随机利率模型

第7章随机利率模型

【考试要求】7.1引言

相关概念利率模型的评价标准均衡模型与无套利模型

7.2

Ho-Lee模型

Ho-Lee模型

Ho-Lee模型的应用

7.3连续时间随机利率模型下零息债券的定价

随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程利率风险的市场价格零息债券价格满足的偏微分方程基于鞅方法的零息债券定价公式

第一页，共四十四页。

7.4

Vasicek模型

Vasicek模型及模型求解

Vasicek模型下的债券的定价

7.5

CIR模型

CIR模型及模型求解

CIR模型下债券的定价

7.6单因素模型的局限性

单因素模型的局限多因素模型简介第二页，共四十四页。

【要点详解】

§7.1引言

1．相关概念

（1）银行账户过程定义为t时刻银行账户过程(的价值)。假设β(0)=1，且银行账户满足以下的微分方程：

其中是瞬时利率。由上式可以进一步的推出：

说明：如果瞬时利率rt是随机的，银行账户过程也是随机的。（2）随机折现因子①在t时刻到T时刻的随机折现因子D(t，T)是：②随机折现因子的含义

假设在0时刻向银行账户存入A单位货币，则在t>0时刻银行账户将有单位货币。若希望在T(T>t)时银行账户有1单位货币，即，需在0时刻投入单位的货币，这笔金额在t时刻银行账户的价值为：所以，T时刻的1单位货币，在t时刻的价值为。第三页，共四十四页。（3）连续复利收益率

用B(t，T)表示T时刻到期的零息票债券1单位面值在t时刻的价格。连续复利收益率R(t，T)定义为：由这个等式可以推出：

R(t，T)是零息债券在[t，T]上的平均收益率。

说明：尽管B(t，T)与D(t，T)二者都是从T到t的贴现因子，但B(t，T)在t时刻是一个数，而D(t，T)则可能是一个随机变量。

（4）远期单利和远期复利

t时刻的期限为[T，S](T<S)的远期单利的定义为：

t时刻的期限为[T，S](T<S)的远期复利的定义为：

说明：和是基于t时刻的信息对未来的期限为[T，S]的即期单利和即期复利的预期值。第四页，共四十四页。（5）远期瞬时利率

远期瞬时利率的定义为：由定义可知。由上面的等式可以推出，零息债券的价格可表示为：这个式子结合可以推出：

说明：当期限[T，S]无限小时单利和复利相等。第五页，共四十四页。

【例题7.1】零息债券的远期利率由表达式f(0，T)=0.05+0.01T给出，其中T为年数。面值为100美元，到期以面值赎回，则到期日为5年的零息债券的价格为（）。

A．94.65

B．88.69

C．68.73

D．36.79

E．25.36

【答案】C

【解析】到期日为5年的零息债券的价格为：

（美元）第六页，共四十四页。2．利率模型的评价标准

利率模型能够满足一些优良的性质，这些优良的性质包括：（1）模型应该是无套利的。即利率应该是非负的。（2）利率应该具有均值回复特征。即利率围绕某一均值波动，如利率超过均值，则在未来有下降的趋势；反之，如低于均值，则未来有上升的趋势。（3）被用于计算债券以及利率衍生品价格时应较为简单。（4）应该是动态的，能充分反映市场利率的变化。（5）参数容易估计，且模型能较好的拟合历史数据。（6）有明显的经济意义。

说明：许多常用的随机利率模型只具有上面的部分性质，但在实际应用中往往忽略模型的某些缺陷。第七页，共四十四页。

3．均衡模型与无套利模型

（1）均衡利率模型（绝对定价模型）可以对债券和利率衍生品定价。由于货币市场和资本市场的复杂性，单因素均衡模型推导出来的收益率曲线一般不能精确地拟合实际的收益率曲线，所以实际中也常常采用多因素模型。

单因素模型：是指模型中只涉及一个布朗运动，或者说模型只有一个风险源；

多因素模型：是指涉及多个布朗运动，因而对应了多个风险源。

说明：在均衡模型中，远期利率是由随机模型预测得到；（2）无套利模型（相对定价模型或拟合模型）基本思想是基于已知的市场债券或其他利率衍生品的价格构造收益率曲线，再利用得到的收益率曲线对其他的利率衍生品定价。基于无套利模型得到的价格是一种相对价格，即相对于已知的价格的无套利价格。

说明：在无套利模型中，远期利率是通过债券或某些利率衍生品的价格得到。第八页，共四十四页。

§7.2

Ho-Lee模型

1．Ho-Lee模型（假定市场是完备的、考虑离散时间）

该模型假定初始利率期限结构是已知的，使用了当前可观测的期限结构所包含的全部信息来给衍生证券定价，以保证不出现套利机会，是无套利模型。

sn

：第n期市场的状态空间；（贴现函数）：第n期、状态出现、到期时刻为T的零息票债券的价格。在任意时刻n、状态i，利率期限结构由一系列贴现函数来完全描述。其中贴现函数满足：

第一个条件表明零息票债券的价格非负，第二个条件表明到期时零息票债券的价格为1，第三个条件表明期限无限长的零息债券的价格为零。

第九页，共四十四页。（1）Ho-Lee模型的贴现函数在二叉树模型下的变动情况

Ho-Lee模型的贴现函数在二叉树模型下的变动情况为：在第n期，贴现函数有n+1中可能状态。贴现函数的每个状态都都独立于通向该节点的路径，仅由初始点到该节点之间的向上移动和向下移动的次数决定。在该二叉树模型中，每个节点对应一组折现率，因此每个节点都对应一组与之关联的各种零息债券的价格。

图7-1零息债券价格的二叉树模型（2）极限情况下，Ho-Lee模型下的短期利率

在极限情况下，Ho-Lee模型下的短期利率满足：

其中，为时间t的函数，描述了变动的趋势；为一常数，描述了利率的波动幅度；为标准布朗运动。第十页，共四十四页。

2．Ho-Lee模型的应用

由可得，。

在计算债券价格时，通常将离散化为：其中随机变量ε在u出现时取+1，在d出现时取-1，u和d分别代表向上移动和向下移动。第十一页，共四十四页。

【例题7.2】表7-1为一组面值为100元的零息票债券的数据，设利率变动符合Ho-Lee模型，其中，。

表7-1市场观测数据

期限(年)零息利率(％)零息债券价格(元)l5.8394.4926.3088.50构建Ho-Lee模型下利率的二叉树及债券价格的二叉树。

解：债券价格的树形结构如图7-2所示，其中2年期的零息票债券在一年后其价格以0．5的概率变为Pu

，或者以0.5的概率变为Pd

。

图7-2基于Ho-Lee模型的定价二叉树(2年期零息票债券)

第十二页，共四十四页。

该价格是受相应利率变动影响的，与其相对应的短期利率的结构如图7-3所示。

图7-3基于Ho-Lee模型的短期利率树形结构

首先可以得到Pu和Pd的表达式分别为：再由债券价格可得：解该方程得。第十三页，共四十四页。也可得到，。

债券的价格二叉树、利率的二叉树分别如图7-4和图7-5所示：

图7-4基于Ho-Lee模型的债券价格二叉树

图7-5基于Ho-Lee模型的短期利率树第十四页，共四十四页。

【例题7.3】图7-6给出了一利率二叉树图，假设所有分支上的概率都是1／2，用倒向法计算两年期零息债券的价格为（）。

图7-6

A．0.8865B．0.8925C．0.9071D．0.9123E．0.9257

【答案】C

【解析】两年期零息债券的价格为：

第十五页，共四十四页。§7.3连续时间随机利率模型下零息债券的定价1．随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程

（1）随机利率模型的一般形式考虑单因素模型。关于短期利率rt的随机微分方程的一般形式为：其中，被称为漂移项，被称为波动项，为客观概率测度P下的标准布朗运动。

（2）零息债券价格满足的随机微分方程由于零息债券价格B(t，T)与rt有关，则可以把B(t，T)视为关于t，T，rt的函数，即：

方法一：对B(t，T，rt)微分可得：则零息债券满足的随机微分方程：

方法二：直接对B(t，T，rt)应用引理，也可以得到上面的随机微分方程。第十六页，共四十四页。

2．利率风险的市场价格

用两种不同到期日的零息债券(即T1≠T2)构造无风险资产组合，设组合为：（7.1）选择适当的头寸，使得的风险为零，即（7.2）是两种零息债券对利率风险的敏感度之比，也是用到期日为T2的零息债券对到期日为T1的零息债券做套期保值的比率。对微分可得：

第十七页，共四十四页。由可得：故组合是无风险的，因此其收益率与无风险收益率相等，即（7.3）将的表达式代入(7.3)式，可得：第十八页，共四十四页。由可得：由T1，T2的任意性可知，数值（7.4）与期限T无关，仅与t、rt有关，记为λt。第十九页，共四十四页。

下面我们探究λt在实际中的含义。

T时刻到期的债券价格在客观概率测度下的随机微分方程重新记为：其中，和分别为零息债券的瞬时收益率和瞬时波动率。由可以得到：

因此可以看出，λt的含义是承担单位风险获得的超额收益，即利率风险的市场价格。第二十页，共四十四页。

3．零息债券价格满足的偏微分方程

模型推导：由可得零息债券价格满足的偏微分方程：整理上式，可得：（7.5）边界条件为：B(T，T)=1第二十一页，共四十四页。

模型求解方法：可以利用有限差分方法或者蒙特卡罗模拟法对上式进行求解，因此可对任意特定的随机利率模型求出上式的数值解。利用Feynman-Kac公式，债券价格满足的微分方程的解为：其中Q是风险中性概率测度，表示在t时刻的信息集。一般的，对于一个到期日为T的利率衍生品，如果其到期支付为f(T)，则该衍生品t时刻的价格为：第二十二页，共四十四页。

4．基于鞅方法的零息债券定价公式

在风险中性概率测度Q下，任何资产的期望收益率均为无风险收益率，因此债券价格满足的随机微分方程变为：根据零息债券满足的随机微分方程可得由得：说明：这里需要假定Girsanov定理的条件成立。第二十三页，共四十四页。可通过测度变换将贴现的债券价格过程转化为鞅。令其中βt是银行账户过程，显然Z(T，T)=βT-1。由引理可得：（7.6）因此Z(t，T)是一个Q鞅，所以，将Z(t，T)和Z(T，T)的表达式代入(7.6)式可得：

第二十四页，共四十四页。

§7.4Vasicek模型

短期利率rt最著名的两个模型是Vasicek模型和CIR模型。这两个模型都是时间齐性，即rt未来的变化仅依赖于rt的当前值，而不是当前的时刻t。

1．Vasicek模型及模型求解

（1）客观概率测度下的Vasicek模型①模型的形式该模型形式为：（7.7）

其中α、μ、σ为正的常数。参数α描述了利率回复的速度，参数μ为短期利率的长期水平。它是一个满足均值回复特征的随机利率模型。由模型的形式知：当rt<μ时，漂移项的符号为正，此时rt位于μ下方，且总体是向上移动的；当rt>μ时，漂移项的符号为负，此时rt位于μ的上方，总体是向下移动的。因此在Vasicek模型中，rt是以μ回复参数的。满足（7.7）的过程称为Ornstein-Uhlenbeck过程，因此在Vasicek模型下短期利率是Ornstein-Uhlen-beck过程。第二十五页，共四十四页。②Vasicek模型的解

定理7-1

随机微分方程的解为：

证明：考虑过程，由引理可知：等式两边取积分，得到：

故从而该定理得证。由随机分析的基本知识可知，积分服从均值为0，方差为的正态分布，因此rt服从均值为，方差为的正态分布。基于t时刻的信息集Ft，rT(T>t)的条件分布服从正态分布：

第二十六页，共四十四页。（2）在风险中性概率测度下的Vasicek模型

在风险中性概率测度下的Vasicek模型形式为：其中，风险的市场价格λ为常数。与客观概率测度下的Vasicek模型相比，风险中性概率测度下的长期均值发生了变化，方程的形式和波动率σ都没有变化。

说明：尽管Vasicek模型中利率可以正的概率取负值，该模型仍得到了广泛的应用。第二十七页，共四十四页。

2．Vasicek模型下债券的定价

定理7-2

Vasicek模型下零息债券的价格为：

其中，，

证明：假设债券价格的形式为：（7.8）其中，为待定函数。在中，μ(t，rt)=α(μ—rt)，σ(t，rt)=σ，λ(t，rt)=λ。代入可得到Vasicek模型下的关于债券价格的偏微分方程：

第二十八页，共四十四页。由可得下列等式：所以

可以重写成：因为上述等式对于任意的r都是成立的，所以函数A、b可以通过解下面两个独立的微分方程得到：（7.9）

（7.10）第二十九页，共四十四页。又因P(T，T，r)=1，即：，对于任意的rt都是成立的，则A(0)=1，b(0)=0，这是式(7.9)和(7.10)的边界条件。解方程可得：所以债券价格公式为：其中

。定理得证。第三十页，共四十四页。设。由定理7-2及可知：因此，当T→∞时R(t，T)→R(t，∞)，其中R(t，∞)为期限无限大时零息债券的收益率。

说明：

Vasicek模型的不足：该模型下的利率可能以正的概率出现负值。①考虑的时间范围较短时，负利率出现的概率可能很小，此时影响不大；②当考虑的期限很长时，负利率出现的概率及其精确程度等问题就会变得愈发显著而不能忽略。第三十一页，共四十四页。

【例题7.4】假设在Vasicek模型中，=0.15，=0.08，初始的短期利率为8.1%短期利率在短时间内变化的初始标准差为0.023，由该模型计算的5年期零息债券的价格为（）。[2011年春季真题]A．0.6638B．0.6681C．0.6723D．0.6782E．0.6837

【答案】C

【解析】由此外，利率风险的市场价格。于是

第三十二页，共四十四页。

【例题7.5】假设在Vasicek模型中的参数为=0.1和=0.1。在此种模型下，初始短期利率均为10％，在一个短时间△t内，短期利率变化的初始标准差为0.02。则所给出的10年期零息债券的价格为（）。A．0.38046B．0.36025C．0.35698D．0.25037E．0.24019

【答案】A

【解析】在Vasicek模型中，=0.1和=0.1和σ=0.02，得到：

第三十三页，共四十四页。

【例题7.6】证明Vasicek模型下的瞬时远期利率为：（7.11）其中解：由定理7-2及式可得：由，的定义可得：及将和代入可得(7.11)式。第三十四页，共四十四页。

§7.5

CIR模型1．CIR模型及模型求解

CIR模型：在一般均衡条件下的经济环境中考虑了利率的期限结构问题的模型。单因素CIR模型的形式为：（7.12）其中α，μ，σ为正的常数。满足(7.12)式的过程称为平方根过程。

说明：①CIR模型仍是一个具有均值回复特性的模型。短期利率rt围绕长期均值μ波动；②利率回复到均值的速度由模型中的参数α描述；③CIR模型中它的波动项增加了rt的平方根，保证了利率rt不会出现负值。第三十五页，共四十四页。通过求解可以得到下面的定理：

定理7-3用表示自由度为a，非中心参数为b的非中心分布的密度函数。在CIR模型下，基于t时刻的短期利率rt，未来T(T>t)时刻的rT的条件分布的密度函数为：其中

引理7.1

设是一个过程，称为Dynkin算子，则

第三十六页，共四十四页。定理7-4

CIR模型下，基于t时刻的短期利率rt，未来T(T>t)时刻rT的条件期望为：条件方差为：特别的，取t=0，可得对任意的t>0，有（7.13）（7.14）

第三十七页，共四十四页。

证明：仅证式(7.13)和(7.14)，前两个等式的证明是类似的。

的证明：

对两边取期望，因E(dWt)=0，所以，由引理7.1可得：（7.15）上式的边界条件为E(r0)=r0。设则(7.15)式变为：对上式两边从0到t积分，并将代入可得：其中C为常数。由边界条件可得：C=r0-μ。第三十八页，共四十四页。

的证明：

对rt2用引理，可得：由引理7.1可得：将式

代入上式将得到一个关于E(rt2)的一阶常微分方程，解方程可得：结合式

和上式即可得到

说明：由定理7-4可知，当t→∞时，rt→μ。第三十九页，共四十四页。

2．