，而，所以选项不正确，故选：A【一隅三反】1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））已知单位向量、满足，则的最小值为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为、是单位向量，由可得，则，所以，，即，可得，所以，，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故选：C.2．（2021·浙江高三开学考试）已知圆的半径为2，A为圆内一点，，B，C为圆上任意两点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，连接，，设为和的夹角.则且，由，当时，有最小值；当时，有最大值为10.故选：C.3．（2021·全国）已知是边长为2的正三角形，点为所在平面内的一点，且，则长度的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，以的中点为原点，，所在直线分别为轴，轴建立直角坐标系，即，，，则，.设，则，，，所以.设，，解得，，则，