反比例函数综合复习讲义全

反比例函数知识整理1、反比例函数的概念一般地，函数y=-(k是常数，k丰0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写x成y=kx-1的形式。自变量x的取值范围是x中0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x"0，函数yW0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，随x的增大而增大。4、反比例函数解析式的确定确定及埃是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y=-中，只有一个待定系数，因x此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义k如下图，过反比例函数y=-(k丰°)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所x得的矩形PMON的面积S=PM•PN=|y|•|x|=|xy|。y=一，•=xy=k,S=1klox考点一、反比例函数的性质【例1】已知反比例函数y=10，当1<x<2时，y的取值范围是()x(A)0<y<5 (B)1<y<2 (C)5<y<10 (D)y>10【举一反三】1、已知y是x的反比例函数，当x>0时，y随x的增大而减小.请写出一个满足以上条件的函数表达式m2、已知一次函数y=kx+b(k<O)与反比例函数y=—(mwO)的图象相交于A、B两点,1 2x其横坐标分别是一1和3,当yjy2时，实数x的取值范围是( )A.x<—l或O<x<3 B.—1<x<O或O<x<3C.—1<x<O或x>3 D.O<x<3

3、函数y=mx+3、函数y=mx+n与y=mx，其中mw0,nw0,那么它们在同一坐标系中的图象可能是（）考点典例二、反比例函数图象上点的坐标特征【例2】（2015自贡）若点（X1，yi），（X2，y2），（X3，y3），都是反比例函数尸一图象上的点，并且yi<0<y2<>3，则下列各式中正确的是（）A.x<A.x<x<x【举一反三】B.x<x<xD.x<x<x则y1与y2的大小关系1、若点A（1,y）和点B（2,y0）在反比例函数y则y1与y2的大小关系是：y1y2（填“>”、"v”或“="）.2、如图，过点C（1,2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=—x+6于A、B两k点，若反比例函数y=—（x>0）的图像与4ABC有公共点，则k的取值范围是x（）A.24k《9 B,2<k<8 C.2<k<5 D.5<k<83、如图，P是函数y=_1（x>0）的图象上的一点，直缗=-x+1分别交x轴、y轴于2x点A、B，过点P分别作PM^x轴于点M，交AB于点E，作PN^y轴于点N，交AB于点F，则AF.BE的值为。考点典例三、反比例函数图象上点的坐标与方程的关系【例3】已知函数y=-1的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，cx+1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x『x2判断正确的是【 】A.x1+x>1，x/x>0 B.x1+x<0，x1«x>0C.0<x1+x2<1，x1«x2>0 D.x】+x?与xjx?的符号都不确定【举一反三】1 1 2 1 2 1 21、（2015•湖南常德）已知A（1，、四）是反比例函数图象上的一点，直线AC经过点A及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C，求C的坐标及反比例函数的解析式。

2、如图，若双曲线y=-与边长为5的等边4AOB的边OA,AB分别相交于C,D两点,x且OC=3BD，则实数k的值为.43、如图，直线y=6-x交*轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数y=-(x>0)图象上x位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M,交AB于点E,过点P作y轴的垂线，垂足为点N,交AB于点F。则AF-BE=( )D.6V2D.6V2第3题图 第4题图 第5题图4、如上图中，正比例函数y=3x的图象与反比例函数y=-(k>0)的图象交于点B,若-x取1,2,3,…，20,对应的R3AOB的面积分别为S1,S2,…，S20,则S1+S2+…+S205、两个反比例函数y=-和y=1在第一象限内的图象如图所示，点P在y=-的图象上,xx xPC，X轴于点C,交y=1的图象于点A,PD，y轴于点D,交y=1的图象于点B,当x x点P在y=-的图象上运动时，以下结论：x①4ODB与aOCA的面积相等； ②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.其中一定正确的是。考点典例四、反比例函数与一次函数的交点问题【例4】如图，一次函数yjky+b的图象和反比例函数y广的图象交于A(1,2),B(-2,-1)两点，若y]Vy2,则x的取值范围是()A.xvlB.xV-2C.-2VXV0或x>1D.xV-2或0VxV1【举一反三】1、如图，在平面直角坐标系中，A(-3,1),以点O为直角顶点作等腰直角三角形AOB,双曲线y=&在第一象限内的图象经过点B,设直线AB的解析式为y=kx+b，当1X 2 2y1>y2时，x的取值范围是( ).A.-5<x<1 B.0<x<1或x<一5 C.-6<x<1 D.0<x<1或x<一62、已知反比例函数_L与一次函数y=2x-1,其中一次函数的图象经过(a,b)、2x(a+1,b+k)两点.(1)求反比例函数的解析式；(2)如图，已知A点是上述两函数图象在第一象限内的交点，求A点的坐标；(3)利用(2)的结果，在x轴上是否存在点P,使4AOP为等腰三角形？若存在,请把所有符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.3、如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点,点E(4,n)在边AB上，反比例函数y=k(kw0)在第一象限内的图象经过点D、E,x且tan/BOA=1.2(1)求反比例函数的解析式和n的值；(2)若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F,将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G,求线段OG的长.考点典例五、反比例函数的图象和k的几何意义

【例5】（2015凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=3经过点D，则正方形ABCD的面积是（）xA.10B.11C.12D.13【举一反三】L如图，A.3是双曲线y=-上的两点，过A点作AC，x轴，交OB于D点，垂足为xC.若4ADO的面积为1,D为OB的中点，则k的值为（）TOC\o"1-5"\h\z“4 一8八八 一A.— B.C.3 D.43 3k，2、如图，正方形OABC的面积是4,点B在反比例函数y=_（k>0,x<0）x的图象上.若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N,从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S.则当S=m（m为常数，且0cm<4）时，则点R的坐标是。（用含m的代数式表示）3、如图，若点M是x轴正半轴上的任意一点，过点M作PQ//y轴，分别交函数y=幺（x>0）和y=与（x>0）的图象于点P和Q，连接OP、x xOQ,则下列结论正确的是（）A./A./POQ不可能等于900B,也=4QMK2C.C.这两个函数的图象一定关于x轴对称D.4POQ的面积是1(|kI+IkI)2 1 24、如图，点A（x/y）、B（x2,yj都在双曲线y--（x>0）上，且x2-x1=4，y[y2=2;分别过点a、B向x轴、y轴作垂线段,垂足分别为C、D、E、F,AC与BF相交于G点，四边形FOCG的面积为2,五边形AEODB的面积为14,那么双曲线的解析式为.课后练习一、选择题.已知反比例函数的图象y=—2上有两点A（x,y）、B（x.y。），若y>y。，则^^ 1 1 22 1 2x「x2的值是（）A.正数B.负数 C.非正数D.不能确定.（2015.河北省，第10题，3分）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当x=2时，y=20.则y与x的函数图象大致是（ ）TOC\o"1-5"\h\z.J2015•湖北武汉，9题，3分）在反比例函数『上迎图象上有两点A（x,y卜B（x,% 112y2）,X1V0Vx2,y1vy2，则m的取值范围是（）A.m>1 B.mV1 C.m>1 D.m<13k4.（2015•黑龙江绥化）如图，反比例函数y=—（xV0）的图象经过点P，则k的值为（ ）xA.-6B.-5C.6D.55.（2015.宁夏，第8题，3分）函数y=k与y=-kx2+k（k丰0）在同一直角坐标系中的X大致图象可能是（）的图象交于点A,与y轴交于点M,与x轴交于点N,且AM：MN=1：2,则卜=..（2015•黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB，y轴于点B,点C、D在x轴上，且BC//AD,四边形ABCD的面积为3,则这个反比例函数的解析式为..（2015.山东临沂第14题,3分）在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与反比例函数y=1X的图象有唯一公共点.若直线y=-X+b与反比例函数y=1的图象有2个公共点，则b的X取值范围是（）

(C)b>2或bv—2. (D)bv—2.(C)b>2或bv—2. (D)bv—2.二、填空题9.已知双曲线yk-19.已知双曲线y——经过点(-2,1),则k的值等于▲x(2015.河南省，第11题，3分)如图，直线y=kx与双曲线y=2(x>。)交于点Ax(1,a)/k=(2015.陕西省，第13题，3分)如图，在平面直角坐标系中，过点M(-3,2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=4的图象交于A、B两点，则四边形MAOB的面积为x(2015.山东济南，第20题,3分)如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为(-4,0),顶点B在反比例函数y=-(xV0)的图象上，则k=x(2015.山东日照，第16题，4分)如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y=(kW0,x>0)的图象过点B,E.若AB=2,则k的值为.三、解答题如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点A(-2,k0),与y轴交于点C,与反比例函数y=—在第一象限内的图象交于点B(m,n),连x结OB.若S.aob=6,Saboc=2.(1)求一次函数的表达式；

(2)求反比例函数的表达式.(2015•辽宁大连)如图，在平面坐标系中，/AOB=90°,AB//x轴，OB=2,双一一k曲线y=—经过点B.将4AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在X轴的正半轴x上.若AB的对应线段CB恰好经过点O.(1)点B的坐标和双曲线的解析式.(2)判断点C是否在双曲线上，并说明理由.——=一的图象相交X(2015•辽宁沈阳)如图，已知一次函数y二于点A(4,n),与x轴相交于点B.(1)填空：n的值为,k的值为;(2)以AB为