第五章 频域分析法

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频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自动控制系统的一种工程方法。

系统频率特性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，指出系统改进方向。

频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动态模型的系统来说，很有用处。第五章控制系统的频域分析2频率特性的基本概念频率特性的对数坐标图频率特性的极坐标图奈魁斯特稳定判据稳定裕度闭环系统的性能分析本章主要内容

3频率特性的基本概念

频率特性又称频率响应，它是系统或元件对不同频率正弦输入信号的响应特性。图5.1线性时不变系统的正弦稳态响应

第一节频率特性的基本概念4频率特性的定义

在正弦输入下，系统的输出稳态分量与输入量的复数之比。一般用表示。即：5

考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应来分析系统的动态性能和稳态性能。有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。因此，这种响应也叫频率响应。频率响应尽管不如阶跃响应那样直观，但同样间接地表示了系统的特性。频率响应法是分析和设计系统的一个既方便又有效的工具。6一、频率特性的定义：

系统的频率响应定义为系统在正弦作用下稳态响应的振幅、相位与所加正弦作用的频率之间的依赖关系。

对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t)和c(t)，系统的传递函数为G(s)。式中，为极点。若：则：7拉氏反变换为：若系统稳定，则极点都在s左半平面。当，即稳态时：式中，分别为：8而式中：Rm

、Cm分别为输入输出信号的幅值。上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了倍，相位移动了。

和都是频率的函数。9定义稳态响应与正弦输入信号的相位差为系统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性；定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性；

幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 ，它也是的函数。称为频率特性。这里和分别称为系统的实频特性和虚频特性。

还可将写成复数形式，即10由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的时域法在数学上是等价的。

频率特性与传递函数的关系为：

幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列关系：11[结论]：当传递函数中的复变量s用代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。

到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数和频率特性。它们之间的关系如下：12[例子]：设传递函数为：微分方程为：频率特性为：13

频率响应法的优点之一在于它可以通过实验量测来获得，而不必推导系统的传递函数。事实上，当传递函数的解析式难以用推导方法求得时，常用的方法是利用对该系统频率特性测试曲线的拟合来得出传递函数模型。此外，在验证推导出的传递函数的正确性时，也往往用它所对应的频率特性同测试结果相比较来判断。频率响应法的优点之二在于它可以用图来表示，这在控制系统的分析和设计中有非常重要的作用。14

频率特性的推导是在线性定常系统是稳定的假设条件下得出的。如果不稳定，则动态过程c(t)最终不可能趋于稳态响应cs(t)，当然也就无法由实际系统直接观察到这种稳态响应。但从理论上动态过程的稳态分量总是可以分离出来的，而且其规律性并不依赖于系统的稳定性。因此可以扩展频率特性的概念，将频率特性定义为：在正弦输入下，线性定常系统输出的稳态分量与输入的复数比。所以对于不稳定的系统，尽管无法用实验方法量测到其频率特性，但根据式由传递函数还是可以得到其频率特性。15工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：1．极坐标图，也称奈奎斯特(Nyquist)图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以为参变量的幅值与相位的图解表示法。2．对数坐标图，也称伯德(Bode)图。它是由两张图组成，以为横坐标，对数分度，分别以和作纵坐标的一种图示法。3．对数幅相频率特性图，也称尼柯尔斯(Nichols)图。它是以相位为横坐标，以为纵坐标，以为参变量的一种图示法。二、频率特性的表示方法：16对数频率特性曲线（又称波德图）

它由两条曲线组成：幅频特性曲线和相频特性曲线。波德图坐标（横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角）的分度：

横坐标分度：它是以频率的对数值进行分度的。所以横坐标（称为频率轴）上每一线性单位表示频率的十倍变化，称为十倍频程（或十倍频），用Dec表示。如下图所示：由于以对数分度，所以零频率线在处。17

纵坐标分度：幅频特性曲线的纵坐标是以或表示。其单位分别为贝尔（Bl）和分贝（dB）。直接将或 值标注在纵坐标上。

相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。

一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。

当幅制特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：20151086420增益10.05.623.162.512.001.561.261幅值18使用对数坐标图的优点：可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。可以将乘法运算转化为加法运算。所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线）近似表示。对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。三、对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）

尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数幅频特性，单位分贝。横、纵坐标都是线性分度。19小结频率特性的定义频率特性与传递函数之间的关系各种数学模型之间的关系20

5.2典型环节频率特性的绘制

5.2.1典型环节的幅相特性曲线（极坐标图）以角频率ω为参变量，根据系统的幅频特性和相频特性在复平面上绘制出的频率特性叫做幅相特性曲线或频率特性的极坐标图。它是当角频率ω从0到无穷变化时，矢量的矢端在平面上描绘出的曲线。曲线是关于实轴对称的。21实频特性：；虚频特性：；ReImK⒈比例环节：;幅频特性：；相频特性：比例环节的极坐标图为实轴上的K点。22频率特性：ReIm⒉积分环节的频率特性：积分环节的极坐标图为负虚轴。频率w从0→∞特性曲线由虚轴的－∞趋向原点。23⒊惯性环节的频率特性：24极坐标图是一个圆，对称于实轴。证明如下：整理得：下半个圆对应于正频率部分，而上半个圆对应于负频率部分。25实频、虚频、幅频和相频特性分别为：⒋振荡环节的频率特性：讨论时的情况。当K=1时，频率特性为：26当时，，曲线在3，4象限；当 时，与之对称于实轴。实际曲线还与阻尼系数有关27由图可见无论是欠阻尼还是过阻尼系统，其图形的基本形状是相同的。当过阻尼时，阻尼系数越大其图形越接近圆。28⒌微分环节的频率特性：

微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：频率特性分别为：29①纯微分环节：ReIm微分环节的极坐标图为正虚轴。频率w从0→∞特性曲线由原点趋向虚轴的+∞。30②一阶微分：ReIm一阶微分环节的极坐标图为平行于虚轴直线。频率w从0→∞特性曲线相当于纯微分环节的特性曲线向右平移一个单位。31③二阶微分环节：幅频和相频特性为：321极坐标图是一个圆心在原点，半径为1的圆。⒍延迟环节的频率特性：传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：331.放大环节（比例环节）

放大环节的频率特性为对数幅频特性为图5-7放大环节的Bode图相频特性为如图所示，是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。5.2.2典型环节频率特性的伯德图34⒉积分环节的频率特性：频率特性：可见斜率为－20/dec当有两个积分环节时可见斜率为－40/dec35⒊惯性环节的频率特性：①对数幅频特性：，为了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：低频段：当时，，称为低频渐近线。高频段：当时，，称为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示每增加10倍频程下降20分贝）。

当时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当时，趋近于高频渐近线。低频高频渐近线的交点为：，得： ，称为转折频率或交换频率。可以用这两个渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。36

②相频特性：

作图时先用计算器计算几个特殊点：由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(w0,-45°)点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.437渐近特性精确特性图5-9惯性环节的Bode图38⒋振荡环节的频率特性：讨论时的情况。当K=1时，频率特性为：幅频特性为：相频特性为：对数幅频特性为：低频段渐近线：高频段渐近线：两渐进线的交点称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。39相频特性：几个特征点：由图可见：对数相频特性曲线在半对数坐标系中对于(w0,-90°)点是斜对称的。对数幅频特性曲线有峰值。40对求导并令等于零，可解得的极值对应的频率。该频率称为谐振峰值频率。可见，当时，。当时，无谐振峰值。当时，有谐振峰值。当，，。因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。41左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图。上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。42⒌微分环节的频率特性：

微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：频率特性分别为：43①纯微分：44②一阶微分：这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐进线的交点为相频特性：几个特殊点如下相角的变化范围从0到。低频段渐进线：高频段渐进线：对数幅频特性（用渐近线近似）：45

图5-10一阶微分环节的Bode图46幅频和相频特性为：③二阶微分环节：低频渐进线：高频渐进线：转折频率为：，高频段的斜率+40dB/Dec。相角：可见，相角的变化范围从0~180度。47

图5-12二阶微分环节的Bode图48⒍延迟环节的频率特性：传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：495.3.1绘制系统开环频率特性极坐标图的步骤将系统开环传递函数分解成若干典型环节的串联形式；典型环节幅频特性相乘得到系统开环幅频特性，典型环节相频特性相加得到系统开环相频特性；如幅频特性有渐近线，则根据开环频率特性表达式的实部和虚部，求出渐近线；最后在G(jω)H(jω)平面上绘制出系统开环频率特性的极坐标图。5.3系统开还频率特性的绘制50将系统的开环传递函数写成典型环节乘积（即串联）的形式；如果存在转折频率，在ω轴上标出转折频率的坐标位置；由各串联环节的对数幅频特性叠加后得到系统开环对数幅频特性的渐近线；修正误差，画出比较精确的对数幅频特性；画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系统开环相频特性。

5.3.2绘制系统开环频率特性伯德图的步骤51例5－1

绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。系统开环传递函数52例5－1

绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。解：系统开环传递函数

开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与相频特性均是已知的。将各环节的对数幅频与相频曲线绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅频及相频。53例5－254例5－251234五个基本环节55绘制系统开环对数幅频特性的步骤：1.将开环传递函数变为时间常数形式，即2.求各环节的转折频率，并标在Bode图的ω轴上。3.过ω=1,L(ω)=20lgK点作一条斜率为-20×υdB/dec的直线，直到第一个转折频率，或者过，L(ω)=0点作一条斜率为-20×υdB/dec的直线，直到第一个转折频率，以上直线作为对数幅频特性的低频段。564.L(ω)的低频段向高频段延伸，每经过一个转折频率，按环节性质改变一次渐近线的斜率。5.在各转折频率附近利用误差曲线进行修正，得精确曲线。系统的对数相频特性可以由各环节相频特性叠加的方法绘制。57例5-3

已知系统的开环传递函数为58例5-3

已知系统的开环传递函数为它由一个放大环节和两个惯性环节串联而成，其对应的频率特性是幅频特性和相频特性分别为591极坐标图当时，当时，当时，。当ω由零增至无穷大时，幅值由K衰减至零，相角00变至-1800，且均为负相角。频率特性与负虚轴的交点频率为，交点坐标是。其极坐标图如图5-13所示。图5-13开环系统极坐标图[G]60

由开环传递函数知，对数幅频特性的渐近线有两个转折频率和，且，将它们在ω轴上标出（图5-14）；

在纵坐标上找到20lgK的点A，过A点作平行于横轴的直线AB，这条平行线对应放大环节的幅频特性；在转折频率处作ω轴的垂线（虚线）交平行线AB于B点，以B为起点作斜率为-20dB/dec的斜线BC，C点对应转折频率，折线ABC对应放大环节K和惯性环节的叠加；

图5－14开环系统Bode图L2伯德图61

在s右半平面上既无极点，又无零点的传递函数，称为最小相位传递函数；否则，为非最小相位传递函数，具有最小相位传递函数的系统，称为最小相位系统。当控制系统中包含有纯滞后环节或存在不稳定的小回环时，都是非最小相位系统。设有两个系统(a)和(b)，其传递函数

最小相位和非最小相位系统62零、极点分布如图5-24所示。两系统的频率特性分别为

图5-24(a)和(b)系统零极点分布图63对数频率特性分别为

（a）和（b）系统的对数幅频特性相同，而相频特性不同，且。如图5-25所示。

64图5-25(a)和(b)系统对数频率特性65

主要内容幅角定理奈魁斯特稳定判据奈氏稳定判据在Ⅰ、Ⅱ型系统中的应用在波德图或尼柯尔斯图上判别系统稳定性

奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。第五节奈魁斯特稳定判据66一、幅角定理：

设负反馈系统的开环传递函数为：，其中： 为前向通道传递函数，为反馈通道传递函数。闭环传递函数为：，如下图所示：令：则开环传递函数为：……………(a)闭环传递函数为：……………(b)67

显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：。式中，为F(s)的零、极点。由上页(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的极点为开环传递函数的极点；F(s)的零点为闭环传递函数的极点；将闭环特征方程与开环特征方程之比构成一个辅助方程，得：……………..(c)68F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点都可以在F(s)平面上找到一个相应的点，称为在F(s)平面上的映射。

同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线（为的映射）。[例]辅助方程为：，则s平面上点（-1，j1），映射到F(s)平面上的点为（0，-j1）,见下图：69同样我们还可以发现以下事实：s平面上曲线映射到F(s)平面的曲线为，如下图：示意图

曲线是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（0），不包围其零点（-2）；曲线包围原点，且逆时针运动。再进一步试探，发现：若顺时针包围F(s)的一个极点（0）和一个零点（-2），则不包围原点顺时针运动；若顺时针只包围F(s)的一个零点（-2），则包围原点且顺时针运动。

这里有一定的规律，就是下面介绍的柯西幅角定理。70[柯西幅角定理]：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为：N=z-p。若N为正，表示顺时针运动，包围原点；若N为0，表示顺时针运动，不包围原点；若N为负，表示逆时针运动，包围原点。71二、奈魁斯特稳定判据：

对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。

我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的。设想：

如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为：当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。72这里需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性相联系？它可分为三部分：Ⅰ部分是正虚轴，Ⅱ部分是右半平面上半径为无穷大的半圆；；Ⅲ部分是负虚轴，。第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特路径。如下图：ⅠⅡⅢ73F(s)平面上的映射是这样得到的：以代入F(s)并令从 变化，得第一部分的映射；在F(s)中取使角度由 ，得第二部分的映射；令从，得第三部分的映射。稍后将介绍具体求法。得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算，式中： 是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出 。当时，系统稳定；否则不稳定。第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的的辅助方程为，为开环频率特性。因此，有以下三点是明显的：74②F(s)对原点的包围，相当于对(-1,j0)的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数N与对(-1,j0)点的包围的次数一样。奈魁斯特路径的第Ⅰ部分的映射是曲线向右移1；第Ⅱ部分的映射对应，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映射的关于实轴的对称。③F(s)的极点就是的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是在右半平面的极点数。①由可求得，而是开环频率特性。一般在中，分母阶数比分子阶数高，所以当时，，即F(s)=1。（对应于映射曲线第Ⅱ部分）75F(s)与的关系图。ⅠⅡⅢ76

根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈魁斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。就是下面所述的奈魁斯特稳定判据。[奈魁斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为N，（N>0顺时针，N<0逆时针），则闭环系统在右半平面的极点数为：。若，则闭环系统稳定，否则不稳定。[奈魁斯特稳定判据的另一种描述]：设开环系统传递函数在右半s平面上的极点数为，则闭环系统稳定的充要条件为：在 平面上的开环频率特性曲线极其映射当从变化到时，将以逆时针的方向围绕(-1,j0)点圈。对于开环系统稳定的情况，，则闭环系统稳定的充要条件是开环频率特性曲线极其映射不包围(-1,j0)点。不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为：。77[例5-6]开环传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。78[例5-6]开环传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。[解]：开环系统的奈氏图如右。在s右半平面的极点数为0，绕(-1,j0)点的圈数N=0，则闭环系统在s右半平面的个数： 。故闭环系统是稳定的。79[例5-7]设开环系统传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。80[例5-7]设开环系统传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。[解]：开环极点为-1，-1j2，都在s左半平面，所以。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕(-1,j2)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为： ，闭环系统是不稳定的。81[例5-8]系统结构图如右：试判断闭环系统的稳定性并讨论稳定性和k的关系。-82[例5-8]系统结构图如右：试判断闭环系统的稳定性并讨论稳定性和k的关系。-[解]：开环系统奈氏图是一个半径为，圆心在的圆。显然，k>=1时，包围(-1,j0)点，k<1时不包围(-1,j0)点。由图中看出：当k>1时，奈氏曲线逆时针包围(-1,j0)点一圈，N=-1，而，则闭环系统是稳定的。83当k=1时，奈氏曲线通过(-1,j0)点，属临界稳定状态。当k<1时，奈氏曲线不包围(-1,j0)点，N=0，，所以，闭环系统不稳定。

上面讨论的奈魁斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西幅角定理的条件。但是对于Ⅰ、Ⅱ型的开环系统，由于在虚轴上（原点）有极点，因此不能使用柯西幅角定理来判定闭环系统的稳定性。为了解决这一问题，需要重构奈魁斯特路径。84三、奈魁斯特稳定判据在Ⅰ、Ⅱ型系统中的应用：具有开环0极点系统，其开环传递函数为：

可见，在原点有重0极点。也就是在s=0点，不解析，若取奈氏路径同上时（通过虚轴的整个s右半平面），不满足柯西幅角定理。为了使奈氏路径不经过原点而仍然能包围整个s右半平面，重构奈氏路径如下：以原点为圆心，半径为无穷小做右半圆。这时的奈氏路径由以下四部分组成：85Ⅰ部分：正虚轴，，Ⅱ部分为半径为无穷大的右半圆；Ⅲ部分负虚轴，，Ⅳ部分为半径为无穷小的右半圆，下面讨论对于这种奈魁斯特路径的映射：1、第Ⅰ和第Ⅲ部分：常规的奈氏图，关于实轴对称；2、第Ⅱ部分：，。假设的分母阶数比分子阶数高；3、第Ⅳ部分：(a)对于Ⅰ型系统：将奈氏路径中的点代入中得：ⅠⅡⅢⅣ86(b)对于Ⅱ型系统：将奈氏路径中的点代入中得：所以这一段的映射为：半径为，角度从变到的整个圆（顺时针）。所以这一段的映射为：半径为，角度从变到的右半圆。87[结论]用上述形式的奈氏路径，奈氏判据仍可应用于Ⅰ、Ⅱ型系统。[例5-9]设Ⅰ型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。88[结论]用上述形式的奈氏路径，奈氏判据仍可应用于Ⅰ、Ⅱ型系统。[例5-9]设Ⅰ型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。[解]：显然这是1型系统。先根据奈氏路径画出完整的映射曲线。从图上看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而，故，闭环系统是稳定的。89[例5-10]某Ⅱ型系统的开环频率特性如下图所示，且s右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。90[例5-10]某Ⅱ型系统的开环频率特性如下图所示，且s右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。[解]：首先画出完整的奈氏曲线的映射曲线。如右图：从图上可以看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)两圈。因，所以，闭环系统是不稳定的。91[特殊情况]：1、若开环系统在虚轴上有极点，这时应将奈氏路径做相应的改变。如下图：以极点为圆心，做半径为无穷小的右半圆，使奈氏路径不通过虚轴上极点（确保满足柯西幅角定理条件），但仍能包围整个s右半平面。映射情况，由于较复杂，略。2、如果开环频率特性曲线通过(-1,j0)点，说明闭环系统处于临界稳定状态，闭环系统在虚轴上有极点。92通常，只画出的开环奈氏图，这时闭环系统在s右半平面上的极点数为：。式中，为变化时，开环奈氏图顺时针包围(-1,j0)点的圈数。不包围(-1,j0)点，0型系统包围(-1,j0)点，Ⅰ型系统和Ⅱ型系统对应的奈魁斯特路径分别为：93这时奈魁斯特稳定判据可以描述为：设开环系统传递函数在右半平面的极点为P，则闭环系统稳定的充要条件是：当从 时，频率特性曲线在实轴段的正负穿越次数差为。

频率特性曲线对(-1,j0)点的包围情况可用频率特性的正负穿越情况来表示。当增加时，频率特性从上半s平面穿过负实轴的段到下半s平面，称为频率特性对负实轴的段的正穿越（这时随着的增加，频率特性的相角也是增加的）；意味着逆时针包围(-1,j0)点。反之称为负穿越。正穿越负穿越94四、在对数坐标图上判断系统的稳定性：

开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（波德图）有如下的对应关系：1、奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线； 。2、奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的-180度相位线。

奈氏图频率特性曲线在上的正负穿越在对数坐标图上的对应关系：在对数坐标图上的范围内，当增加时，相频特性曲线从下向上穿过-180度相位线称为正穿越。因为相角值增加了。反之称为负穿越。95对照图如下：正穿越负穿越正穿越负穿越相角方向为正

增加时，相角增大对数坐标图上奈氏稳定判据如下：

设开环频率特性在s右半平面的极点数为P，则闭环系统稳定的充要条件是：对数坐标图上幅频特性的所有频段内，当频率增加时，对数相频特性对-180度线的正负穿越次数差为P/2。闭环系统右半s极点数为：，式中为正负穿越次数差。若Z=0，闭环系统稳定；若Z>0，闭环系统不稳定。96五、最小相位系统的奈氏判据：开环频率特性在s右半平面无零点和极点的系统称为最小相位系统。最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：奈氏图（开环频率特性曲线）不包围(-1,j0)点。因为若N=0，且P=0，所以Z=0。奈氏图幅值和相角关系为：当时，当时，式中，分别称为相角、幅值穿越频率上述关系在对数坐标图上的对应关系:当时，当时，97小结

柯西幅角定理。满足该定理的条件。N=z-p

辅助方程。其极点为开环极点，其零点为闭环极点。奈奎斯特稳定判据。几种描述形式；Ⅰ、Ⅱ型系统的奈氏路径极其映射；最小相位系统的奈氏判据；对数坐标图上奈氏判据的描述。对数频率特性图和奈奎斯特频率特性图的关系。98稳定裕度的概念使用稳定裕度概念综合系统本节主要内容：第六节稳定裕度相对稳定性的概念

在工程应用中，由于环境温度的变化、元件的老化以及元件的更换等，会引起系统参数的改变，从而有可能破坏系统的稳定性。因此在选择元件和确定系统参数时，不仅要考虑系统的稳定性，还要求系统有一定的稳定程度，这就是所谓自动控制系统的相对稳定性问题。99

当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。这时： 。对于最小相位系统，可以用 和来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度，或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。[定义]：和为幅值稳定裕度和相位稳定裕度。在对数坐标图上，用表示的分贝值。即100显然，当时，即和时，闭环系统是稳定的；否则是不稳定的。对于最小相位系统，和是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定裕度。常用相角裕度。[幅值稳定裕度物理意义]：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加倍（奈氏图）或增加分贝（波德图），则系统处于临界状态。若增加的倍数大于倍（或分贝），则系统变为不稳定。比如，若增加开环放大系数K，则对数幅频特性曲线将上升，而相角特性曲线不变。可见，开环放大系数太大，容易引起系统的不稳定。[相位稳定裕度的物理意义]：稳定系统在幅值穿越频率处将相角减小度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。101[例]设控制系统如下图所示k=10和k=100时，试求系统的相位稳定裕度和幅值裕度。-102[例]设控制系统如下图所示k=10和k=100时，试求系统的相位稳定裕度和幅值裕度。-[解]：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。当k=10时，开环系统波德图如右所示。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度大约是8dB和21度。因此系统在不稳定之前，增益可以增加8dB.103相位裕度和幅值裕度的计算：

相位裕度：先求穿越频率在穿越频率处，，所以，解此方程较困难，可采用近似解法。由于较小（小于2），所以：穿越频率处的相角为：相角裕度为：104

幅值裕度：先求相角穿越频率相角穿越频率处的相角为：由三角函数关系得：所以，幅值裕度为：105当增益从k=10增大到k=100时，幅值特性曲线上移20dB，相位特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是-12dB和-30度。因此系统在k=10时是稳定的，在k=100时是不稳定的。106[例5-11]某系统结构图如下所示。试确定当k=10时闭环系统的稳定性及其使相位稳定裕度为30度时的开环放大系数k。-107[例5-11]某系统结构图如下所示。试确定当k=10时闭环系统的稳定性及其使相位稳定裕度为30度时的开环放大系数k。-[解]：当k=10时，开环传递函数为：手工绘制波德图步骤：1、确定转折频率：10、40，在(1,20log200)点画斜率为-20的斜线至；2、在之间画斜率为-40的斜线；3、后画斜率为-60的斜线。108上图蓝线为原始波德图。，显然闭环系统是不稳定的。为了使相位稳定裕度达到30度，可将幅频曲线向下平移。即将开环放大系数减小，这时相频特性不变。截止频率左移至，移到哪里？109

，从图中看出：。所以原始幅频曲线向下移动的分贝数为:所以当开环放大系数下降到15时，闭环系统的相位稳定裕度是30度，这时的幅频稳定裕度为：由图中看出，所以设新的开环放大系数为，原始的开环放大系数为k=200，则有 （讨论时较明显）。解得：110[稳定裕度概念使用时的局限性]：1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为的点或相角为-180度的点可能不止一个，这时使用幅值和相位稳定裕度可能会出现歧义；2、非最小相位系统不能使用该定义；3、有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有部分曲线很靠近(-1,j0)点，这时闭环系统的稳定性依然不好