工程经济学 第二章3,4,5

第二章现金流量与资金时间价值1§3等值计算与应用不同时点，数额不同的资金在资金的时间价值的作用下有可能具有相等的价值。不同时点、不同数额但其价值等效的资金称为等值。利用等值的概念，可把一个时点的资金额换算成另一时点的等值金额。资金等值计算是指为了便于比较，把不同时点上的资金按照一定的折现率计算至某一相同的时点上的过程。如“折现”、“贴现”等22.1一次支付终值公式称为一次支付终值系数，记为

0123n–1n

F=？P(已知）…i3

0123n–1n

F(已知）P=？

…2.2一次支付现值公式i称为一次支付现值系数，记为4

0123n–1n

F=？

…A(已知）2.3等额支付年金终值公式i称为等额支付现值系数，记为5

0123n–1n

F(已知）…

A=？2.4等额支付积累基金公式i称为等额支付累积基金系数，记为60123n–1n

P(已知）

…A=？2.5等额支付资金回收公式i称为等额支付资金回收系数，记为7

0123n–1n

P=？…

A(已知）

2.6等额支付年金现值公式i称为等额支付年金现值系数，记为8六个基本公式及其系数符号F＝P×(1+i）n公式系数(F/P,i,n)(P/F,i,n)(F/A,i,n)(A/F,i,n)(A/P,i,n)(P/A,i,n)系数符号公式可记为F=P(F/P,i,n)P=F(P/F,i,n)F=A(F/A,i,n)A=F(A/F,i,n)A=P(A/P,i,n)P=A(P/A,i,n)10（F/P，i，n）（P/F，i，n）（F/A，i，n）（A/P，i，n）（P/A，i，n）（A/F，i，n）PFA01234567……n……各系数之间的关系倒数关系：乘积关系：特殊关系：例1:有如下图示现金流量，解法正确的有()012345678AF=?A.F=A(P/A,i,6)(F/P,i,8)B.F=A(P/A,i,5)(F/P,i,7)C.F=A(F/A,i,6)(F/P,i,2)D.F=A(F/A,i,5)(F/P,i,2)E.F=A(F/A,i,6)(F/P,i,1)12例2：下列关于时间价值系数的关系式，表达正确的有（）A．（F/A,i,n）=(P/A,i,n)×(F/P,i,n)B．（F/P,i,n）=(F/P,i,n1)×(F/P,i,n2),其中n1+n2=nC．（P/F,i,n）=(P/F,i,n1)＋(P/F,i,n2),其中n1+n2=nD．（P/A,i,n）=(P/F,i,n)×(A/F,i,n)E．1/（F/A,i,n）=(F/A,i,1/n)13例3：浙江某大学毕业生欲回家乡筹办一家澳洲火鸡饲养场，第一年投资10万元，1年后又投资15万元，2年后再投入20万元，第3年建成投产。投资全部由一家银行贷款，年利率为8％。贷款从第三年开始每年年末等额偿还，还款期10年。问每年应至少收益（偿还银行贷款）多少万元？102015A=？······年012312i=8%14解：方案投产年年初的总投资额为：

P=10(F/P，8％，2)+15(F/P，8％，1)+20=10×1.1664+15×1.08+20=47.864万元

A=P(A/P,8％,10)=47.864×0.1490=7.13万元102015A=？······年012312i=8%15例4：一对还有10年就要退休的夫妇，每年将一笔款项存入银行欲建立一笔海外旅游基金。该旅游基金预计用途是：自第10年年末起，连续3年各提2万元。如果银行存款利率为8％，那么10年中每年年末应等额存入银行多少元？01101112289A=?A=2万元年i=8%16解：将专用基金折算为第10年末的价值：

F=20000+20000(P/F,8％,1)+20000(P/F,8％,2)=20000+20000×0.9259+20000×0.8573=55664元

A=F(A/F,8％,10)=55664×0.06903=3842.49元01101112289A=?A=2万元年i=8%17

例5

某投资者5年前以200万元价格买入一房产，在过去的5年内每年获得年净现金收益25万元，现在该房产能以250万元出售，若投资者要求的年收益率为20％，问此项投资是否合算?

0P=2002527512345i=20%单位：万元18解（2）：将收益折算成现值：

P=25(P/A,20％,5)+250(P/F,20％,5)=175.25(万元)获得i=20％的收益投资175.25万即可，因此不合算解（1）：投资200万元，i=20%时应获收益额：

F=200(F/P,20％,5)=498(万元)

而实际收益：

F=25(F/A,20％,5)+250=436(万元)

投资没有达到20％的收益率，故不合算0P=2002527512345i=20%单位：万元19运用利息公式应注意的问题:1.为了实施方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初；2.方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期（年）末；3.本年的年末即是下一年的年初；4.P是在当前年度开始时发生；5.F是在当前以后的第n年年末发生；6.A是在考察期间各年年末发生。当问题包括P和A时，系列的第一个A是在P发生一年后的年末发生；当问题包括F和A时，系列的最后一个A是和F同时发生；20名义利率和有效利率名义利率和有效利率的概念。当利率周期与计息周期不一致时，年利率为12％，每年计息1次——12％为实际利率；年利率为12％，每月计息1次——12％为名义利率，月利率为1％。名义利率——用计息周期利率按单利计算的利率周期（年）利率，即由计息周期利率i乘以一个利率周期（年）内的计息周期数m所得到的利率周期（年）利率。实际利率——用计息周期利率按复利计算的利率周期（年）利率。22/50利率周期常以年为单位。设计息周期利率为i，一年中计息m次。按单利计算年名义利率r：一年末利息和I=m.P.i则由利率的定义可知：r=I/P=i×m计息期周期利率（年）名义利率1年年利率12%12%×1=12%1月月利率1%1%×12=12%1季季利率2.8%2.8%×4=11.2%半年半年利率5%5%×2=10%1.间断复利的年实际利率利率周期常以年为单位。设计息周期利率为i，一年中计息m次。按复利计算年实际利率ieff：

F=P[1+r/m]m该利率周期的利息为：I=F-P=

P[1+r/m]m－P按定义，利息与本金之比为利率，则年有效利率i为：23

下表给出了年名义利率为12%分别按不同计息期计算的实际利率：复利周期每年计息数期各期实际利率实际年利率一年半年一季一月一周一天124125236512.0000%6.0000%3.0000%1.0000%0.23077%0.0329%12.0000%12.3600%12.5509%12.6825%12.7341%12.7475%24从上表可以看出，每年计息期m越多，ieff与r相差越大。所以，在进行工程经济分析时，如果各方案的记息期不同，就不能简单地使用名义利率来评价，必须换算成实际利率进行评价。

例：某厂拟向两个银行贷款以扩大生产，甲银行年利率为16%，计息每年一次。乙银行年利率为15%，但每月计息一次。试比较哪家银行贷款条件优惠些？解：因为i乙>i甲，所以甲银行贷款条件优惠些。25

例：现投资1000元，时间为10年，年利率为8%，每季度计息一次，求10年末的将来值。

F=？1000…012340季度每季度的有效利率为8%÷4=2%，用年实际利率求解:年有效利率i为：i=（1+2%）4－1=8.2432%F=1000（F/P，8.2432%，10）=2208（元）用季度利率求解:F=1000（F/P，2%，40）=1000×2.2080=2208（元）解：26例:某企业向银行借款1000元,年利率为4%,如按季度计息,则第3年应偿还本利和累计为()元。A.1125B.1120C.1127D.1172F=1000(F/P,1%,4×3)=1000(F/P,1%,12)=1127元答案:C

F=？1000…012312季度解:27例:已知某项目的计息期为月,月利率为8‰,则项目的名义利率为()。A.8%B.8‰C.9.6%D.9.6‰解:（年）名义利率=每一计息期的有效利率×一年中计息期数

所以r=12×8‰=96‰=9.6%282.连续（瞬时）复利的年有效利率

——按瞬时计息的方式。在这种情况下，复利可以在一年中按无限多次计算，年有效利率为：式中：e自然对数的底，其数值为2.718282930/503名义利率和有效（年）利率的应用计息周期等于收付周期——直接运用6个基本公式计息周期小于收付周期——按实际利率/计息周期利率计算计息周期大于收付周期——计息期内不计息/单利计息/复利计息1计息周期等于支付期根据计息期的实际利率，利用复利计算公式直接进行计算。例：年利率为12%，每半年计息1次，从现在起连续3年每半年末等额存款为200元，问与其等值的第0年的现值是多少？解：计息期为半年的有效利率为

i＝12％/2＝6％

P=200×（P／A，6％，6）＝983.46(元)31例：年利率为9％，每年年初借款4200元，连续借款43年，求其年金终值和年金现值。43042210434221A=4200A’=4200(1+9%)解：F=A’(F/A,i,n)=4200(1+9%)×440.8457

＝2018191.615（元）P=A’(P/A,i,n)=4200(1+9%)×10.838

＝49616.364（元）322计息周期短于支付期（1）先求出支付期的有效利率，再利用复利计算公式进行计算（2）按计息周期利率计算F=P(F/P,r/m,mn)P=F(P/F,r/m,mn)F=A(F/A,r/m,mn)P=A(P/A,r/m,mn)A=F(A/F,r/m,mn)A=P(A/P,r/m,mn)332计息周期短于支付期例：年利率为12％，每季度计息一次，从现在起连续3年的等额年末存款为1000元，与其等值的第3年的年末借款金额是多少？0123456789101112季度1000元1000元1000元ⅠⅡⅢ年度解：年有效利率为：F=?34方法二：取一个循环周期，使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列。012341000元01234239239239239将年度支付转换为计息期末支付A=F(A/F,3%,4)=1000×0.2390=239（元）r=12%,n=4,则i=12%÷4＝3％35F=A(F/A,i,n)=A(F/A,3%,12)=239×14.192＝3392元F=?0123456789101112季度1000元1000元1000元ⅠⅡⅢ年度F=?ⅠⅡⅢ年度0123456789101112季度23923923923923923923923923923923936F=1000(F/P,3%,8)+1000(F/P,3%,4)+1000=1000×1.267+1000×1.126)+1000=3392元方法三：把等额支付的每一个支付看作为一次支付，求出每个支付的将来值，然后把将来值加起来，这个和就是等额支付的实际结果。0123456789101112季度1000元1000元1000元ⅠⅡⅢ年度F=?373计息周期长于支付期(1)不记息：记息期内收付不计息。(2)单利记息：记息期内的收付均按单利记息。(3)复利计息：计息周期内的收付按复利计息。383计息周期长于支付期(1)不记息。记息期内收付不计息。按财务原则进行计息，即现金流入额放在期末，现金流出额放在计息期初，计息期分界点处的支付保持不变。例：现金流量图如图所示，年利率为12%，每季度计息一次，求年末终值F为多少？0123974658101112（月）300100100100393计息周期长于支付期(2)单利记息。记息期内的收付均按单利记息。记息期内的利率按时间比例计算。（小周期利率单利方式换算为大周期利率）40P31例2-143计息周期长于支付期(3)复利记息。计息周期内的收付按复利计息。此时，计息期利率相当于“实际利率”，收付周期利率相当于“计息期利率”。求收付周期利率41P32例2-15资金时间价值基本公式的应用

复利系数表中包含了三种数据，即系数、利率、计息次数。根据各系数符号，查表即可得到相应的系数；知道了三项数据中的任意两项，还可以通过查表得到另一项。一、计算未知利率二、计算未知年数42

一、计算未知利率在计算技术方案的等值时，有时会遇到这样一种情况：即现金流量P、F、A以及计算期n均为已知量，而利率i为待求的未知量。比如，求方案的收益率，国民经济的增长率等就属于这种情况。这时，可以借助查复利系数表利用线性内插法近似地求出i来。43例：某人今年初借贷1000万元，8年内，每年还154.7万元，正好在第8年末还清，问这笔借款的年利率是多少？解：已知P=1000万，A=154.7万，n=8∵A=P(A/P,i,n)∴(A/P,i,n)=A/P=154.7/1000=0.1547

查表中的资金回收系数列，在n=8的一行里，0.1547所对应的i为5%。∴i=5%44

例:已知现在投资300元，9年后可一次获得525元。求利率i为多少？解：利用一次支付终值公式

F=P（F/P，i，n）

525=300（F/P，i，9）（F/P，i，9）=1.750

从复利表上查到，当n=9时，1.750落在利率6%和8%之间。从6%的位置查到1.6895，从8%的位置上查到1.9990。用直线内插法可得：计算表明，利率i为6.41%。45把上述例子推广到一般情况，我们设两个已知的现金流量之比（F/P，F/A或P/A等）对应的系数为f0，与此最接近的两个利率为i1和i2，i1对应的系数为f1，i2对应f2。见下图。

系数f0与利率i的对应图46根据上图，求利率i的的算式为：

(f0-f1)(i2

–i1)i=i1+—————

f2-f

147例:某公司欲买一台机床，卖方提出两种付款方式：（1）若买时一次付清，则售价30000元；（2）买时第一次支付10000元，以后24个月内每月支付1000元。当时银行利率为12%，问若这两种付款方案在经济上是等值的话，那么，对于等值的两种付款方式，卖方实际上得到了多大的名义利率与实际利率?48解：两种付款方式中有10000元现值相同，剩下20000元付款方式不同，根据题意：已知P=20000元，A=1000元，n=24个月，求月利率i＝？

P=A（P/A，i，n）

20000=1000（P/A，i，24）（P/A，i，24）=20=f0

查复利表：当i1=1%时，（P/A，1%，24）=21.243=f1i2=2%时，（P/A，2%，24）=18.914=f2

说明所求月利率i介于i1与i2之间，利用公式（4－15）：

(f0-f1)(i2

–i1)(20-21.243)(2%-1%)i=i1+—————=1%+——————————f2-f

1

18.9140-21.2430=1%+0.534%=1.534%

那么卖方得到年名义利率：

r=12×1.534%=18.408%49

卖方得到年实际利率：18.408%i=(1+r/n)n-1=(1+—————)12-112=(1+0.01534)n-1=20.04%

由于上述的名义利率18.408%和实际利率20.04%都高于银行利率12%，50例：某人有资金10万元，有两个投资方向供选择：一是存入银行，每年复利率为10％；另一是购买五年期的债券，115元面值债券发行价为100元，每期分息8元，到期后由发行者以面值收回。试计算出债券利率，比较哪个方案有利。解：设债券利率为i，则有

100=8(P/A,i,5)+115(P/F,i,5)

用试算的方法，可得到

P(10%)=8(P/A,10％,5)+115(P/F,10％,5)＝101.73P(12%)=8(P/A,12％,5)+115(P/F,12％,5)＝94.09

用线性内插法51

例:设有一个25岁的人投资人身保险，保险期50年，在这段期间，每年末缴纳300元保险费，在保险期间内，若发生人身死亡或期末死亡，保险人均可获得50000元。问投这段保险期的实际利率？若该人活到55岁去世，银行年利率为10%，问保险公司是否吃亏？

52

三、计算未知年数在计算技术方案的等值中另一种可能的情况是：已知方案现金流量P、F或A，以及方案的利率i，而方案的计算期n为待求的未知量。例如，要求计算方案的投资回收期，借款清偿期就属于这种情况。这时仍可借助查复利表，利用线性内插法近似地求出n来。其求解基本思路与计算未知利率大体相同。53

例:假定国民经济收入的年增长率为10%，如果使国民经济收入翻两番，问从现在起需多少年？解：设现在的国民经济收入为P，若干年后翻两番则为4P，由式（4－4）

F=P（F/P，10，n）

4P=P（F/P，10%，n）（F/P，10%，n）=4

当i=10%时，4落在年数14年和15年之间。当n=14年时，（F/P，10%，14）=3.7975，当n=15年时，（F/P，10%，15）=4.1772。用直线内插法得到：54

(4-3.7975)(15–14)n=n1+————————————年=14.53年

4.1772-3.7975上述的例子推广到一般情况，可得出：

(f0-f1)(n2

–n1)n=n1+—————

f2-f

155例:假设年利率为6%，每年年末存进银行1000元。如果要想在银行拥有存款10000元，问需要存几年?解：已知i=6%，A=1000元，F=10000元∵A=F(A/F,i,n)∴(A/F,i,n)=A/F=1000/10000=0.1

查偿债基金系数，在i=6%时：当n1=8时,(A/F,6%,8)=0.101

当n2=9时,(A/F,6%,9)=0.0870

利用线性内插法，求得：

n=8+(0.1-0.101)/(0.087-0.101)=8.07(年)56

例:某企业向外资贷款200万元建一工程，第三年投产，投产后每年净收益40万元，若年利率10%，问投产后多少年能归还200万元贷款的本息。解：先画出现金流量图。为使方案的计算能利用公式，将第二年末（第三年初）作为基期，计算P2。