哈工大现代控制理论-CHP1-1

第一章控制系统的状态空间表达式1-1状态变量及状态空间表达式1-2状态空间表达式的模拟结构图1-3状态空间表达式的建立(一)1-4状态空间表达式的建立(二)1-5状态向量的线性变换(坐标变换)1-6从状态空间表达式求传递函数阵1-7离散时间系统的状态空间表达式1-8时变系统和非线性系统的状态空间表达式1本章的重点内容状态空间表达式的模拟结构图状态空间表达式建立的基本方法状态向量的线性变换从状态空间表达式求传递函数阵21-1状态变量及状态空间表达式状态变量状态矢量状态空间状态方程输出方程状态空间表达式状态空间表达式的系统方块图31-1-1状态变量足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量称为状态变量完全表征的含义：状态变量的定义：一旦给定变量组在t=t0时刻的数值，则只要知道t>t0的输入变量ui(t)(i=1,2,…,r),就能唯一确定这一变量组本身及输出变量yi(t)(i=1,2,…,m)在t>t0时刻的一切值动力学系统S..............u1u2ury1y2ymx1x2xn41-1-1状态变量（续）y(t)=ke(t)k=r2/(r1+r2)表达式是代数方程；系统的行为可以由输出与输入的瞬时关系确定，与系统的过去历史无关,不需要引入状态变量；网络中只包含瞬时元件，没有任何储能元件；51-1-1状态变量（续）dy/dt=i(t)/C61-1-1状态变量（续）表达式是微分方程；网络中有一个储能元件—电容C；系统未来的行为受过去历史的影响，必须引入一个状态变量来概括这种影响71-1-1状态变量（续）状态变量的选取原则：状态变量相互独立，个数等于微分方程的阶数；状态变量的个数等于系统独立储能元件的个数；同一系统中，状态变量的选取并不是唯一的。从理论上讲，并不要求状态变量在物理上是可测的量，但在工程实践中，仍以选取那些容易测量的量作为状态变量

为宜81-1-2状态矢量如果n个状态变量用x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示，并把这些状态变量看作是矢量x(t)的分量，则x(t)就称为状态矢量。记作：或91-1-3状态空间以状态变量x1、x2、…、xn为坐标轴所构成的n维空间，称为状态空间x(t0)x1x2x3x(t)101-1-4状态方程由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为系统的状态方程111-1-4状态方程（续）令121-1-5输出方程在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量之间的函数关系式，称为系统的输出方程令作为输出，则有或或131-1-6状态空间表达式状态方程和输出合起来，构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。设单输入--单输出定常系统，其状态变量为x1,x2,…,xn,则状态方程的一般形式为：141-1-6状态空间表达式（续）输出方程的一般形式为：用向量表示的状态空间表达式为：n维状态矢量系统矩阵输入矩阵151-1-7状态空间表达式（续）对具有r个输入，m个输出的复杂系统，设其状态变量为x1,x2,…,xn,则状态方程的一般形式为：161-1-7状态空间表达式（续）输出方程的一般形式为：171-1-7状态空间表达式（续）多输入-多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为：x和A----同单输入系统，分别为n维状态矢量和n×n系统矩阵r维输入矢量m维输出矢量n×r输入矩阵181-1-7状态空间表达式（续）m×n维输出矩阵m×r直接传递矩阵191-1-8状态空间表达式的系统方块图单输入—单输出系统201-1-8状态空间表达式的系统方块图多输入—多输出系统211-2状态空间表达式的模拟结构图用途和绘制方法根据微分方程绘制模拟结构图根据状态空间表达式绘制模拟结构图221-2-1模拟结构图的用途和绘制方法用途用于反映系统各状态变量之间的信息传递关系绘制方法积分器的数目等于状态变量数，将它们画在适当的位置；每个积分器的输出表示相应的某个状态变量；根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器；用箭头将这些元件连接起来；231-2-2根据微分方程绘制模拟结构图一阶标量微分方程ba++x&x例1241-2-2根据微分方程绘制模拟结构图（续）三阶微分方程：可改写为：例2251-2-2根据状态空间表达式绘制模拟结构图例3261-3状态空间表达式的建立（一）从系统方块图出发建立状态空间表达式从系统的机理出发建立状态空间表达式271-3-1从系统方块图出发建立状态空间表达式例428例4291-3-1从系统方块图出发建立状态空间表达式（续）例53031321-3-2从系统的机理出发建立状态空间表达式常见的控制系统，按其能量属性，可分为：电气机械机电气动液压等一般遵循的物理规律有：基尔霍夫定律

牛顿定律能量守恒定律虎克定律331-3-2从系统的机理出发建立状态空间表达式例5电网络如下图所示，输入量为电流源，并指定以电容C1和C2的电压作为输出，求此网络的状态空间表达式34例504422=-+ixxC&04311=++xxxC&02233=-++xCxii&023142=--xxLxL&&042421=++-iRxLx&031131=++-iRxxL&电流方程电压方程24231xxLxL=+-&&42142222xRxxLxCR-=+&&131131221iRxRxxLxCR++-=-&&4131111xCxCx--=&35361-4状态空间表达式的建立（二）离散系统的数学模型37对于线性离散系统，动态方程的一般形式为对于单输入单输出系统对于线性时变系统38举例

假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%的城市人口迁移去乡村,2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1%。

设k为离散时间变量,x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口,u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市,y(k)为第k年全国人口数39写成矩阵形式401-5线性变换一．等价系统方程1．线性定常系统

作线性变换代入动态方程(1)(2)方程（2）称为方程（1）的等价系统方程412．线性时变系统（1）作线性变换：（2）其中方程（2）称为方程（1）的等价系统方程42二：线性变换的不变性

1．线性变换不改变系统特征值2．线性变换不改变系统传递函数矩阵系统（A、B、C、D）经非奇异变换后，传递函数矩阵保持不变。431化矩阵A为对角形对于矩阵A，称为其特征方程式。特征方程式的根λ1、λ2、…λn即为A的特征值若：（λiI-A）qi=0或：λiqi=Aqi，称qi为与λi相对应的A的特征向量

下列几种情况，可将A化为对角阵三:化A为规范形为矩阵A的特征多项式441)如果A有n个特征值λ1、λ2、…λn互不相同，取Q=（q1，q2，…qn），其中qi为与λi相对应的A的特征向量，令P=Q-1

45举例设对应于λ1的特征向量为对应于λ2的特征向量为试将Ａ化为对角形解：46472)如果矩阵A具有如下标准形式且A的n个特征值λ1、λ2、…λn互不相同，则利用范德蒙特矩阵，可使为对角阵483)如果矩阵A虽有相重之特征值，但由λiqi=Aqi可解出n个独立的特征向量，则Q=（q1，q2，…qn），P=Q-1可使为对角阵例

设对应与λ1、λ2的特征向量为对应与λ3的特征向量为49502化矩阵A为约当标准形下列情况下，可将矩阵A化为约当标准形1)在A的n个特征值λ1、λ2、…λn中，有n-m个互不相同，有m个为重特征值，此时，可A化为约当阵。对于互不相同之特征值，特征向量qi由Aqi=λiqi确定相应的矩阵Q部分为对于m重特征值λj，特征向量qj由Aqj=λjqj确定；广义特征向量qj+1、qj+2、…qj+m-1、由下式确定：λjqj+1+qj=Aqj+1λjqj+2+qj+1=Aqj+2…λjqj+m-1+qj+m-2=Aqj+m-1

相应的约当块为51例

设特征值λ1=2、λ2=λ3=1，试化A为约当阵解

由λ1q1=Aq1得：q1=[2，-1，-2]T

由λ2q2=Aq2得：q2=[1，-3/7，-5/7]T

由λ2q3+q2=Aq3得：q3=[1，-22/49，-46/49]T

522）如果矩阵A具有如下标准形式且A的特征值λj为k重根，此时与λj相对应的约当块为范德蒙特矩阵Q中对应部分变为其中53例如其特征值为λ1、λ1、λ1、λ2、λ2，此时543模式矩阵当矩阵A出现共轭复数根λ1、2=σ±jω时，可将A化为模式矩阵。如A为2×2矩阵，λ1、2=σ±jω，由λ1q1=Aq1求出与λ1相对应A的特征向量q1=α1+jβ1。则P=[α1，β1]-1可使M=PAP-1成为模式矩阵，即例如特征值为λ1、2=-1±j，特征向量为55一般情况，如A有m个互不相同的特征值λ1、λ2…λm和k组复数特征值λi=σi±jωi，（m+2k=n），利用P=[p1，p2，…pm，α1，β1…αk，βk]-1，可将A化为假定第j个复数特征值是r重根，且与其对应的独立特征向量为一个，则模式矩阵中相应的部分为而P中相应的部分由特征向量及广义特征向量的实部和虚部组成56例如A为4×4矩阵，λ1、2=σ±jω为重根，与λ1相对应的特征向量q1=α1+jβ1，广义特征向量q2=α2+jβ2。则：P=[α1、β1、α2、β2]-1571.6从状态空间表达式求传递函数阵一：传递函数矩阵的定义若系统有r个输入，m个输出，在初始条件为零时，系统的输入、输出间的关系由下列矩阵方程表示：或称为系统的传递函数矩阵

58二：由动态方程求传递函数矩阵设系统动态方程为在初始条件为零的情况下，对动态方程进行拉氏变换对于单输入单输出系统，上式变为