第2章矩阵与线性方程组5-7

§5矩阵的秩1一、矩阵的秩的概念定义：在m×n

矩阵A中，任取k

行k

列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2

个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k

阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．显然，m×n矩阵A的k

阶子式共有个．概念辨析：

k阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式2与元素a12相对应的余子式相应的代数余子式矩阵A

的一个2阶子块矩阵A的一个2阶子式3定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式

D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么

D称为矩阵A

的最高阶非零子式，数r

称为矩阵

A

的秩，记作R(A)．规定：零矩阵的秩等于零．4矩阵A的一个3阶子式矩阵A的2阶子式如果矩阵A中所有2阶子式都等于零，那么这个3阶子式也等于零．5定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式

D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么

D称为矩阵A

的最高阶非零子式，数r

称为矩阵

A

的秩，记作R(A)．根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵A中任何一个r+2阶子式（如果存在的话）都可以用r+1阶子式来表示．如果矩阵A中所有r+1阶子式都等于零，那么所有r+2阶子式也都等于零．事实上，所有高于r+1阶的子式（如果存在的话）也都等于零．

因此矩阵A

的秩就是A

中非零子式的最高阶数．规定：零矩阵的秩等于零．6矩阵A

的秩就是A

中非零子式的最高阶数．显然，若矩阵A

中有某个s

阶子式不等于零，则R(A)≥s； 若矩阵A

中所有t

阶子式等于零，则R(A)<t

．若

A为n阶矩阵，则A的n

阶子式只有一个，即|A|． 当|A|≠0时，R(A)=n;

可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵．

当|A|=0时，R(A)<n;

不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵．若

A为m×n

矩阵，则0≤R(A)≤min(m,n)．R(AT)=R(A)．7矩阵A的一个2阶子式矩阵AT

的一个2阶子式AT

的子式与A

的子式对应相等，从而R(AT)=R(A)．8例：求矩阵A

和B

的秩，其中解：在

A中，2阶子式．A的3阶子式只有一个，即|A|，而且|A|=0，因此R(A)=2．9例：求矩阵A

和B

的秩，其中解（续）：B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，因此其4阶子式全为零．以非零行的第一个非零元为对角元的3阶子式，因此R(B)=3．还存在其它3阶非零子式吗？10例：求矩阵A

和B

的秩，其中解（续）：B

还有其它

3

阶非零子式，例如结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数．11二、矩阵的秩的计算例：求矩阵A

的秩，其中．分析：在

A中，2阶子式．A的3阶子式共有(个)，要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的．12一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵.两个等价的矩阵的秩是否相等？13定理：若A~B，则R(A)=R(B)

．证明思路：证明A

经过一次初等行变换变为B，则R(A)≤R(B)．

B

也可经由一次初等行变换变为A，则R(B)≤R(A)，于是R(A)=R(B)．经过一次初等行变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等行变换的矩阵的秩仍然不变．设A

经过初等列变换变为B，则AT

经过初等行变换变为BT

，从而R(AT)=R(BT)． 又R(A)=R(AT)，R(B)=R(BT)，因此R(A)=R(B)．14定理：若A~B，则R(A)=R(B)

．应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩．例：求矩阵的秩，并求A

的一个最高阶非零子式．15解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3

．第二步求A的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列

，与之对应的是选取矩阵A的第一、二、四列．16R(A0)=3，计算

A0的前

3行构成的子式因此这就是A

的一个最高阶非零子式．17分析：对B

作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设B

的行阶梯形矩阵为，则就是A

的行阶梯形矩阵，因此可从中同时看出R(A)及R(B)．例：设，求矩阵A

及矩阵B=(A,b)的秩．解：R(A)=2R(B)=318矩阵的秩的性质若

A为m×n

矩阵，则0≤R(A)≤min(m,n)．

R(AT)=R(A)．若A~B，则R(A)=R(B)

．若P、Q

可逆，则R(PAQ)=R(A)

．

max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)＋R(B)

． 特别地，当B=b

为非零列向量时，有

R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋1

．

R(A＋B)≤R(A)＋R(B)．

R(AB)≤min{R(A),R(B)}．若Am×nBn×l

=O，则R(A)＋R(B)≤n．19例：设A为

n阶矩阵，证明R(A＋E)＋R(A－E)≥n

．例：若Am×nBn×l

=C，且R(A)=n，则R(B)=R(C)

．附注：当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为列满秩矩阵．特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵．本题中，当

C=O，这时结论为： 设AB=O，若A为列满秩矩阵，则

B=O

．20例：设A为

n阶矩阵，证明R(A＋E)＋R(A－E)≥n

．证明：因为

(A＋E)＋

(E－A)=2E，由性质“R(A＋B)≤R(A)＋R(B)”有R(A＋E)＋R(E－A)≥R(2E)

=n

．又因为R(E－A)=R(A－E)，所以R(A＋E)＋R(A－E)≥n

．21§7线性方程组的解22一、线性方程组的表达式一般形式向量方程的形式方程组可简化为AX=b．增广矩阵的形式向量组线性组合的形式23二、线性方程组的解的判定设有n

个未知数m

个方程的线性方程组定义：线性方程组如果有解，就称它是相容的；如果无解，就称它是不相容的．问题1：方程组是否有解？问题2：若方程组有解，则解是否唯一？问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？

m、n

不一定相等！24定理：n

元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n；有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n．分析：只需证明条件的充分性，即R(A)<R(A,b)无解；R(A)=R(A,b)=n唯一解；R(A)=R(A,b)<n无穷多解．那么无解R(A)<R(A,b)；唯一解R(A)=R(A,b)=n

；无穷多解R(A)=R(A,b)<n．25证明：设

R(A)=r，为叙述方便，不妨设B=(A,b)的行最简形矩阵为第一步：往证R(A)<R(A,b)无解．若R(A)<R(A,b)，即R(A,b)=R(A)＋1，则dr+1=1．于是第r+1行对应矛盾方程0=1，故原线性方程组无解．R(A)

≤

R(A,b)

≤

R(A)＋1前r

列后n-r

列26前n

列前r

列第二步：往证R(A)=R(A,b)=n唯一解．若R(A)=R(A,b)=n，故原线性方程组有唯一解．后n-r

列则dr+1=0且r=n，对应的线性方程组为

从而bij

都不出现.27前r

列n

列第二步：往证R(A)=R(A,b)=n唯一解．若R(A)=R(A,b)=n，故原线性方程组有唯一解．

则dr+1=0且bij

都不出现.

即r=n，前

r

行后

m－r

行后n-r

列n

行对应的线性方程组为后

m－n

行28第三步：往证R(A)=R(A,b)<n无穷多解．若R(A)=R(A,b)<n，对应的线性方程组为前r

列

则dr+1=0.后n-r

列

即r<n，29令xr+1,…,xn

作自由变量，则再令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，则线性方程组的通解30例：求解非齐次线性方程组解：R(A)=R(A,b)=3<4，故原线性方程组有无穷多解．31备注：有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=r<n，这时

还能根据R(A)=R(A,b)=r<n判断该线性方程组有无限多解吗？32x1x2x3x4x1x2x4x3同解返回33解（续）：即得与原方程组同解的方程组令x3

做自由变量，则方程组的通解可表示为．34例：求解非齐次线性方程组解：R(A)=2，R(A,b)=3，故原线性方程组无解．35例：求解齐次线性方程组提问：为什么只对系数矩阵A进行初等行变换变为行最简形矩阵？答：因为齐次线性方程组AX=0的常数项都等于零，于是必有R(A,0)=

R(A)，所以可从R(A)判断齐次线性方程组的解的情况．36例：设有线性方程组问l

取何值时，此方程组有(1)唯一解；(2)无解；(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解．定理：n

元线性方程组AX=b无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n；有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n．37解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵．38附注：对含参数的矩阵作初等变换时，由于l+1，l+3等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换：如果作了这样的变换，则需对l+1=0（或l+3=0）的情况另作讨论．39分析：讨论方程组的解的情况，就是讨论参数l

取何值时，r2、r3

是非零行．在r2、r3

中，有5处地方出现了l

，要使这5个元素等于零，l=0，3，－3，1．实际上没有必要对这4个可能取值逐一进行讨论，先从方程组有唯一解入手．40于是当l

≠0且l

≠－3时，R(A)=R(B)=3，有唯一解．当l=0时，R(A)=1，R(B)