第2章信号与系统基础2

第2章

信号与系统分析基础（2）第2章信号与系统分析基础2.1引言2.2信号分类和典型示例2.3线性时不变系统2.4卷积2.5傅里叶变换2.6小结2.5傅里叶变换2.5.1周期信号的傅里叶级数2.5.2傅里叶变换2.5.3傅里叶变换的基本性质2.5.4卷积特性2.5.5周期信号的傅里叶变换傅里叶让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶（JeanBaptisteJosephFourier）法国数学家、物理学家1768年3月21日－1830年5月16日2.5.1周期信号的傅里叶级数任何周期信号只要满足狄利克雷条件，就可以分解成直流分量及许多正弦、余弦分量。这些正弦、余弦分量的频率必定是基频f1(f1=1/T1)的整数倍。通常把频率为f1的分量称为基波，

频率为2f1、3f1，…等分量分别称为二次谐波、三次谐波……等。

直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅度、相位取决于周期信号的波形。狄利克雷（Dirichlet）条件：（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；（2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；（3）在一周期内，信号是绝对可积的，即

等于有限值（T1为周期）。（一）三角函数形式的傅里叶级数

若f(t)的周期为T1，角频率ω1=2π/T1，频率f1=1/T1，傅里叶级数展开表达式为：

f(t)=a0+a1cos(ω1t)+b1sin(ω1t)

+a2cos(2ω1t)+b2sin(2ω1t)+…+ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)+…

=a0+∑[ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)]n=1直流分量基波分量n=1

谐波分量n>1各次谐波成分的幅度值计算公式为：直流分量

余弦分量的幅度

正弦分量的幅度

其中n=1，2，3，…傅里叶级数的另一种形式：

其中：a0=c0=d0，cn=dn=√an2+bn2an=cncosφn=dnsinθn

bn=-cnsinφn=dncosθn

tanφn=-bn/antanθn=an/bn(n=1,2,…)频谱特性

由以上公式可以看出，各分量的幅度an，bn，cn及相位φn都是nω1的函数。幅度频谱（简称为幅度谱）：幅度cn对nω1的关系所绘成的线图，可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小。图中每条线代表某一频率分量的幅度，称为谱线。连接各谱线顶点的曲线称为包络线，它反映各分量的幅度变化情况。相位频谱（简称相位谱）：各分量的相位φn对频率nω1的线图。频谱图幅度谱（幅频特性）相位谱（相频特性）结论周期信号的频谱只会出现在0，ω1，2ω1，…等离散频率点上，这种频谱称为离散谱，它是周期信号频谱的主要特点。【例2-8】周期矩形脉冲信号的傅里叶级数

（三角形式）

设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ,脉冲幅度为E,重复周期为T1,此信号在一个周期内(-T1/2≤t≤T1/2)的表示式为

f(t)=E[u(t+τ/2)-u(t-τ/2)]f(t)E0tτ/2-τ/2T1-T1f(t)=a0+∑[ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)]其中：n=1周期矩形脉冲信号的傅里叶级数(三角形式)周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处（离散）。直观看出：各分量的大小，各分量的频移。

（二）指数形式的傅里叶级数其中：系数F（nω1）（简写作Fn）为

n为从-∞到+∞的整数。公式推导过程：【例2-9】周期矩形脉冲信号的傅里叶级数

（指数形式）

设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ,脉冲幅度为E,重复周期为T1,此信号在一个周期内(-T1/2≤t≤T1/2)的表示式为

f(t)=E[u(t+τ/2)-u(t-τ/2)]f(t)E0tτ/2-τ/2T1-T1分析：（1）周期矩形脉冲的频谱是离散的，两谱线的间隔为1（=2/T1），当脉冲重复周期愈大，谱线愈靠近。（2）直流分量、基波及各谐波分量的大小正比于脉幅E和脉宽，反比于周期T1。各谱线的幅度按Sa(n/T1)包络线的规律而变化。（3）周期矩形信号包含无穷多条谱线，也就是说它可以分解成无穷多个频率分量。但其主要能量集中在第一个零点以内。单边谱双边谱负频率在复数频谱中出现的负频率是由于将sin(nω1t)，cos(nω1t)写成指数形式时，从数学的观点自然分成ejnω1t以及e-jnω1t两项，因而引入了-jnω1t项。所以，负频率的出现完全是数学运算的结果，并没有任何物理意义，只有把负频率项与相应的正频率项成对地合并起来，才是实际的频谱函数。(三)周期信号的平均功率（帕塞瓦尔定理）此式表明：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开各谐波分量有效值的平方和，也即时域和频域的能量守恒。帕赛瓦尔定理(四)频带宽度（带宽）

频谱图上第一个零点以内的范围，记作B。例：对周期矩形脉冲信号，

Bω=2π/τ或Bf=1/τ2.5.2傅里叶变换傅里叶正变换

F(ω)=[f(t)]=

F(ω)=|F(ω)|ejφ(ω)傅里叶逆变换f(t)=-1[F(ω)]=推导过程:F(nω1)=1/T1

T1/2-T1/2f(t)e-jnω1tdtF(nω1)T1=2πF(nω1)/ω1=-T1/2T1/2f(t)e-jnω1tdtF(ω)=lim2πF(nω1)/ω1=limF(nω1)·T1

=lim-T1/2T1/2f(t)e-jnω1tdt

=-∞∞

f(t)e-jωtdtω10T1T1推导过程:F(nω1)=1/T1

T1/2-T1/2f(t)e-jnω1tdtF(nω1)T1=2πF(nω1)/ω1=-T1/2T1/2f(t)e-jnω1tdtF(ω)=lim2πF(nω1)/ω1=limF(nω1)·T1

=lim-T1/2T1/2f(t)e-jnω1tdt

=-∞∞

f(t)e-jωtdtω10T1T1表示单位频带的频谱值—即频谱密度的概念.F(ω)称为原函数f(t)的频谱密度函数.f(t)=F(nω1)e-jnω1t

=F(nω1)/ω1•

e-jnω1tΔ(nω1)在极限情况下，nω1ω，Δ(nω1)dω1,

F(nω1)/ω1F(ω)/2π

-∞∞f(t)=1/(2π)-∞∞

F(ω)ejωtdωnω1=-nω1=-n=-结论:

非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。所不同的是，由于非周期信号的周期趋于无限大，基波趋于无限小，于是它包含了从零到无限高的所有频率分量。同时，由于周期趋于无限大，因此，对任一能量有限的信号，在各频率点的分量幅度趋于无限小。所以频谱不能再用幅度表示，而改用频谱密度函数来表示。【例2-10】矩形脉冲信号的频谱

f(t)=E[u(t+τ/2)-u(t-τ/2)]F(ω)=∞-∞f(t)e-jωtdt=τ/2-τ/2

Ee-jωtdt=(2E/ω)sin(ωτ/2)=Eτ·Sa(ωτ/2)f(t)E0tτ/2-τ/2【例2-11】钟形(高斯)脉冲信号的频谱

f(t)=Ee-(t/τ)2(-∞＜t＜+∞)F(ω)=∞-∞f(t)e-jωtdt=-∞∞

Ee-(t/τ)2

e-jωtdt=E-∞∞

e-(t/τ)2

[cos(ωt)-jsin(ωt)]dt=2E0∞

e-(t/τ)2

cos(ωt)dt=√πEτ·e-(ωτ/2)2f(t)E0tτE/ef(t)E0tτE/eF(ω)√πEτ0ωτ/2√πEτ/e【例2-12】升余弦脉冲信号的频谱

f(t)=E/2[1+cos(πt/τ)](0≤t≤τ)F(ω)=-∞∞

f(t)e-jωtdt=-ττ

E/2[1+cos(πt/τ)]e-jωtdt=E/2-ττ

e-jωtdt+E/4∫τ-τejπt/τ·e-jωtdt+E/4-ττe-jπt/τ·e-jωtdt=EτSa(ωτ)+(Eτ/2)Sa[(ω-π/τ)τ]+(Eτ/2)Sa[(ω+π/τ)τ]=Esin(ωτ)/ω[1-(ωτ/π)2]=EτSa(ωτ)/[1-(ωτ/π)2]f(t)E0tτ/2-τ/2-ττf(t)E0tτ/2-τ/2-ττ【例2-13】冲激信号的频谱F(ω)=∫∞-∞δ

(t)e-jωtdt=1f(t)(1)0tF(ω)10ω2.5.3傅里叶变换的基本性质（1）对称性（2）线性（叠加性）（3）奇偶虚实性（4）尺度变换特性（5）时移特性（6）频移特性（7）微分特性（8）积分特性（1）对称性若F(ω)=[f(t)]，则

[F(t)]=2πf(-ω)当f(t)是偶函数时，则

[F(t)]=2πf(ω)证明：

f(t)=1/(2π)∫∞-∞F(ω)ejωtdωf(-t)=1/(2π)∫∞-∞F(ω)e-jωtdω将变量t与ω互换,可以得到

2πf(-ω)=∫∞-∞F(t)e-jωtdt所以[F(t)]=2πf(-ω)若f(t)是偶函数，则

[F(t)]=2πf(ω)【例2-14】对称性实例(一)【例2-15】对称性实例(二)f(t)t10(2π)0F(ω)ωf(t)(1)0tF(ω)10ω（2）线性（叠加性）若[fi(t)]=Fi(ω)（i=1,2,…,n），则

[∑aifi(t)]=∑aiFi(ω)其中ai为常数，为n正整数。nni=1i=1（3）奇偶虚实性若[f(t)]=F(ω)，无论f(t)为实函数或复函数，都具有以下性质：

[f(-t)]=F(-ω)

[f

(t)]=F(-ω)

[f(-t)]=F(ω)（4）尺度变换特性若[f(t)]=F(ω)，则其中，α为非零的实常数。【例2-16】尺度变换特性的实例（5）时移特性若[f(t)]=F(ω)，则

[f(t-t0)]=e–jωt0

·F(ω)

[f(t+t0)]=ejωt0

·F(ω)（6）频移特性若[f(t)]=F(ω)，则

[f(t)ejω0t]=F(ω-ω0)

[f(t)e-jω0t]=F(ω+ω0)根据欧拉公式:cos(nω1t)=1/2(ejnω1t+e-jnω1t)

sin(nω1t)=1/2j(ejnω1t-e-jnω1t)有：[cos(ω0t)]=π[(ω+ω0)+(ω-ω0)]

[sin(ω0t)]=jπ[(ω+ω0)-(ω-ω0)]

[f(t)cos(ω0t)]=1/2[F(ω+ω0)+F(ω-ω0)][f(t)sin(ω0t)]=j/2[F(ω+ω0)-F(ω-ω0)]

【例2-17】余弦波和正弦波信号的频谱(π)0F(ω)ω(π)ω1-ω1(π)0jF(ω)ω(-π)ω1-ω1【例2-18】矩形调幅信号的频谱g(t)E0tτ/2-τ/2G(ω)f(t)=g(t)cos(ω0t)（7）微分特性若[f(t)]=F(ω)，则时域微分特性为

[df(t)/dt]=jωF(ω)

[dfn(t)/dtn]=(jω)n

F(ω)频域微分特性为

-1[dF(ω)/dω]=(-jt)f(t)

-1[dFn(ω)/dωn]=(-jt)n

f(t)（8）积分特性若[f(t)]=F(ω)，则时域积分特性为

[∫t-∞f(τ)dτ]=F(ω)/(jω)+πF(0)δ(ω)频域积分特性为

-1[∫ω-∞F(Ω)dΩ]=-f(t)/(jt)+πf(0)δ(t)【例2-19】三角脉冲信号的频谱22.5.4卷积定理若[f1(t)]=F1(ω)[f2(t)]=F2(ω)时域卷积定理

[f1(t)﹡f2(t)]=F1(ω)F2(ω)频域卷积定理

[f1(t)·f2(t)]=1/(2π)F1(ω)﹡F2(ω)系统的时域分析由于任意信号可以用冲激信号的组合表示，即：

e(t)=-

e(τ)

δ(t-τ)dτ根据LTI系统的微分特性，则系统的响应可表示为：

r(t)=-

e(τ)

h(t-τ)dτ=e(t)*h(t)h(t)e(t)r(t)系统的频域分析R（ω）＝H（ω）E（ω）系统改变了激励信号的频谱。系统的功能是对信号各频率分量进行加权，某些频率分量增强，而另一些分量则相对削弱或不变。而且，每个频率分量在传输过程中都产生各自的相位移。H(ω)E(ω)R(ω)【例2-20】利用卷积定理求三角脉冲的频谱

f(t)=g(t)g(t)F(ω)=G(ω)·G(ω)g(t)【例2-21】求有限长余弦信号的频谱2.5.5周期信号的傅里叶变换令周期信号f(t)的周期为T1，角频率ω1=2π/T1f(t)=∑F（nω1）ejnω1t

[f(t)]=∑F（nω1）ejnω1t=∑F（nω1）[ejnω1t]

[ejnω1t]=2πδ(ω-nω1)则[f(t)]=2π∑Fnδ(ω-nω1)

n=-n=-n=-n=-【例2-22】周期单位冲激序列的傅里叶变换δT(t)=δ(t-nT1)=

Fnejnω1tFn=1/T1

-T1/2T1/2

δT(t)e-jnω1tdt=1/T1δT(t)=1/T1ejnω1tF()=21/T1(-n1)

=1(-n1)δT(t)(1)0t……-T1T1n=-n=-n=-n=-n=-δ(t)(1)0tF0(ω)10ωδT(t)(1)0t……-T1T1δT(t)(1)0t……-T1T1F(ω)(ω1)0ω……-ω1ω1Fn(1/T1)0ω……-ω1ω1【例2-23】周期矩形脉冲信号的傅里叶变换f(t)=Eτ/T1∑Sa(nω1τ/2)ejnω1tF(ω)=2πΣFnδ(ω-nω1)=Eτω1ΣSa(nω1τ/2)δ(ω-nω1)f(t)E0tτ/2-τ/2T1-T1n=-n=-n=-2.6小结信号的分解冲激信号的叠加傅里叶级数卷积线性时不变系统的时域分析傅里叶变换频谱与带宽线性时不变系统的频域分析作业2-1（1）（3）（5）（7）2-4（1）（2）（3）2-62-8（a）（b）（c）（d）课程设计制作卷积运算的动画制作傅里叶变换的动画设计程序实现对任意两个函数进行卷积运算的过程及结果显示设计程序计算并显示周期信号的傅里叶级数设计程序计算并显示信号的傅里叶变换设计程序实现如下功能：采集语音或视频信号后显示其频谱。习题2-6（P.1603-3）若周期信号f1(t)和f2(t)波形如图所示，f1(t)的参数为=0.5s，T=1s，E=1V；f2(t)的参数为=1.5s，T=3s，E=3V，分别求：（1）f1(t)的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以表示；（2）f2(t)的谱线间隔和带宽；（3）f1(t)与f2(t)的基波幅