第05章梁的基础问题

第五章弯曲的基础问题材料力学§5.1

平面弯曲的概念§5.2

梁的载荷及计算简图§5.3

剪力与弯矩§5.4

剪力图与弯矩图§5.5

剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系§5.6

纯弯曲梁的正应力§5.7

梁的切应力第五章弯曲的基础问题材料力学§5.8

梁弯曲时的强度计算§5.9

梁的变形§5.10

叠加法求梁的变形§5.11

提高梁强度的措施§5.12

梁的刚度条件与梁的合理设计§5.13

简单超静定梁的解法§5.1

平面弯曲的概念一、平面弯曲的概念二、工程实例第五章弯曲的基础问题一、平面弯曲的概念§5.1

平面弯曲的概念1．定义弯曲变形直线变成曲线的变形形式，简称弯曲。

梁——外力垂直于杆的轴线，使得杆的轴线由——以弯曲为主要变形的杆件一、平面弯曲的概念2．平面弯曲的概念平面弯曲——外力作用在梁的对称平面内，使梁的轴

线弯曲后仍在此对称平面内的弯曲变形即：平面弯曲——轴线的弯曲平面与外力的作用平面重合的弯曲形式§5.1

平面弯曲的概念§5.1

平面弯曲的概念§5.1

平面弯曲的概念二、工程实例§5.1

平面弯曲的概念1.吊车梁2.车刀3.摇臂钻的臂4.桥梁5.立交桥梁6.跳板§5.2

梁的载荷及计算简图一、梁的简化二、梁的分类第五章弯曲的基础问题§5.2梁的载荷及计算简图固定端滑动铰支座固定铰支座任何方向移动阻止竖向移动任何移动和转动一、梁的简化2.载荷：分为集中力、分布力，集中力偶、分布力偶1.梁：用轴线表示3.支座：§5.2梁的载荷及计算简图二、梁的分类1.按支座情况分为：2.按支座数目分为：简支梁静定梁外伸梁悬臂梁超静定梁§5.2梁的载荷及计算简图跨

——梁在两支座间的部分跨长——梁在两支座间的长度3.按跨数分为：单跨梁多跨梁§5.2梁的载荷及计算简图§5.3

剪力与弯矩第五章梁的基础问题一、求法二、符号规定三、实用法则一、求法§5.3剪力与弯矩截面法剪力(FQ

)——与横截面的法向垂直的内力一、求法截面法任一横截面上的剪力

等于该横截面任一侧所有外力的代数和§5.3剪力与弯矩

弯矩(M

)有弯断梁的趋势——横截面上的内力偶矩§5.3剪力与弯矩任一横截面上的弯矩

等于对横截面形心力矩的代数和该横截面任一侧所有外力§5.3剪力与弯矩二、符号规定绕研究体顺时针转为正由下转向上为正剪力：弯矩：§5.3剪力与弯矩三、实用法则剪力：考虑横截面左侧梁段时，向上（下）的外力产生

+（-）剪力，（右侧相反），代数和结果为+

(-)时，剪力为+

(-)弯矩：考虑横截面左侧梁段时，顺（逆）针旋转的外力矩产生+（-）弯矩，（右侧相反），代数和结果为+

(-)时，弯矩为+

(-)注：对任一侧梁段，向上（下）的外力产生+（-）弯矩§5.3剪力与弯矩例1试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的FQ和M。解：1.求支反力解：2.求内力A左邻截面：例1试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的FQ和M。解：2.求内力A左邻截面：A右邻截面：例1试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的FQ和M。解：2.求内力D左邻截面：例1试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的FQ和M。解：2.求内力D左邻截面：D右邻截面：例1试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的FQ和M。§5.4

剪力图和弯矩图一、剪力方程和弯矩方程二、剪力图和弯矩图第五章梁的基础问题三、列方程法作剪力图和弯矩图四、叠加法作弯矩图§5.4剪力图和弯矩图剪力方程一、剪力方程和弯矩方程弯矩方程——剪力随横截面变化的函数表达式——弯矩随横截面变化的函数表达式剪力图二、剪力图和弯矩图弯矩图

2.正值画在上方，负值画在下方。做法：

1.横轴表示横截面位置，纵轴表示剪力或弯矩；；§5.4剪力图和弯矩图——剪力随横截面的变化曲线——弯矩随横截面的变化曲线作剪力图和弯矩图的方法：二、剪力图和弯矩图

1.列方程法

2.叠加法

3.控制点法§5.4剪力图和弯矩图三、列方程法作剪力图和弯矩图§5.4剪力图和弯矩图2.列内力方程例2

作图示梁的内力图。解：3.作内力图1.求支反力例3

作图示梁的内力图。内力图特点：解：2.列内力方程3.作内力图1.求支反力FQ图突变，突变值等于集中力大小，

M图转折。集中力作用截面，例4

作图示梁的内力图。集中力偶作用截面，M图突变，突变值等内力图特点：解：2.列内力方程3.作内力图1.求支反力于集中力偶大小，FQ图不变。四、叠加法作弯矩图可见：

剪力方程和弯矩方程都是载荷F、q和Me的线性函数§5.4剪力图和弯矩图四、叠加法作弯矩图叠加原理：

由几个外力同时作用时所引起的构件内的某一参数

（内力、应力或位移等）

由各个外力单独作用时所引起的构件内的该一参数

的矢量和或代数和适用条件：小变形情况§5.4剪力图和弯矩图例5

试用叠加法作图示简支梁的弯矩图解：

1.作出F单独作用时的弯矩图

2.作出Me单独作用时的弯矩图

3.叠加上述两图，得到F和Me同时作用时的弯矩图例6

试用叠加法作图示简支梁的弯矩图解：

1.作出q单独作用时的弯矩图

2.作出Me单独作用时的弯矩图

3.叠加上述两图第五章梁的基础问题§5.5

剪力、弯矩和分布载荷集度间

的微分关系一、FQ、M和q之间的微分关系二、突变条件三、控制点法作剪力图和弯矩图一、FQ、M和q之间的微分关系§5.5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系规定：q↑为

+取微段dx为研究对象由Fy

=0：得到由MC=0：忽略二阶微量，得到§5.5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系一、FQ、M和q之间的微分关系即：弯矩二分布载荷集度弯矩一力剪

由此得到

x截面上的剪力对x的一阶导数

x截面上的分布载荷集度§5.5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系一、FQ、M和q之间的微分关系

弯矩图凹凸性取决于该截面处的分布载荷集度弯矩图切线斜率力剪

剪力图上x截面处的切线斜率

该截面处的分布载荷集度即：由此得到§5.5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系一、FQ、M和q之间的微分关系微分关系对应表§5.5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系二、突变条件§5.5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系突变条件对应表三、控制点法作剪力图和弯矩图§5.5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系例7

试作图示外伸梁的FQ和M图。解：1.求支反力2.作FQ图3.作M图解：4.求AD段的极值弯矩(1)求极值弯矩的位置解析法：令得到几何法：由剪力图：得到例7

试作图示外伸梁的FQ和M图。解：(2)求极值弯矩的数值例7

试作图示外伸梁的FQ和M图。4.求AD段的极值弯矩解：5.求梁的和例7

试作图示外伸梁的FQ和M图。§5.6

纯弯曲梁的正应力第五章梁的基础问题一、纯弯曲与横力弯曲的概念二、纯弯曲梁的正应力三、横力弯曲梁的正应力纯弯曲横力弯曲——横截面上只有M、没有FQ的弯曲——横截面上既有M、又有FQ的弯曲剪切弯曲一、纯弯曲与横力弯曲的概念§5.6

纯弯曲梁的正应力1.实验分析纵向线:变形现象：上层纤维缩短，下层纤维伸长仍为直线，相对旋转了一角度弯成了相互平行的弧线，仍与横向线垂直二、纯弯曲梁的正应力§5.6

纯弯曲梁的正应力横向线:假设：(2)纵向纤维处于简单拉伸或压缩状态(1)横截面变形后仍为平面，且仍垂直于轴线(3)同一高度上的纤维的变形相同——横截面上只有正应力——横截面上同一高度的正应力相等——平面假设§5.6

纯弯曲梁的正应力中性层中性轴——既不伸长、也不缩短的纤维层横截面各横截面绕中性轴旋转§5.6

纯弯曲梁的正应力中性轴——横截面与中性层的交线两个名词：中性层2.公式推导(1)变形几何学方面(2)物理学方面§5.6

纯弯曲梁的正应力(3)静力学方面z轴必须通过横截面的形心自然满足§5.6

纯弯曲梁的正应力EIz——梁的抗弯刚度，反映梁抵抗弯曲变形的能力或横截面上的正应力与横截面的形状和尺寸有关，单位：m3抗弯截面系数§5.6

纯弯曲梁的正应力最大正应力§5.6

纯弯曲梁的正应力常用截面Wz：三、横力弯曲梁的正应力§5.3

横力弯曲时的正应力在横力弯曲情况下：

横截面上既有正应力，又有切应力可按纯弯曲梁的正应力公式计算横力弯曲梁的正应力

横截面将发生翘曲，不再保持为平面精确的分析表明：当时§5.7

梁的切应力第五章梁的基础问题一、矩形截面梁二、工字形截面梁三、圆形截面梁四、横力弯曲时横截面的翘曲变形实践表明：§5.7

梁的切应力

有些梁

是

因正应力达到抗拉或抗压强度而破坏

跨度小、截面高的木梁

有些梁则是因切应力达到抗切强度而破坏(1)梁端横截面上的剪力较大例如：破坏原因：(2)木梁沿木纹方向的抗切能力较弱实验研究和理论分析表明：

梁的切应力分布规律与横截面的形状有关以下介绍几种常用截面上的切应力§5.7

梁的切应力一、矩形截面梁1.两个假设(1)切应力方向与横截面的侧边平行，与剪力同向；(2)切应力沿横截面宽度均匀分布。§5.7

梁的切应力2.公式推导(1)

取微段dx§5.7

梁的切应力(2)

在微段dx中取研究体§5.7

梁的切应力(3)

求研究体各面上的合力§5.7

梁的切应力(4)

考虑研究体的平衡§5.7

梁的切应力由切应力互等定理：式中

——所求切应力点一侧面

积对中性轴的静矩§5.7

梁的切应力3.切应力分布规律§5.7

梁的切应力腹板中的切应力翼缘二、工字形截面梁腹板

矩形截面上切应力分布的两个假设仍然适用§5.7

梁的切应力故1.假设三、圆形截面梁(1)水平弦AB上各点的切应力方向交于一点(2)水平弦AB上各点的切应力

垂直分量相等§5.7

梁的切应力

垂直分量2.切应力公式3.最大切应力§5.7

梁的切应力四、横力弯曲梁横截面的翘曲变形矩形截面梁切应变：切应变沿高度按抛物线变化，使得横截面发生翘曲切应力：§5.7

梁的切应力例8

求1-1截面上的D与E点的正应力和切应力以及梁的最大正应力和最大切应力。解：1.D与E点的应力例8

求1-1截面上的D与E点的正应力和切应力以及梁的最大正应力和最大切应力。解：2.梁的最大应力§5.8

梁弯曲时的强度计算第五章梁的基础问题一、正应力强度条件二、切应力强度条件三、强度计算的三类问题一、正应力强度条件§5.8

梁弯曲时的强度计算注意：1.对于抗拉和抗压强度相等的材料(如低碳钢)要求：绝对值最大的正应力不超过材料的许用应力2.对于抗拉和抗压强度不相等的材料(如灰铸铁)要求：最大拉应力不超过材料的许用拉应力最大压应力不超过材料的许用压应力二、切应力强度条件式中

——中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩

b

——横截面在中性轴处的宽度§5.8

梁弯曲时的强度计算三、强度计算的三类问题(2)

选择截面(1)

校核强度(3)

确定许用载荷§5.8

梁弯曲时的强度计算例

9

已知校核梁的强度。1.求几何参数解：例

9

已知校核梁的强度。2.求支反力解：3.作M图，求危险截面4.强度校核例

9

已知校核梁的强度。解：∴梁安全例10

已知[]=170MPa，[]=100MPa，选择槽钢型号。解：1.求支反力2.作FQ、M图3.按正应力强度条件选择截面对于一根槽钢查表取：[

No.36c，其例10

已知[]=170MPa，[]=100MPa，选择槽钢型号。解：4.校核切应力强度查表得：例10

已知[]=170MPa，[]=100MPa，选择槽钢型号。解：每根槽钢承受的最大剪力为：

∴安全4.校核切应力强度查表得：例10

已知[]=170MPa，[]=100MPa，选择槽钢型号。解：§5.9

梁的变形第五章梁的基础问题一、梁的变形度量——挠度与转角二、挠曲线近似微分方程三、积分法求梁的变形四、位移条件§5.9

梁的变形一、梁的变形度量——挠度与转角若忽略剪力的影响，横截面绕其自身中性轴旋转挠曲线——梁在受力变形后的轴线，又称为弹性曲线挠度（y）——

横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移称为该点（横截面的形心）的挠度向上为正，向下为负§5.9

梁的变形一、梁的变形度量——挠度与转角转角（）——

横截面绕其中性轴旋转的角度称为该横截面的转角顺时针转为正，逆时针转为负挠度与转角是度量梁的变形的两个基本量§5.9

梁的变形一、梁的变形度量——挠度与转角——挠曲线方程§5.9

梁的变形一、梁的变形度量——挠度与转角即：在小变形下：——转角方程任一横截面的转角=挠曲线在该截面形心处切线的斜率求梁变形的关键是求挠曲线方程§5.9

梁的变形一、梁的变形度量——挠度与转角二、挠曲线近似微分方程CD段：纯弯曲1.力学方面AC段：横力弯曲（忽略剪力的影响）§5.9

梁的变形二、挠曲线近似微分方程1.力学方面2.数学方面3.挠曲线近似微分方程§5.9

梁的变形二、挠曲线近似微分方程符号处理：y"与M(x)恒异号在小变形情况下，通常<1，而tan1=0.017，y'2<<1——挠曲线近似微分方程§5.9

梁的变形——挠曲线微分方程三、积分法求梁的变形对于等直杆转角方程：挠曲线方程：§5.9

梁的变形四、位移条件2.位移连续条件1.已知位移条件挠度连续——连续性条件转角连续——光滑性条件§5.9

梁的变形1.约束条件例11

求图示梁的挠曲线方程和转角方程。EI为常量。解：1.列微分方程并积分2.确定积分常数由由例11

求图示梁的挠曲线方程和转角方程。EI为常量。解：3.求ymax由=0，可见：yC与ymax相差很小，两者相差不到ymax的3%。对于简支梁，只要挠曲线上无拐点，总可以用跨中挠度代替最大挠度，并且不会引起很大误差。工程上通常采用中点的挠度值作为设计依据例11

求图示梁的挠曲线方程和转角方程。EI为常量。解：4.画挠曲线的大致形状例12

求图示梁的弯曲变形边界条件：连续条件：解：AC段：CB段：§5.10

叠加法求梁的变形第五章梁的基础问题基本原理转角和挠度§5.10

叠加法求梁的变形由几个外力同时作用时所引起的梁的变形等于由各个外力单独作用时所引起的梁的变形的代数和例13

求B和yB解：2.F单独作用时3.Me和F共同作用时1.Me单独作用时§5.11

提高梁强度的措施第五章梁的基础问题一、选择合理截面形状二、采用等强度梁或变截面梁三、改善梁的受力情况一、选择合理截面形状三、改善梁的受力情况二、采用等强度梁或变截面梁——提高Wz——降低