大学物理第10章静电学B林川

大学物理学第10章静电学林川物理电子学院邮箱：linc@§10－5静电场中的导体导体的静电平衡条件静电平衡导体的电荷分布静电平衡导体表面附近的场强有导体存在时静电场的分布传导电流电动势、稳恒电场导体的静电平衡条件不加电场时的导体含有大量自由运动的电子（自由电子）自由电子无规则运动，没有宏观定向运动。导体内正负电荷均匀分布，整个导体呈电中性状态。静电场中的导体导体中自由电子在外部电场作用下沿电场相反方向运动，导体电荷

分布发生改变。产生静电感应的导体改变外部电场分布。外部电场与导体相互作用，相互影响。电荷与电场分布的变化一直进行到导体达到静电平衡状态为止。导体的静电平衡条件静电平衡状态

导体内部和表面上任何一部分都没有宏观电荷运动。导体静电平衡的条件导体内部：电场强度处处为零。导体表面：紧邻处的电场强度垂直于导体表面。电势角度：处于静电平衡的导体是等势体，其表面是等势面。静电平衡导体的电荷分布理论依据静电平衡条件电荷守恒高斯定理结论实心导体内部各处净电荷为零，电荷只分布在导体表面上。孤立导体表面曲率越大的地方，面电荷密度也越大。如果有空腔,且空腔中无电荷,则电荷只能分布在外表面。如果有空腔,且空腔中有电荷,则在内外表面都分布有电荷！带空腔静电平衡导体的电场分布外电荷和外表面电荷在导体外表面以内的所有区域的合场为零。导体空腔内的电场只计内表面电荷、腔内电荷的电场。内表面电荷分布只与内表面形状和腔内电荷有关，而与外界和外表面无关。腔内电荷与内表面电荷在内表面以外的任何地方的合场强为零。导体外的电场只计外表面电荷、外界电荷的电场即可。外表面电荷分布只与外表面形状和外界电荷有关，而与腔内电荷的位置无关。应用举例：静电屏蔽(腔内、腔外的场互不影响)静电平衡导体附近的场强推导：利用高斯定理（

为导体外法线方向）（为导体表面电荷面密度）结论：

处于静电平衡的导体表面附近的场强与该处的电荷面密度成正比。+++++说明：

为导体表面附近的场强，是所有电荷产生的合场强。尖端放电原理导体表面上的电荷面密度与曲率成正比。尖端附近电场特别强，引起附近空气分子电离与导体电荷异号的带电粒子被中和，同号带电粒子被排斥“喷射”。应用

高压设备中，导体表面应当尽量光滑。火花放电设备、避雷针应做成尖端形状。有导体存在时静电场、电势、电荷的分布求电荷分布的原理依据电荷守恒静电平衡条件a)导体内部合场强为零

b)导体表面附近场强与面密度成正比，方向垂直于导体表面

c)导体为等势体高斯定理已知电势分布时，在一些情况下可根据电势求电荷分布。求电势分布的依据在已知电荷分布的条件下，可根据电势叠加原理求电势。若静电平衡状态下电场分布已知，可通过对电场的线积分求电势。(1+2)S=QA1234(3+4)S=QBP1点:P2点:ABdsP1P2例题7.1两平行金属板A、B，面积S，相距d，带电：QA，QB，求两板各表面上的电荷面密度及两板间的电势差(忽略金属板的边缘效应)。解题思路：未知变量：4个表面的电荷面密度。可利用条件：两个板电荷守恒；两个板内部电场为零求电势：电荷分布－>场强－>电势差无限大平面电场解上面四个式子得1234ABdsP1P2(相对面等量异号)(1+2)S=QA(3+4)S=QB两板间的电场：两板间的电势差为讨论：若QA=-QB(电容器带电时就是这样)，则1=4=0，1234ABdsP1P2已知导体球壳A带电量为Q

，导体球B带电量为q

(1)将A接地后再断开，电荷和电势的分布；解ArR1R2B-q(2)再将B接地，电荷和电势的分布。A接地时，内表面电荷为-q外表面电荷设为例求(1)解题思路：(1)先求A接地后的电荷分布。利用条件：静电平衡条件；电荷守恒；电荷分布与电势关系；接地导体电势为零A球接地后其电荷并不一定为零，需计算腔内电荷与内表面电荷在内表面以外的任何地方的合场强为零A球外表面电荷在内部产生的电势A与地断开后,

ArR1R2B-q电荷守恒A、B球面电荷在内部产生的电势和B球面电荷在内部产生的电势A球内表面电荷在内部产生的电势ArR1R2B-q设B上的电量为根据孤立导体电荷守恒(2)解题思路：先求B接地后新的电荷分布，再求电势。利用条件：静电平衡条件；电荷守恒；电荷分布与电势关系；接地导体电势为零注意：B球接地后其电荷并不一定为零。(2)再将B接地，电荷和电势的分布。B球球心处的电势ArR1R2B-qB球面、球壳A内表面、外表面电荷在B球内部产生的电势和腔内电荷与内表面电荷在内表面以外的任何地方的合场强为零解2q例题

金属球壳(R1<R2，带电q)，球心有一点电荷q，设无穷远为电势零点，求金属球壳的电势。oR1R2q.r-q方法一：电荷分布－>电势q解题思路：方法1：电荷分布－>电势方法2：电荷分布－>场强－>电势利用条件：静电平衡条件；电荷守恒；电荷分布与电势关系；2qoR1R2q.r-q方法2：电荷分布－>场强－>电势：q腔内电荷与内表面电荷在内表面以外的任何地方的合场强为零解0r

R1:R2R3oR1q1-q1q1+q2.r例题

两同心金属球壳,内球(R1,

q1),外球壳(R2<R3,q2),求空间电势分布及两球的电势差。解题思路：方法1：电荷分布－>电势方法2：电荷分布－>场强－>电势利用条件：静电平衡条件；电荷守恒；电荷分布与电势关系；方法一：电荷分布－>电势R2r

R3:R2R3oR1q1-q1q1+q2rrR1r

R２:r

R3:腔内电荷与内表面电荷在内表面以外的任何地方的合场强为零0r

R1:R2R3oR1q1-q1q1+q2.r方法2：电荷分布－>场强－>电势：R2r

R3:R2R3oR1q1-q1q1+q2rrR1r

R２:两球的电势差：R2R3oR1q1-q1q1+q2r

R3:传导电流传导电流定义：静电平衡条件下，导体内部场强为零，导体中无电流。（在建立平衡过程的短暂时间内有电流）在导体两端维持一个恒定的电势差，导体中的自由电子将在此电场作用下做定向运动形成持续的电流，称为传导电流。电流强度：单位时间内通过某一横面的电量。传导电流电流密度矢量

j：大小等于流过垂直于电流方向的单位面积的电流强度；方向与该点正电荷的运动方向(即该点的场强方向)相同。流过任一有限面积S的电流强度为：故电流密度为

解在单位时间内通过dS的电荷即是柱体内的电荷，所以dSdI例题

设导体中载流子电量为q，单位体积内的载流子数为n，平均漂移速度为，求电流密度。是导体的电导率。dSdlUU+dUdI欧姆定律的微分形式欧姆定律:长度为l，面积为S的导体电阻:微分形式：长度为dl，面积为dS的电阻:欧姆定律的微分式稳恒电流与稳恒电场稳恒电流：导体内部各处的电流密度j都不随时间变化的电流叫做稳恒电流。电流连续性方程：导体内任取一封闭曲面S，根据电荷守恒定律，流出封闭曲面S的的电荷量等于封闭曲面内部电量的减少量。即电流连续性方程稳恒电流情况下稳恒电场：

在稳恒电流情况下，虽然存在电荷的定向运动，但导体内的电荷分布和导体内、外的电场都不随时间变化，这样的电场称为稳恒电场。电动势要在导体中产生稳恒电流，需要一种不断地把其它形式的能量转化为电能的装置，即电源。电源中的非静电力不断克服电场力做功，把已经流到负极的正电荷移到正极。可以认为电荷q在电源中所受的非静电力，是一种非静电性电场作用的结果。通常用电动势来量度电源中非静电力做功的能力。电动势如果非静电力存在于整个电流回路中，这时回路的总电动势为：式中，线积分遍及整个电流回路L.电源的电动势定义为：将单位正电荷从电源的负极经电源内部移以正极的过程中非静电力所做的功：为非静电性电场§10－6电介质电介质的极化介质中静电场的性质电介质的模型电介质的特点：理想电介质的分子、原子中，正负电荷束缚得很紧，没有自由运动的电荷，所以理想介质不导电，是绝缘体。电介质和导体的区别：导体：含自由电子，导电。电介质（绝缘体）：含束缚电荷，不导电。电介质分子模型：假设或认为正电荷集中于一点（正电荷中心），负电荷集中于另一点（负电荷中心）。电介质分子等效为一个偶极子（电矩为ql）。-q+ql电介质的模型电介质分类：无极分子电介质：正负电荷中心重合，分子固有电矩为零有极分子电介质：正负电荷中心不重合，分子固有电矩不为零无外电场时的电介质：两种电介质均不对外显示电性。-q+ql电矩：pe=ql外电场作用下电介质的极化无极分子电介质的极化：位移极化，产生感应电矩（正负电荷中心分开一段微小距离）。时，在外场的作用下，正负电荷中心相对位移，形成电偶极子，与同向.在电介质的左端面附近，出现一层负极化电荷在电介质的右端面附近，出现一层正极化电荷若介质均匀，内部无净余电荷，由产生附加电场，与反向介质中总场由于分子热运动，时，将转向方向有极分子电介质的极化：转向极化：分子固有电矩转向外电场方向。（也有感应电矩，但取向极化比感应极化效应强得多）,出现介质中总场,产生附加电场

结论：两类介质受外电场发生变化的微观机制虽然不同，但宏观效果却一样。电介质极化的结果是在介质内部或表面出现极化电荷（或称为束缚电荷）。削弱介质内的电场，实验指出：为介质的相对介电常数产生附加电场，电介质一旦被极化，其。可用的大小判定电极化程度的高低。但是与选定的体积元ΔV中的分子数有关。极化强度因此，电极化强度矢量定义为该点处单位体积内的分子电矩矢量和：其中ΔV宏观上应取得很小，以使得能代表空间某点附近介质的极化程度；而微观上却要求ΔV内包含大量的分子。在电介质表面上取一面元dS,

并在电介质中沿极化强度方向取一长度为l的斜柱体。假设电介质极化后，每个分子由相距为l的一对正负电荷构成，分子电偶极矩为极化强度及极化电荷的关系ldSP当偶子的负电荷处于该斜柱体微元内时，同一偶极子的正电荷就穿出界面dS外。极化强度及极化电荷的关系ldSP表面极化电荷面密度为：为介质的极化强度。为介质外表面法线方向。设单位体积分子数为n，则穿出dS外面的正电荷为：即电介质表面的极化电荷面密度等于该处极化强度的法向分量。极化强度及极化电荷的关系ldSP

对于闭合曲面S，则穿出界面S的电荷总量为：因为电介质是中性的,由电荷守恒定律可知，由于极化而留在封闭面S内的极化电荷总量应为自由电荷产生极化电荷产生电介质中的高斯定理应写为自由电荷极化电荷电介质的场强：E=Eo

+E电介质中的静电场令:而电位移矢量自由电荷极化电荷电介质中的高斯定理此式说明:通过任意封闭曲面的电位移通量等于该封闭曲面所包围的自由电荷的代数和。

说明：电位移的通量只与面内的自由电荷有关。D是空间中所有电荷（含自由电荷与极化电荷）共同产生的。

叫做电介质的介电常数

。对于各向同性的电介质，当外电场不太强时，有:电位移、电场、极化强度的关系其中，称为介质的极化率。为相对介电常量。R1R2oqr例题8.1

金属球(q，R1)，外有均匀同心电介质球壳(R1<R2，r

)，求:(1)空间的电场分布;(2)球心o点的电势;(3)介质球壳内表面的极化电荷总量。

(1)求电场分布(1)求电场分布解题思路：球对称利用介质中的高斯定理D

E注意：导体金属球内部没有净电荷介电常数、电荷源的分段分布特性问题：为什么取半径r的球面为高斯面？因为自由电荷q分布在金属球面上,自由电荷分布具有球对称性.自由电荷产生的电场具有球对称性分布.自由电荷的电场使球型电介质极化,极化的电荷产生附加电场.附加电场具有球对称性.合场强具有球对称性.D=E,D具有球对称性D在半径r的球面上大小相等,方向沿径向.高斯球面的电位移通量可以积分运算出来.R1R2oqor

解

(1)R1R2oqr取半径r的球面为高斯面，有D4r2R1R2oqrR1R2oqr另解:R1R2oqr

(2)取无穷远处为电势零点,球心o的电势:(2)求球心o点的电势(2)求球心o点的电势解题思路：根据电场分布求电势由于E是分段函数，要分段积分极化电荷总量:R1R2oqorP(3)求介质球壳内表面的极化电荷总量。解题思路：E

P

面密度极化电荷总量电介质球壳内表面的极化电荷面密度：§10－7电容和电容器孤立导体的电容电容器的电容电容器的串联和并联孤立导体的电容

半径为R的孤立导体球：R实验证明，对于任意孤立导体，Q/U都与所带的电量无关，只取决于导体的形状和大小。定义孤立导体的电容C为：电势为电量Q与电势U的比值为常量，只与导体球的大小有关单位:法拉(F)极板极板+

Q-

Q

U使两导体极板带电两导体极板的电势差电容器的电容电容器电容的大小取决于极板的形状、大小、相对位置以及极板间介质。电容是反映电容器存储电荷本领的物理量。电容器的电容

电容器是由两个用电介质（或真空）隔开的金属导体组成，这两个导体称为电容器的两个极板。①平行板电容器的电容rdSAB设：给电容器带电讨论：空气平板电容器：电容器的电容计算思路：Q->(D->)E->U->C

例题求如图所示的平行板电容器的电容。

解设两极板分别带电±,

板间介质中的电场：两板间的电势差：由定义式,该电容器的电容：rtdSAB板间真空中的电场：②球形电容器的电容：取半径r的球面为高斯面，R1R2oq

设带电q

例题圆柱形电容器由两个同轴的金属圆筒组成。设圆筒的长度为L,两筒的半径分别R1和R2,两筒之间充满相对介电常数为r的电介质，如图所示。求这电容器的电容。(忽略圆柱两端的边缘效应)

解设同轴圆筒分别带电±

，+-rLR1R2C1C2Cn特点：各电容器上的电量相等；总电压等于各电容电压之和C=C1+C2+…+Cn特点：各电容器上的电压相等；总电量为各电容电量和。C1C2Cn电容器的串联和并联电容串联电容并联思考：①平行板电容器充电后保持与电源连接，拉开两板间距，②平行板电容器充电后与电源断开，拉开两板间距，减小增大减小减小不变电容＿＿＿电量

，场强

，减小电势差

，电量

，不变场强

，不变电势差

，电容＿＿＿

例题两个空气电容器C1和C2串联后与电源连接，再把一电介质板插入C1中，问：电容器组的总电容C、C1和C2上的电量、电势差如何变化？解串联电容器组的电容为插入介质板后，C1增大，所以C增大。根据

q=CU，由于电容器组上的电压U不变，C增大，q就增大(即各串联电容器上的电量q都增大)。因为q增大，由q=CU知，C2上的电压增大；而总电压U不变，故C1上的电压减小。C1C2Ur§10－8静电场的能量点电荷系的电能电容器的储能电场能量点电荷系的电能相距为r的两个点电荷q1，q2组成的系统原先空间不存在电场，置放q1，不需要克服电场力做功。固定q1后，将q2从无穷远处缓慢地移动到距q1为r的位置，这时外力需要克服q1产生的电场做功：外力所做的功A转化为电荷的势能W，也即存储在电荷系统中的电能：点电荷系的电能多个点电荷q1，q2，……qn组成的系统固定第一个点电荷q1后，将其它点电荷逐个从无穷远处缓慢地移动到对应位置，外力克服电场力所做的功转化为电荷系统的电能。移动第m个点电荷qm时，需要克服前面m－1个点电荷产生的电场做功。用类似方法求出的点电荷系统存储的电能为：点电荷系的电能连续电荷分布带电体

上面点电荷系电能的建立过程，也可以推广到电荷连续分布的带电体的电能计算。

不断地把电荷元dq从无限远处移到物体上，需要已有电荷产生的电场做功。连续分布电荷系统存储的电能为：把一个电容为C的电容器接到电源上充电,这个过程实质上是电源逐步把正电荷从电容器的负极搬运到正极的过程。不断将dq从负极板搬运到正极板的过程中，电源中的非静电力克服电场力做功。qqdq电容器的储能电源所做的功以电能的形式储存在电容器中。以平行板电容器为例，来计算电场能量。

设在时间t

内，从B

板向A

板迁移了电荷再将dq从B板迁移到A板，电源需继续克服电场力做功，大小为电势能的增量：极板上电量从0—Q作的总功为AB++++++++++++++++—————————————此时平行板间的电压为：电容器的储能为电场是具有能量的平行板电容器为例进行计算，忽略边缘效应不均匀电场中电场能量电场的能量密度(即单位体积内储存的电能):结论：电能是储存在电场中的。就是说，场是能量的携带者。（适用于所有电场）

例题一空气平行板电容器充电后与电源断开，然后在两板间充满各向同性、均匀电介质，则电容C、电压U、电场强度的大小E、电场能量W四个量各自与充介质前比较，增大()或减小()的情况为(A)C,

U,

E,

W(B)C,

U,

E,

W(C)C,

U,

E,

W(D)C,

U,

E,

W例题一电容器的电容C1=20.0F，用电压Uo=1000V的电源对其充电，然后断开电源，再与另一个未充电的电容器(C2=5.0F)两端相连，求:(1)连接后两电容器所带的电量、电压及储存的电能；(2)两电容器连接过程中损失了多少电能？C1+q-