选择性必修一-二三知识点汇编

选择性必修一第一章空间向量与立体几何一、共线向量、共面向量定理1.共线向量定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.二、空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.三、空间向量运算的坐标表示1.空间向量运算的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).运算坐标表示加法a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)减法a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)数乘λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R数量积a·b=a1b1+a2b2+a3b32.空间向量常用结论的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).结论坐标表示共线a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)垂直a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0向量长度|a|=a·a向量夹角公式cos<a,b>=a·b3.空间两点间的距离公式设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则P1P2=|P1P2四、空间向量1.设直线l,m的方向向量分别为μ,v,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则线线平行l∥m⇔μ∥v⇔μ=λv,λ∈R线面平行l∥α⇔μ⊥n1⇔μ·n1=0面面平行α∥β⇔n1∥n2⇔n1=λn2,λ∈R线线垂直l⊥m⇔μ⊥v⇔μ·v=0线面垂直l⊥α⇔μ∥n1⇔μ=λn1,λ∈R面面垂直α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0线线夹角l,m的夹角θ∈0,π2,cosθ线面夹角l,α的夹角为θ∈0,π2,sinθ面面夹角α,β的夹角为θ∈0,π2,cosθ2.点到直线的距离设AP=a,则向量AP在直线l上的投影向量AQ=(a·u)u,点P到直线l的距离PQ=|AP|23.点到平面的距离已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离PQ=AP·n|n|第二章直线和圆的方程一、直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角定义当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角规定当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°范围[0,π)2.直线的斜率定义当直线l的倾斜角α≠π2时,其倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan斜率公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=y3.直线的方向向量直线的方向向量设A,B为直线上的两点,则AB就是这条直线的方向向量方向向量的坐标设A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2),则直线AB的一个方向向量为AB=(x2-x1,y2-y1)方向向量与斜率若直线l的斜率为k,则直线l的一个方向向量为(1,k)4.两条直线平行和垂直的判定对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2.位置关系判定特例平行l1∥l2⇔k1=k2直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2平行垂直l1⊥l2⇔k1k2=-1一直线斜率为零,另一直线斜率不存在时,两条直线垂直二、直线的方程直线方程的五种形式及适用范围:名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y=kx+b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y-y0=k(x-x0)两点式过两点y−y1与两坐标轴均不垂直的直线截距式横、纵截距xa+y不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)所有直线

三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点坐标直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标就是方程组A1x位置关系方程组的解的个数相交方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解平行方程组无解重合方程组有无数个解2.距离公式距离类型已知几何元素距离公式两点间的距离两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)|P1P2|=(点到直线的距离点P0(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0d=|A两条平行直线间的距离两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0d=|四、圆的方程圆的定义圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合圆的方程标准式(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圆心坐标:(a,b)半径为r一般式x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)圆心坐标:-半径r=1五、直线与圆、圆与圆的位置关系1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系判断;(2)代数法:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,利用判别式Δ判断.位置关系几何法代数法相交d<rΔ>0相切d=rΔ=0相离d>rΔ<02.圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(方法位置关系几何法:根据圆心距d=|O1O2|与r1+r2或|r1-r2|的大小关系进行判断代数法:根据两圆方程组成的方程组解的个数进行判断外离d>r1+r2无解外切d=r1+r2一组实数解相交|r1-r2|<d<r1+r2两组不同的实数解内切d=|r1-r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)无解第三章圆锥曲线的方程一、椭圆1.椭圆的定义定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距符号语言集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数轨迹类型a>c点M的轨迹为椭圆a=c点M的轨迹为线段a<c点M不存在2.椭圆的标准方程及其几何性质标准方程x2a2+y2by2a2+x2b图形性质范围-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤b对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a,a为长半轴长;短轴B1B2的长为2b,b为短半轴长焦距|F1F2|=2c离心率e=ca,e∈(0,1),其中c=a,b,c的关系a2=b2+c2二、双曲线1.双曲线的定义定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距符号语言集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且a>0,c>0轨迹类型a<c点M的轨迹为双曲线(不含绝对值时为双曲线的一支)a=c点M的轨迹为两条射线(不含绝对值时为一条射线)a>c点M不存在2.双曲线的标准方程及其几何性质标准方程x2a2-y2by2a2-x2b图形性质范围x≤-a或x≥a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±bay=±ab离心率e=ca,e∈(1,+∞),其中c=轴实轴A1A2的长为2a,a为实半轴长;虚轴B1B2的长为2b,b为虚半轴长a,b,c的关系c2=a2+b2三、抛物线1.抛物线的定义定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线符号语言集合P={M||MF|=d}(d为点M到准线l的距离)特例当F∈l时,动点M的轨迹是过F点垂直于l的直线2.抛物线的标准方程及其几何性质图形标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴y=0x=0焦点FpF-F0,F0,−离心率e=1准线方程x=-px=py=-py=p范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R开口方向向右向左向上向下选择性必修二一、等差数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即an+1-an=d(n∈N*,d为常数).2.等差中项:由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项,且2A=a+b.3.通项公式:等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.4.前n项和公式:Sn=n(a1+an)2=na1+5.性质:(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(m,n∈N*).(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有am+an=ap+aq.(3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.(4)数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).(5)在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.二、等比数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.2.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab.3.通项公式:等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则其通项公式为an=a1qn-1.4.前n项和公式:Sn=n5.性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m(m,n∈N*).(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有ak·al=am·an.(3)当q≠-1或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为qn.三、求一元函数的导数1.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f'(x)=αxα-1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=axlnaf(x)=exf'(x)=exf(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=1f(x)=lnxf'(x)=12.导数的四则运算法则已知两个函数f(x),g(x)的导数分别为f'(x),g'(x).若f'(x),g'(x)存在,则有:(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(3)f(x)g(x)'=3.简单复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x.四、导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:在某个区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.2.函数的极值与导数条件f'(x0)=0x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点3.函数的最大(小)值与导数(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.(3)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.选择性必修三一、计数原理1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.3.排列与排列数(1)排列一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号Anm4.组合与组合数(1)组合一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号Cnm5.二项式定理(1)二项式定理:(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnkan-kbk+…+Cnn(2)二项展开式的通项:Tk+1=Cnkan-kbk,通项为展开式的第k6.各二项式系数的和(1)(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n,即Cn0+Cn1+Cn(2)在(a+b)n的展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即Cn1+Cn3+Cn5+…=Cn0二、随机变量及其分布1.条件概率一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,则称P(B|A)=P(AB)P(A对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A),称此公式为概率的乘法公式.2.全概率公式一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=∑i=1nP(Ai)P(