2022年高考数学一轮复习 等差数列（精讲）（解析版）

6.1等差数列（精讲）思维导图思维导图常见考法常见考法考点一等差数列的基本运算【例1】（1）（2021·河南高三）在等差数列中，若，，则的公差为（）A．-2 B．2 C．-3 D．3（2）（2021·全国高三其他模拟）已知等差数列的前项和为，，，则（）．A．10 B．11 C．12 D．13（3）（2021·重庆一中高三月考）记为等差数列的前项和．已知，，则（）A． B． C． D．【答案】（1）B（2）B（3）A【解析】（1）设公差为，因为，所以，从而.故选：B.（2）设等差数列的公差为，由，，得，解得，所以.故选:B．（3）由又,故选：A.【一隅三反】1．（2021·四川遂宁市）已知等差数列满足，则它的前8项的和（）A．70 B． C． D．105【答案】C【解析】设等差数列的首项为，公差为．由，得，解得，．所以．故选：．2．（2021·河南高三）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】由，得.又，所以.故选：B3．（2021·全国高三）等差数列中，前n项和为，且，则（）A．17 B．25 C．5 D．81【答案】B【解析】设等差数列的公差为，则，解得，所以.故选：B4．（2021·全国高三三模）数列为等比数列，，公比为，且满足，，成等差数列，则_______．【答案】【解析】由题意知，所以，即，且由知，所以．故答案为：3考点二等差数列的性质【例2】（1）（2021·贵州贵阳市）已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，，则S5=（）A．2 B．14 C．50 D．10（2）（2021·山西太原市）在等差数列中，，则（）A． B． C． D．（3）（2021·黑龙江哈尔滨市）已知数列是等差数列，若，，则（）A．5 B．4 C．9 D．7（4）（2021·黑龙江大庆市）设等差数列的前项和为，其中，，则=（）A．9 B．18 C．27 D．36（5）（2021·云南高三二模）已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（）A． B． C． D．【答案】（1）D（2）A（3）A（4）D（5）A【解析】（1）由得所以a3=2所以，故选：D（2），所以，，设等差数列的公差为，则.故选：A.（3）设等差数列的公差为，则，，故，故选：A.（4）根据等差数列的性质，成等差数列，所以，成等差数列，进而得到，所以，故选：D（5）∵，∴，故选：A【一隅三反】1．（2021·山西临汾市）设等差数列的前项和为，若，则（）A．28 B．34 C．40 D．44【答案】D【解析】因为，所以由，可得所以，所以，故选：D2．（2021·河南洛阳市）已知等差数列的前项和为，若，，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由等差数列的前项和性质，得：，，也成等差数列，即，又因，，则解得，因此.故选：C.3．（2021·林芝市第二高级中学）已知等差数列的前项和为，若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据等差数列公式及性质可得，所以，所以.故选：D4．（2021·江苏高三专题练习）已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】数列{an}，{bn}均为等差数列，由等差数列下标和的性质得.故选：B5．（2021·全国高三专题练习）已知等差数列，的前项和分别为和，且，则A． B． C． D．【答案】A【解析】因为等差数列，的前项和分别为和，且，所以可设，，所以，，所以.故选：A考法三等差数列的最值问题【例3】（1）（2021·吉林长春市）等差数列的前项和为，，则取最大值时的为（）A． B． C． D．（2）（2021·浙江高三）在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，则当时，的最小值为A． B． C． D．【答案】（1）A（2）C【解析】由题可知，则，又，则，则因此，故取最大值时的n值为7故选：A.（2）∵数列是等差数列，它的前项和有最小值∴公差，首项，为递增数列∵∴，由等差数列的性质知：，.∵，∴当时，的最小值为16．故选C.【一隅三反】1．（2021·新疆乌鲁木齐市）等差数列中，是数列的前项和，则最大时，（）A．10 B．11 C．10或11 D．11或12【答案】C【解析】设等差数列的公差为，则，即，∴，由，可得，∴前10或11项和最大，故选：C2．（2021·全国高三专题练习）若公差为负的等差数列中的两项是方程的两个根，设数列的前项和为，则当最大时，的值为（）A．5 B．9或10 C．10 D．9【答案】D【解析】设等差数列的公差为，因为是方程的两个根，所以，解得，.因为，取整数时，最大.故选:D.3．（2021·通辽新城第一中学高三）已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（）A． B．C． D．与均为的最小值【答案】C【解析】对于A选项，由可得，A选项正确；对于C选项，由可得，，C选项错误；对于D选项，由可得，且，，，所以，当且时，，且，则与均为的最小值，D选项正确；对于B选项，，，当时，，所以，，B选项正确.故选：C.4．（2021·中央民族大学附属中学高三三模）等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，，，则数列的最大项为.对于A选项，，当时，且数列为递增数列，此时无最大项，A选项不满足条件；对于B选项，由，可得，故数列中最大，B选项不满足条件；对于C选项，，数列为递增数列且当时，，此时无最大项，C选项不满足条件；对于D选项，由，可得，故数列中最大，D选项满足条件.故选：D.考法四等差数列的证明与判断【例4】（2021·全国高考真题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.【答案】证明见解析.【解析】∵数列是等差数列，设公差为∴，∴，∴当时，当时，，满足，∴的通项公式为，∴∴是等差数列.【一隅三反】1．（2021·黑龙江大庆市）在数列中，，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列，并求的通项公式；【答案】证明见解析，；【解析】由题意知是1与的等差中项，可得，可得，则，可得，又由，可得，所以数列是首项和公差均为1的等差数列，可得，解得，即的通项公式.2．（2021·浙江温州市·高三三模）已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式；【答案】证明见解析；【解析】证明：由题知，即有，所以是以为首项，公差为2的等差数列，即，当时，，当时，也符合题意，所以，又，所以：；3．（2021·全国高考真题）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题设可得又，，故，即，即所以为等差数列，故.（2）设的前项和为，则，因为，所以考法五实际生活中的等差数列【例5】（2021·辽宁葫芦岛市·高三二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男､子､伯､侯､公.现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分个(为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设男､子､伯､侯､公各分得个橘子，∴由题意有：，即，又且为正整数，∴，若“子”恰好分得13个橘子，则，即.∴“子”恰好分得13个橘子的概率为.故选：B【一隅三反】1．（2021·江苏南通市）《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算､各种等差数列问题的解决､某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】C【解析】设每日织布增长x尺，则，即，解得.故选：C.2．（2021·全国高三）我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（）A．30.8贯 B．39.2贯 C．47.6贯 D．64.4贯【答案】A【解析】依次记甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数为a1，a2，a3，a4，a5，由数列{an}为等差数列，可记公差为d，依题意得：，解得a1=64.4，d=﹣8.4，所以a5=64.4﹣33.6=30.8，即戊所得钱数为30.8贯.故选：A.3．（2021·吉林高三月考（文））中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“九百九十六斤棉，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”其意思为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女作旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，使孝顺子女的美德外传，试求各人应分得多少斤．”则第3个子女分得棉花（）A．65斤 B．82斤 C．99斤 D．106斤【答案】C【解析】设该等差数列为，由题意可得：，，则，解得，所以，即第3个子女分得棉花99斤．故选：C．4．（2021·山西高三三模（文））《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与弩马发长安至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里．日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．”意思是：今有良马与弩马从长安出发到齐国，齐国