材料变形(材料力学基础)

1.研究内容：构件的承载能力(与“理力”的区别）强度

构件抵抗破坏的能力称为构件的强度。刚度

构件抵抗变形的能力称为构件的刚度。

稳定性

压杆能够维持其原有直线平衡状态的能力称为压杆的稳定性。

构件的安全可靠性与经济性是矛盾的。构件承载能力分析的内容就是在保证构件既安全可靠又经济的前提下，为构件选择合适的材料、确定合理的截面形状和尺寸，提供必要的理论基础和实用的计算方法。

3.5材料变形（材料力学基础）第3章材料力学基础2.变形固体（研究对象）的基本假设均匀连续性假设:

假定变形固体内部毫无空隙地充满物质，且各点处的力学性能都是相同的。

各向同性假设:

假定变形固体材料内部各个方向的力学性能都是相同的。弹性小变形条件:构件的承载能力分析主要研究微小的弹性变形问题，称为弹性小变形。弹性小变形与构件的原始尺寸相比较是微不足道的，在确定构件内力和计算应力及变形时，均按构件的原始尺寸进行分析计算。

第3章材料力学基础3.杆件变形的基本形式

工程实际中的构件种类繁多，根据其几何形状，可以简化为四类：杆、板、壳、块。本篇研究的主要对象是等截面直杆(简称等直杆)等直杆在载荷作用下，其基本变形的形式有：

1.轴向拉伸和压缩变形；2.剪切变形；

3.扭转变形；4.弯曲变形。

两种或两种以上的基本变形组合而成的，称为组合变形。

一、轴向拉伸与压缩

轴向拉伸与压缩的概念拉(压)杆的轴力和轴力图拉(压)杆横截面的应力和变形计算材料拉伸和压缩时的力学性能拉(压)杆的强度计算

一、轴向拉伸与压缩

1.杆件轴向拉伸与压缩的概念及特点FFFF受力特点：

外力(或外力的合力)沿杆件的轴线作用，且作用线与轴线重合。

变形特点：杆沿轴线方向伸长(或缩短)，沿横向缩短(或伸长)。

发生轴向拉伸与压缩的杆件一般简称为拉(压)杆。

2拉(压)杆的轴力和轴力图

轴力:外力引起的杆件内部相互作用力的改变量。

拉(压)杆的内力。FFmmFFNFF`N由平衡方程可求出轴力的大小：规定：FN的方向离开截面为正(受拉),指向截面为负(受压)。

内力：轴力图：以上求内力的方法称为截面法，截面法是求内力最基本的方法。用平行于杆轴线的x坐标表示横截面位置，用垂直于x的坐标FN表示横截面轴力的大小，按选定的比例，把轴力表示在x-FN坐标系中，描出的轴力随截面位置变化的曲线，称为轴力图。FFmmxFN一，截面法求轴力截面法是求内力的一般方法截面法设一等直杆在两端轴向拉力P的作用下处于平衡，欲求杆件

横截面mm上的内力

轴力（内力）和轴力图mmPP在求内力的截面mm处，假想地将杆截为两部分。截开代替取一部分作为研究对象（如左部分）。弃去部分对研究对象的作用以截开面上的内力代替。合力为NmmPN平衡对研究对象列平衡方程N=P式中：N为杆件任一横截面

m—m上的内力。与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心。称为轴力。mmPPmmPNN若取右侧为研究对象，则在截开面上的轴力与左侧上的轴力数值相等而指向相反mmPPmmPNmPmN轴力符号的规定a若轴力的指向背离截面，则规定为正号，称为拉力。b若轴力的指向指向截面，则规定为负号，称为压力。mmPPmmPNmPm++二，轴力图用平行于杆轴线的坐标

表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，称为

轴力图

。将正的轴力画在上侧，负的画在下侧。xN例题：一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。CABD600300500400E40KN55KN25KN20KN解：求支座反力RCABDE40KN55KN25KN20KNCABD600300500400E40KN55KN25KN20KN20KNCABDE40KN55KN25KNR用力的作用点将杆分段该杆分为：AB，BC，CD，DE，四段。分别求出各段横截面上的轴力再画轴力图。求AB段内的轴力N1-R=0N1=R=+10KN20KNCABDE40KN55KN25KNR1RN1(+)求BC段内的轴力RR40KNN2CABDE40KN55KN25KNR2CABDE40KN55KN25KN20KNR3N3求CD段内的轴力20KN25KN求DE段内的轴力20KNN4CABDE40KN55KN25KN20KNR4N1=10KN（拉力）N2=50KN（拉力）N3=-5KN（压力）N4=20KN（拉力）Nmax=50KN发生在BC段内任一横截面上1050520++CABD600300500400E40KN55KN25KN20KN注意

计算横截面上的轴力时，应先假设轴力为正值，则轴力的实际符号与其计算符号一致（设正法）例1：

已知F1=20KN，F2=8KN，F3=10KN，试用截面法求图示杆件指定截面1－1、2－2、3－3的轴力,并画出轴力图。

F2F1F3ABCD112332解:外力FR，F1，F2，F3将杆件分为AB、BC和CD段，取每段左边为研究对象，求得各段轴力为：FRF2FN1F2F1FN2F2F1F3FN2FN3FN1=F2=8KNFN2=F2-F1

=-12KNFN3=F2+F3-

F1

=-2KN轴力图如图:

xFNCDBA3杆件横截面的应力和变形计算

应力的概念：

内力在截面上的集度称为应力(垂直于杆横截面的应力称为正应力，平行于横截面的称为剪应力)。应力是判断杆件是否破坏的依据。单位是帕斯卡，简称帕，记作Pa，即l平方米的面积上作用1牛顿的力为1帕，1N／m2＝1Pa。

1kPa＝103Pa，1MPa＝106Pa

1GPa＝109Pa拉(压)杆横截面上的应力

根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式为：σ=MPaFN表示横截面轴力（N）A表示横截面面积（mm2）

FFmmnnFFN拉(压)杆的变形

1.绝对变形

:规定：L—等直杆的原长

d—横向尺寸

L1—拉(压)后纵向长度

d1—拉(压)后横向尺寸轴向变形：横向变形：

拉伸时轴向变形为正，横向变形为负；压缩时轴向变形为负，横向变形为正。

轴向变形和横向变形统称为绝对变形。

拉(压)杆的变形

2.相对变形：

单位长度的变形量。′＝-

和′都是无量纲量，又称为线应变，其中称为轴向线应变，′称为横向线应变。

3.横向变形系数：′＝虎克定律：实验表明，对拉(压)杆，当应力不超过某一限度时，杆的轴向变形与轴力FN成正比，与杆长L成正比，与横截面面积A成反比。这一比例关系称为虎克定律。引入比例常数E，其公式为:

E为材料的拉(压)弹性模量，单位是Gpa

FN、E、A均为常量，否则，应分段计算。

由此，当轴力、杆长、截面面积相同的等直杆,E值越大，就越小，所以E值代表了材料抵抗拉(压)变形的能力，是衡量材料刚度的指标。

或例2：如图所示杆件，求各段内截面的轴力和应力，并画出轴力图。若杆件较细段横截面面积，较粗段，材料的弹性模量，求杆件的总变形。

LL10KN40KN30KNABC解：分别在AB、BC段任取截面，如图示，则：FN1=10KN10KNFN110KNσ1=FN1/A1=50MPa30KNFN2FN2=-30KNσ2=FN2/A2=100

MPa轴力图如图：xFN10KN30KN由于AB、BC两段面积不同，变形量应分别计算。由虎克定律：可得：AB10KNX100mm200GPa

X200mm2==0.025mmBC-30KNX100mm200GPa

X300mm2==-0.050mm=-

0.025mm4材料拉伸和压缩时的力学性能材料的力学性能：材料在外力作用下，其强度和变形方面所表现出来的性能。它是通过试验的方法测定的，是进行强度、刚度计算和选择材料的重要依据。

工程材料的种类：根据其性能可分为塑性材料和脆性材料两大类。低碳钢和铸铁是这两类材料的典型代表，它们在拉伸和压缩时表现出来的力学性能具有广泛的代表性。低碳钢拉伸时的力学性能

1.常温、静载试验：L=5~10dLdFF低碳钢标准拉伸试件安装在拉伸试验机上，然后对试件缓慢施加拉伸载荷，直至把试件拉断。根据拉伸过程中试件承受的应力和产生的应变之间的关系，可以绘制出该低碳钢的曲线。2.低碳钢曲线分析：Oabcde试件在拉伸过程中经历了四个阶段，有两个重要的强度指标。

ob段—弹性阶段(比例极限σp弹性极限σe)bc段—屈服阶段屈服点

cd段—强化阶段

抗拉强度

de段—缩颈断裂阶段

pe

(1)弹性阶段比例极限σp

oa段是直线，应力与应变在此段成正比关系，材料符合虎克定律，直线oa的斜率就是材料的弹性模量，直线部分最高点所对应的应力值记作σp，称为材料的比例极限。曲线超过a点，图上ab段已不再是直线，说明材料已不符合虎克定律。但在ab段内卸载，变形也随之消失，说明ab段也发生弹性变形，所以ab段称为弹性阶段。b点所对应的应力值记作σe

，称为材料的弹性极限。

弹性极限与比例极限非常接近，工程实际中通常对二者不作严格区分，而近似地用比例极限代替弹性极限。

(2)屈服阶段屈服点曲线超过b点后，出现了一段锯齿形曲线，这—阶段应力没有增加，而应变依然在增加，材料好像失去了抵抗变形的能力，把这种应力不增加而应变显著增加的现象称作屈服，bc段称为屈服阶段。屈服阶段曲线最低点所对应的应力称为屈服点(或屈服极限)。在屈服阶段卸载，将出现不能消失的塑性变形。工程上一般不允许构件发生塑性变形，并把塑性变形作为塑性材料破坏的标志，所以屈服点是衡量材料强度的一个重要指标。

(3)强化阶段抗拉强度经过屈服阶段后，曲线从c点又开始逐渐上升，说明要使应变增加，必须增加应力，材料又恢复了抵抗变形的能力，这种现象称作强化，cd段称为强化阶段。曲线最高点所对应的应力值记作，称为材料的抗拉强度(或强度极限)，它是衡量材料强度的又一个重要指标。

(4)缩颈断裂阶段曲线到达d点前，试件的变形是均匀发生的，曲线到达d点，在试件比较薄弱的某一局部(材质不均匀或有缺陷处)，变形显著增加，有效横截面急剧减小，出现了缩颈现象，试件很快被拉断，所以de段称为缩颈断裂阶段。

3.塑性指标试件拉断后，弹性变形消失，但塑性变形仍保留下来。工程上用试件拉断后遗留下来的变形表示材料的塑性指标。常用的塑性指标有两个:

伸长率:%断面收缩率

:%L1—试件拉断后的标距L—是原标距A1—试件断口处的最小横截面面积A—原横截面面积。、值越大，其塑性越好。一般把≥5％的材料称为塑性材料，如钢材、铜、铝等；把<5％的材料称为脆性材料，如铸铁、混凝土、石料等。

低碳钢压缩时的力学性能

O比较低碳钢压缩与拉伸曲线,在直线部分和屈服阶段大致重合，其弹性模量比例极限和屈服点与拉伸时基本相同，因此低碳钢的抗拉性能与抗压性能是相同的。屈服阶段以后，试件会越压越扁，先是压成鼓形，最后变成饼状，故得不到压缩时的抗压强度。因此对于低碳钢一般不作压缩试验。

F铸铁拉伸时的力学性能

O铸铁是脆性材料的典型代表。曲线没有明显的直线部分和屈服阶段，无缩颈现象而发生断裂破坏，塑性变形很小。断裂时曲线最高点对应的应力值称为抗拉强度。铸铁的抗拉强度较低。

曲线没有明显的直线部分，应力与应变的关系不符合虎克定律。但由于铸铁总是在较小的应力下工作，且变形很小，故可近似地认为符合虎克定律。通常以割线Oa的斜率作为弹性模量E。

a铸铁压缩时的力学性能OFF曲线没有明显的直线部分，应力较小时，近似认为符合虎克定律。曲线没有屈服阶段，变形很小时沿与轴线大约成45°的斜截面发生破裂破坏。曲线最高点的应力值称为抗压强度。铸铁材料抗压性能远好于抗拉性能，这也是脆性材料共有的属性。因此，工程中常用铸铁等脆性材料作受压构件，而不用作受拉构件。

5拉(压)杆的强度计算

许用应力和安全系数

极限应力：材料丧失正常工作能力时的应力。塑性变形是塑性材料破坏的标志。屈服点为塑性材料的极限应力。断裂是脆性材料破坏的标志。因此把抗拉强度和抗压强度，作为脆性材料的极限应力。许用应力：构件安全工作时材料允许承受的最大应力。构件的工作应力必须小于材料的极限应力。塑性材料：[]=脆性材料：[]=ns、n

b是安全系数:

ns=1.2～2.5n

b＝2.0～3.5强度计算：

5拉(压)杆的强度计算

为了使构件不发生拉(压)破坏，保证构件安全工作的条件是：最大工作应力不超过材料的许用应力。这一条件称为强度条件。

≤[]应用该条件式可以解决以下三类问题：校核强度、设计截面、确定许可载荷。应用强度条件式进行的运算。

例题2：刚性杆ACB用圆杆CD悬挂在C点，B端作用集中力P=25KN，已知CD杆的直径d=20mm，许用应力[]=160MPa，试校核CD杆的强度，并求：（1）结构的许可荷载[P]；（2）若P=50KN，设计CD杆的直径。2aaPABDC解：求CD杆受力2aaPABDCNCDPACB所以，该杆强度足够。（1）结构的许可荷载[P]；[P]=33.5KN2aaPABDCNCDPACB（2）若P=50KN，设计CD杆的直径。d=24.4mm取d=25mm2aaPABDCNCDPACB二、剪切

1.剪切的概念

FF二、剪切

1.剪切的概念

FF受力特点：构件受到了一对大小相等，方向相反，作用线平行且相距很近的外力。变形特点：在力作用线之间的横截面产生了相对错动。产生相对错动的横截面称为剪切面。二、剪切2.挤压的概念

构件发生剪切变形时，往往会受到挤压作用，这种接触面之间相互压紧作用称为挤压。

构件受到挤压变形时，相互挤压的接触面称为挤压面(Ajy)。作用于挤压面上的力称为挤压力(Fjy)，挤压力与挤压面相互垂直。如果挤压力太大，就会使铆钉压扁或使钢板的局部起皱。FF二、剪切2.挤压的概念

F3.剪切的实用计算

剪力Q:剪切面上分布内力的合力。F用截面法计算剪切面上的内力。FFmmQQ切应力

切应力在截面上的实际分布规律比较复杂，工程上通常采用“实用计算法”，即假定切力在剪切面上的分布是均匀的。所以

:MPa构件在工作时不发生剪切破坏的强度条件为:

≤

[][]为材料的许用切应力，是根据试验得出的抗剪强度除以安全系数确定的。工程上常用材料的许用切应力，可从有关设计手册中查得。一般情况下，也可按以下的经验公式确定：塑性材料:[]＝(0.6～0.8)[]脆性材料:[]＝(0.8～1.0)[]4.挤压的实用计算当构件承受的挤压力Fjy过大而发生挤压破坏时，会使联接松动，构件不能正常工作。因此，对发生剪切变形的构件，通常除了进行剪切强度计算外，还要进行挤压强度计算。

挤压应力:

“实用计算法”，即认为挤压应力在挤压面上的分布是均匀的。故挤压应力为

:MPaFjy为挤压力（N）；Ajy为挤压面积（）

为了保证构件局部不发生挤压塑性变形，必须使构件的工作挤压应力小于或等于材料的许用挤压应力，即挤压的强度条件为

:≤

[]

MPa塑性材料:[]＝(1.5～2.5)[]脆性材料:[]＝(0.9～1.5)[]材料的许用挤压应力，是根据试验确定的。使用时可从有关设计手册中查得，也可按下列公式近似确定。

挤压强度条件也可以解决强度计算的三类问题。当联接件与被联接件的材料不同时，应对挤压强度较低的构件进行强度计算。

三、圆轴扭转

主要内容:2.扭转内力:扭矩3.扭转切应力1.圆轴扭转的概念

4.圆轴扭转时的强度和刚度1.工程中发生扭转变形的构件圆轴扭转的概念工程中发生扭转变形的构件2.扭转变形的特点：受力特点：在垂直于杆件轴线的平面内，作用了一对大小相等，转向相反，作用平面平行的外力偶矩；变形特点：杆件任意两横截面都发生了绕杆件轴线的相对转动。这种形式的变形称为扭转变形。mm3.研究对象：轴(以扭转变形为主的杆件）扭转内力:扭矩和扭矩图1.扭转时的内力称为扭矩。截面上的扭矩与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系。扭矩求解仍然使用截面法。2.扭矩图：用平行于轴线的x坐标表示横截面的位置，用垂直于x轴的坐标MT表示横截面扭矩的大小，描画出截面扭矩随截面位置变化的曲线，称为扭矩图。Me=9550P(kW)

n(r/min)

(N.m)MeMemm截面法求扭矩MeMTMeMT扭矩正负规定：右手法则例1：主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试求传动轴指定截面的扭矩，并做出扭矩图。解：1)由外力偶矩的计算公式求个轮的力偶矩：MA=9550PA/n=9550x36/300=1146N.mMB=MC=9550PB/n=350N.mMD=9550PD/n=446N.m2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为BC,CA,AD段轴的扭矩。M1M3M2M1+MB=0M1=-MB=-350N.mMB+MC+M2=0M2=-MB-MC=-700N.mMD-M3=0M3=MD=446N.m3)画扭矩图：xMT350N.m700N.m446N.m

圆轴扭转时横截面上的应力1.圆轴扭转时的变形特征:MeMe1)各圆周线的形状大小及圆周线之间的距离均无变化；各圆周线绕轴线转动了不同的角度。2)所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜了同一角度。

平面假设：圆周扭转变形后各个横截面仍为平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之间的距离保持不变，横截面半径仍为直线。推断结论：1.横截面上各点无轴向变形,故截面上无正应力。2.横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，发生了剪切变形，故横截面上有剪应力存在。3.

剪应力方向与截面半径方向垂直。4.距离圆心越远的点，剪应力越大。因此，各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，其分布规律如图所示：MT圆轴扭转时的强度计算

强度条件:圆轴扭转时的强度要求仍是最大工作剪应力τmax不超过材料的许用剪应力[τ]。≤[τ]

应用扭转强度条件，可以解决圆轴强度计算的三类问题：校核强度、设计截面和确定许可载荷。

圆轴扭转时的变形和刚度计算1.圆轴扭转时的变形

圆轴扭转时，任意两横截面产生相对角位移，称为扭角。扭角是扭转变形的变形度量。

等直圆轴的扭角的大小与扭矩MT及轴的长度L成正比，与横截面的极惯性矩Ip成反比，引入比例常数G，则有

:(rad

)剪切弹性模量(Mpa)抗扭刚度2.扭转时的刚度计算

刚度条件：最大单位长度扭角小于或等于许用单位长度扭角[]。

≤[]根据扭转刚度条件，可以解决刚度计算的三类问题，即校核刚度、设计截面和确定许可载荷。

四、直梁的弯曲

主要内容:1.直梁平面弯曲的概念

2.梁的类型及计算简图

3.梁弯曲时的内力（剪力和弯矩）

4.梁纯弯曲时的强度条件

5.梁弯曲时的变形和刚度条件

直梁平面弯曲的概念

1.梁弯曲的工程实例梁弯曲的工程实例1梁弯曲的工程实例2FFFAFB梁弯曲的工程实例3F平面弯曲：梁的外载荷都作用在纵向对称面内时，则梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。直梁平面弯曲的概念

2.直梁平面弯曲的概念：

弯曲变形：作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线，使杆的轴线由直线变为曲线。以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。梁的轴线和横截面的对称轴构成的平面称为纵向对称面。梁的计算简图

在计算简图中，通常以梁的轴线表示梁。作用在梁上的载荷，一般可以简化为三种形式:1.集中力:2.集中力偶:3.分布载荷(均布载荷)

单位为N/m

简支梁：一端为活动铰链支座，另一端为固定铰链支座。梁的类型外伸梁：一端或两端伸出支座之外的简支梁。悬臂梁：一端为固定端，另一端为自由端的梁。梁弯曲时的内力：剪力和弯矩

求梁的内力的方法仍然是截面法。

F1F3F2mmxF3ABFAaFQMFQ

=

FA-

F3M=

FAx-F