第五章误差理论的基本知识

第五章误差理论的基本知识

§5.1测量误差的概念§5.2衡量精度的指标

§5.3误差传播定律及应用

误差误差Δ（Error)（真误差）：观测值L与真值X的差值

Δ=L–X真值X：反映一个量真正大小的绝对准确的数值。第一节误差概述一、测量误差产生的原因

1．测量仪器和工具

2．观测者

3．外界条件的影响观测条件：人、仪器和外界条件

等精度观测：观测条件相同的各次观测

非等精度观测观测：观测条件不相同的各次观测

粗差：在观测结果中，有时还会出现错误，称之为粗差。粗差在观测结果中是不允许出现的二、误差的分类粗差：由测量人员粗心大意或仪器故障所造成的差错，称为粗差。系统误差：在相同的观测条件下，对某一量进行多次的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。偶然误差：在相同的观测条件下，对某一量进行多次的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性。2．系统误差的特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。

例如：钢尺尺长误差、钢尺温度误差、水准仪视准轴误差、经纬仪视准轴误差。偶然误差的特性

例：在相同的观测条件下，独立地观测了817个三角形的全部内角。由于观测结果中存在着偶然误差，三角形的三个内角观测值之和不等于三角形内角和的理论值（真值）。设三角形内角和的真值为X，观测值为Li，则三角形内角和的真误差（或简称误差）为Δi=Li-X（i一1，2，…n）对于每个三角形来说，Δi是每个三角形内角和的真误差，Li是每个三角形三个内均观测值之和，X为180°。现将817个真误差按每0.5″为一区间，以误差值的大小及其正负号，分别统计出在各误差区间内的个数v，及相对个数v／817。Δi=Li-X(i=1,2,…,n)

偶然误差的四个特性（1）有界性：在一定观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出该限值的误差出现的概率为零；（2）密集性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；（4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数n的无限增大而趋于零，即

实践表明，对于在相同条件下独立进行的一组观测来说，不论其观测条件如何，也不论是对一个量还是对多个量进行观测，这组观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测的个数n愈大时，这种特性就表现得愈明显。偶然误差的这种特性，又称为统计规律性。第二节衡量精度的指标精度指在对某一个量的多次观测中，各观测值之间的离散程度。衡量精度的标准有:中误差极限误差相对误差一、中误差1、定义：当n有限时，采用m表示的估值，即：

2、中误差的概率意义：中误差越小，精度越高。代表一组观测值的精度而不是一个观测值的精度。

§5.2衡量精度的指标

1.用真误差计算中误差的公式真误差：标准差公式：中误差公式为：2.用改正数计算中误差的公式当观测值的真值未知时：设某未知量的观测值为：则该量的算术平均值为：

则该量的改正数：计算得：观测值的中误差二、相对误差

误差与观测值之比相对真误差相对中误差

相对较差

相对误差不带量纲，用分子为1的形式表示。四、相对误差

例1、假设现在丈量了两段距离：甲：100±0.01米；乙：200±0.01米到底那组的精度高些呢？如果从中误差来看，两组的精度相等，但这样显然不合理。因为实际上距离测量的误差与长度相关，距离越大，误差的累积就越大,这就需要引入相对误差：K=｜m｜/D

（注意化为分子为1的形式）

K甲＝1/10000,K乙＝1/20000,甲组精度高。例3、β1＝28°35′18″±3.8″；β2＝

308°15′12″±3.2″，那组的精度高？二、极限误差根据概率理论：

P{|Δ|m}=68.3%P{|Δ|2m}=95.4%P{|Δ|3m}=99.7%因此，在一定的观测条件下，取

限=2m或限=3m作为极限误差，当观测值的误差大于限差时应剔除。第三节误差传播定律阐述间接观测量与直接观测量之间误差关系的定律称为误差传播定律。用中误差解释误差传播定律：阐述间接观测量与直接观测量中误差之间关系的定律称为误差传播定律。一般函数式中x1、x2、…、xn为直接观测量，已知其中误差分别为mi，当xi具有真误差Δi时，函数Z则产生相应的真误差Δz，因为真误差Δ是一微小量，故将函数式取全微分，将其化为线性函数，并以真误差符号“Δ”代替微分符号“d”,得式中是函数对xi取的偏导数并用观测值代入算出的数值，它们是常数，因此，上式变成了线性函数，上式两端取平方，求和，化简得到 即为误差传播定律的一般形式。特例1：倍数函数【例】测量得到某圆形建筑物直径D＝34.50m，直径测量的中误差为mD=±0.01m，求建筑物的圆周长及圆周长的中误差。一般化数学模型：设有函数式中k为常数，x为直接观测值，其中误差为mx，求观测值函数Z的中误差mZ。观测值倍数函数的中误差，等于观测值中误差乘倍数（常数）。特例2：和差函数【例】水准测量从A到B的高差hAB＝＋15.476m，中误差mhAB＝±0.012m，从B到C的高差hBC＝＋5.747米，中误差mhBC＝±0.009m，求AC两点间高差及其中误差。一般化函数式中x、y为直接观测值，其中误差分别为mx、mx

，求观测值函数Z的中误差mZ。观测值和差函数的中误差平方，等于两观测值中误差的平方之和。

特例3：线性函数设有函数式中x1、x2、…、xn为直接观测值，其中误差为mx1、mx2

…、mxn

，求观测值函数Z的中误差mZ。综合前面两种函数关系可以推得：

【例】有一函数，其中x1、x2、x3的中误差分别为±3mm、±2mm、±1mm，则误差传播定律的使用步骤1.正确写出函数关系式；2.求函数式的全微分表达式，实质上是求各个变量的系数；3.利用误差传播定律计算间接观测量的中误差。算例【例】某一斜距S=106.28m，斜距的竖角δ=8°30′，中误差ms=±5cm、mδ=±20″，求改算后的平距的中误差mD。解： D＝S×cosδ先求出各偏导数值：再按中误差计算公式在计算中，单位统一为厘米，角值的单位由秒化为弧度。按双观测值之差求观测值的中误差对某一量进行同精度的双次观测（如高差、距离的往返观测），其较差为：

d=L′—L″因d为真误差(观测值—真值，真值为0)，所以可以利用中误差的定义公式计算：设单次观测中误差为m，结合误差传播定律：

水准测量在水准点1~6各点之间往返各测了一次，各水准点间的距离均为1km，各段往返测所得的高差见下表。求：往返测较差的中误差？单程观测的高差测量中误差？测段高差观测值(m)dd1~2-0.185+0.188+392~3+1.626-1.629-393~4+1.435-1.430+5254~5+0.505-0.509-4165~6-0.007+0.005-24按双观测值之差求观测值的中误差(例)按三角形的闭合差求测角中误差思考题：一个边长为l的正方形，若测量一边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？若四边都测量，且测量精度相同，均为ml，则周长中误差是多少？

§5.4等精度直接观测值1.算术平均值原理假设对某量X进行了n次等精度的独立观测，得观测值l1，l2，…ln

算术平均值为：L=(l1+l2+…ln)/n=[l]/n算术平均值原理:当n→∞时，L=X证明：∆i＝li－X,[∆]=[l]－nX，

[∆]/n=[l]/n－X，根据偶然误差第4特性即证算术平均值是观测量的“最可靠值”，或者叫做“最或是值”。2、或然误差或然误差：vi＝li－L或然误差特性：［v］=0：

3、由或然误差求中误差（白塞尔公式）