材料力学第九章 压杆稳定

Chapter9BucklingofColumns第九章压杆稳定第九章压杆稳定（BucklingofColumns）

§9-1

压杆稳定的概念

(Thebasicconceptsofcolumns)§9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力

(Euler’sFormulaforotherendconditions)§9-2

两端铰支细长压杆的临界压力(TheCriticalLoadforastraight,uniform,axiallyloaded,pin-endedcolumns)§9-4

欧拉公式的应用范围经验公式

(ApplicablerangeforEuler’sformula

theexperimentalformula)§9-5

压杆的稳定校核(Checkthestabilityofcolumns)§9-6

提高压杆稳定性的措施(Themeasurestoenhancethecolumnsstability)一、问题提出(Questions)第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为满足强度条件受压杆安全?1.为什么要研究压杆稳定？可见其承载能力并不仅取决于轴向压缩的抗压强度.还存在另一失效形式：压杆失稳.研究压杆稳定对于工程实际具有重要意义

2.工程中的压杆（1）上世纪初,享有盛誉的美国桥梁学家库柏

(TheodoreCooper)在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥

(QuebecBridge)

1907年8月29日,发生稳定性破坏,

85位工人死亡,成为上世纪十大工程惨剧之一.3.失稳破坏案例魁北克大桥本该是美国著名设计师特奥多罗·库帕的一个真正有价值的不朽杰作。库帕曾称他的设计是“最佳、最省的”。库帕自我陶醉于他的设计，而忘乎所以地把大桥的长度由原来的500米加到600米，以之成为当时世界上最长的桥。桥的建设速度很快，施工组织也很完善。正当投资修建这座大桥的人士开始考虑如何为大桥剪彩时，人们忽然听到一阵震耳欲聋的巨响——大桥的整个金属结构垮了：19000吨钢材和86名建桥工人落入水中，只有11人生还。原因：忽略了对桥梁重量的精确计算导致悬臂桁架中个别受压杆失去稳定产生屈曲，造成全桥坍塌；塔克马吊桥该桥计算时疏忽了对风荷载的验算，桥建成试通车后，发现桥面已发生扭曲，于是委托麻省理工大学进行检测，麻省理工大学制作了一个原桥的模型，进行风荷载试验，发现桥面扭曲的直接原因是风荷载，于是麻省理工大学用6天时间另搞了一个完善设计，在桥主梁侧面打开一些空洞，以减少风荷载的影响，可惜这一方案尚未实施完毕，桥面已出现剧烈扭曲，通过桥梁的最后一辆车是一辆轿车，受桥面扭曲影响。在桥面上已无法行驶，在相关营救人员的援助下，车主逃脱险境，之后不久桥就全部损坏。

设计该桥的校方将该桥的废钢材全部购买下来，制成校徽，来告诫本校学生永远记住这一教训。（2）1995年6月29日下午,韩国汉城三丰百货大楼,由于盲目扩建,加层,致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏,大楼倒塌,死502人,伤930人,失踪113人.

灾难只需30秒钟（2）沪东中华造船集团有限公司十几秒中36人丧生01年7月17日上午8点，在上海市沪东中华造船(集团)有限公司由上海电力建筑工程公司承担的600吨门式起重机在吊装过程中发生特大事故。36人死亡、3人受伤，同济大学9人不幸全部遇难早晨，机械学院的几位打算去沪东造船厂指挥安装龙门起重机的老师回机械南馆取资料，守门的师傅替他们开了门。谁曾想，一个多小时后，他们都在沪东造船厂的事故中遇难。一行9人中，有53岁的老教授，也有才30岁风华正茂的博士后。（3）浦东沪东造船沪东龙门吊倒塌

08年5月30日零时25分左右，五莲路浦东大道上的沪东中华造船公司两个各600吨的龙门吊在操作过程中发生意外，巨大的塔吊倒塌导致三个操作的驾驶员当场死亡，另有多名伤者被送往东方医院抢救。原因：是两台六百吨一起起吊重八百吨的船头时，两台龙门吊的速度不一样，前面一台倒了后面一台承受不了重量外加第一台的拉力就一起跟着倒了。干坞里面的船也毁了…（3）2000年10月25日上午10时南京电视台演播中心由于脚手架失稳,造成屋顶模板倒塌,

死6人,伤34人.（4）2004年2月25日9时15分,由福建省惠安县建筑工程公司承建的晋江市霞行村行元大厦改造工程,竹脚手架架体超载失稳整体坍塌,造成5人死亡、7人受伤.民工们守候在事故现场外等候消息事故现场120救护车在出口等候救援（5）2005年9月西单北京市西西工程4号工地项目发生模板支撑系统坍塌、脚手架失稳等三起事故.一栋楼从6层塌落,四五十名工人坠落.（6）2006年12月14日凌晨5时30分左右,正在施工的贵阳市至开阳县高等级公路小尖山大桥由于脚手架失稳发生垮塌事故,3人死亡,1人失踪,1人被卡在钢管架中,15名受伤.

2009年4月2日，在青岛市云南路与东平路路口一建筑工地，青岛胶州湾起重设备安装有限公司在塔式起重机拆除过程中，发生上部结构失稳坠落事故，造成5名拆除工人死亡.

2010年1月3日14时20分许，昆明在建新机场立交桥在浇灌过程中垮塌，共计7人死亡，8人重伤，26人轻伤。2011年03月22日,珠海南屏镇一栋7层违规抢建楼房整体坍塌2011-12-05,合肥在建大桥脚手架坍塌政府称是“破坏性试验”!!!!!1.平衡的稳定性(1)稳定平衡(2)不稳定平衡(3)随遇平衡

§9–1

压杆稳定的概念

(Thebasicconceptsofcolumns)8吨汽车起重机在起重的一瞬间回转台突然发生失稳，转台两侧的立板向外隆起，发生塑性变形而失效。25吨汽车起重机在起重时回转台失稳易拉罐压缩失稳2.弹性压杆的稳定性关键确定压杆的临界力

Fcr—稳定平衡状态

—临界平衡状态

—不稳定平衡状态

稳定平衡不稳定平衡临界平衡

临界压力:Fcr过度对应的压力稳定平衡不稳定平衡临界平衡关于临界压力的说明压杆的失稳：压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线形状平衡。临界压力（Fcr）：使中心受压的直杆由直线平衡形式转变为曲线平衡形式时所受的轴向压力；故临界压力可以理解为：或压杆处于微弯状态（丧失稳定）的最小载荷。压杆保持直线形态平衡的最大载荷；压杆失稳后，压力的微小增量会引起弯曲变形的显著增大，杆件丧失了承载能力。且由失稳造成的失效可以导致整个结构的坍塌。为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于直线平衡形式，因而压杆是以临界力为其极限承载能力。§9-2

两端绞支细长压杆的临界压力(TheCriticalLoadforastraight,uniform,axiallyloaded,pin-endedcolumns)mmFmxmwBxylM(x)=-FwFxyB(1)静力学关系(2)物理关系(3)变形协调关系研究思路该截面的弯矩杆的挠曲线近似微分方程压杆任一x截面沿y

方向的位移（a)令

(b)式的通解为（A、B为积分常数）(b)得

mmxyBFM(x)=-Fw边界条件

由公式(c)讨论：

若

mxmwBxylF则必须这就是两端铰支等截面细长受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式）.令n=1,得当时，挠曲线方程为挠曲线为半波正弦曲线.mxmwBxylF适用范围：3、理想压杆2、线弹性，小变形1、两端为铰支座的细长杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀等因素总是存在的，为非理想受压直杆。实际使用的压杆：yxlFcrFcrx§9-3

其它支座条件下细长压杆的临界压力(Euler’sFormulaforotherendconditions)1.细长压杆的形式（Differentendconditionsofastraightcolumns)

两端铰支一端自由一端固定一端固定一端铰支两端固定2.其它支座条件下的欧拉公式(Euler’sFormulaforOtherEndConditions)lFcr2lFcrl0.3l0.7lFcrl—长度因数—相当长度欧拉公式lFcrl/4l/4l/2l各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式0.5l支承情况两端铰支一端固支另端铰支一端固支另端自由失稳时挠曲线形状PcrABl临界力Pcr欧拉公式长度系数μμ=1μ0.7μ=0.5μ=2PcrABlPcrABl0.7lCCDC—挠曲线拐点C、D—挠曲线拐点Pcrl2l一端固支一端可移动不能转动μ＝1一端固定一端移动两端铰支一端固定，另一端铰支两端固定一端固定，另一端自由表

各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式

支承情况临界力的欧拉公式长度因数

=1

=0.7

=0.5

=2欧拉公式的统一形式(GeneralEulerBucklingLoadFormula)（

为压杆的长度因数）3.讨论（Discussion)为长度因数

l

为相当长度（1）相当长度l

的物理意义压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度l.

l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度.zyx取Iy

，Iz

中小的一个计算临界力.若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力.I为其相应中性轴的惯性矩.即分别用

Iy

，Iz

计算出两个临界压力.然后取小的一个作为压杆的临界压力.（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩I若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则I应取最小的形心主惯性矩.压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。例题1已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长压杆.截面形状为工字钢形,惯性矩Iz=6.5×10

4

mm4,Iy=3.8×10

4

mm4,E=2.1×10

5MPa.试计算临界力Fcr

.xz880x8801000yzy分析思路：（1）杆件在两个方向的约束情况不同；x8801000yzyFFlxz880（2）计算出两个临界压力；（3）取小的一个作为压杆的临界压力.FF解：x8801000yzyFFlxz880连杆的临界压力xoy面：约束情况为两端铰支μ=1,I=Iz,l=1mxoz面：约束情况为两端固定μ=0.5,I=Iy,l=0.88m例题2图示各杆均为圆形截面细长压杆.已知各杆的材料及直径相等.问哪个杆先失稳?dF1.3a

BF1.6aCaFA解：A杆先失稳.杆A杆B杆CdF1.3a

BF1.6aCaFA(a)(b)(c)如图a,把一张纸竖立在桌上,其自重就可以把它压弯.若如图b所示,把纸片折成角钢形竖立在桌上,其自重就不能把它压弯了.若如图c所示,把纸片卷成圆筒形竖立在桌上,则在它的顶部加上粉笔也不把它压弯.为什么?问答题：答：因为从a→b→c,截面的最小形心惯性矩Imin逐渐地增大,从而使相应形状的纸片的临界力也增大.工程案例大楼内设置了“调谐质块阻尼器”（tunedmassdamper），是在88至92楼挂置一个重达660公吨的巨大钢球，利用摆动来减缓建筑物的晃动幅度。据台北101告示牌所言，这也是全世界唯一开放游客观赏的巨型阻尼器，更是目前全球最大之阻尼器。

防震措施方面，台北101采用新式的“巨型结构”（mega-structure），在大楼的四个外侧分别各有两支巨柱，共八支巨柱，每支截面长3米、宽2.4米，自地下5楼贯通至地上90楼，柱内灌入高密度混凝土，外以钢板包覆。

下图是京珠高速公路施工现场使用的脚手架，请同学们根据我们本次课所学的内容,思考该脚手架中间为什么要加如此多的横杆？

思考题：4、稳定问题与强度问题的区别(Distinguishbetweenstableproblemandstrengthproblem)

平衡状态应力平衡方程极限承载能力直线平衡状态不变平衡形式发生变化达到限值小于限值s<ss变形前的形状、尺寸变形后的形状、尺寸实验确定理论分析计算强度问题稳定问题压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？压杆压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平衡时，横截面上的压应力可按

=F/A

计算.

§9-4

欧拉公式的应用范围经验公式

(ApplicablerangeforEuler’sformula

theexperimentalformula)一、临界应力

(Criticalstress)欧拉公式临界应力

(Euler’scriticalstress)按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为i

为压杆横截面对中性轴的惯性半径.

称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响.

越大，相应的

cr

越小，压杆越容易失稳.令令则则若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应力cr

。二、

欧拉公式的应用范围

(ApplicablerangeforEuler’sformula)只有在cr

≤

p的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界压力Fcr（临界应力cr

）.或令即l

≥1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围.

当

＜1但大于某一数值2的压杆不能应用欧拉公式，此时需用经验公式.1的大小取决于压杆材料的力学性能.例如，对于Q235钢，可取E=206GPa，p=200MPa，得三.常用的经验公式

(Theexperimentalformula)式中：a

和

b是与材料有关的常数，可查表得出.

2是对应直线公式的最低线.1.直线公式的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.

或令直线公式系数表（a，b）2、抛物线型经验公式我国建筑业常用：①P<<s时：对Q235，a1=235，b1=0.00668，λc=123对Q345，a1=345，b1=0.014，λc=102抛物线与欧拉公式曲线交点叫λc四、压杆的分类及临界应力总图(ClassificationofColumnsandtheDiagramofcriticalstresscrversusslendernessratio)1.压杆的分类（ClassificationofColumns）（1）大柔度杆（Longcolumns）（2）中柔度杆（Intermediatecolumns）（3）小柔度杆（Shortcolumns）2.临界应力总图l1l2粗短杆小柔度强度失效中粗杆中柔度弹塑性稳定问题细长杆大柔度弹性失稳例题3

压杆截面如图所示.两端为柱形铰链约束，若绕y轴失稳可视为两端固定，若绕z轴失稳可视为两端铰支.已知，杆长l=1m，材料的弹性模量E=200GPa，p=200MPa.求压杆的临界应力.30mm20mmyz解：30mm20mmyz因为z

>y

，所以压杆绕

z

轴先失稳，且z

=115>1，用欧拉公式计算临界力.例题3外径D=50mm，内径d=40mm的钢管，两端铰支，材料为Q235钢，承受轴向压力F.试求（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；（2）当压杆长度为上述最小长度的3/4时，压杆的临界应力.已知：E=200GPa，p=200MPa

，s=240MPa

，用直线公式时，a=304MPa，b=1.12MPa.解：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度压杆

=1（2）当l=3/4lmin

时，Fcr=?用直线公式计算

1846年拉马尔具体讨论了Euler公式的适用范围，并提出超过此范围的压杆要依靠实验研究。发展历史：文艺复兴时，达芬奇对压杆作了一些开拓性研究工作；荷兰物理学家教授穆森布洛克1729年对杆件的受拉试验，得出“压曲载荷与杆长的平方成反比”；瑞士数学家Euler首先导出细长杆压曲载荷公式，1744年出版的变分法专著曾得到：失稳后弹性屈曲的精确描述及压曲载荷的计算公式；两端铰支压杆的压曲载荷公式由法国科学家拉格朗日在Euler近似微分方程的基础上于1770年左右得到；英国科学家杨（YoongT）于1807年，纳维于1826年先后指出Euler只适用于细长杆；1.稳定性条件

(Thestabilitycondition)

2.计算步骤

(Calculationprocedure)（1）计算最大的柔度系数max；

（2）根据max选择公式计算临界应力；（3）根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷.

§9-5

压杆的稳定校核

(Checkthestabilityofcolumns)定义：稳定因数（折减系数）为稳定因数法的稳定安全条件为：

稳定许用应力

[σst]=φ(λ)[σ]稳定因数法或：例题4活塞杆由45号钢制成，s=350MPa，p=280MPaE=210GPa.长度l=703mm，直径d=45mm.最大压力

Fmax

=41.6kN.规定稳定安全系数为nst

=8-10.试校核其稳定性.活塞杆两端简化成铰支解：

=1截面为圆形不能用欧拉公式计算临界压力.如用直线公式，需查表得：a=461MPab=2.568MPa可由直线公式计算临界应力.2<<1临界压力是活塞的工作安全因数所以满足稳定性要求.例题5油缸活塞直经D=65mm，油压p=1.2MPa.活塞杆长度l=1250mm，材料为35钢，s

=220MPa，E=210GPa，[nst]

=6.试确定活塞杆的直经.pD活塞杆活塞d解：活塞杆承受的轴向压力应为活塞杆承受的临界压力应为把活塞的两端简化为铰支座.pD活塞杆活塞d用试算法求直径（1）先由欧拉公式求直径求得

d=24.6mm.取d=25mm（2）用求得直径计算活塞杆柔度由于

>1，所以前面用欧拉公式进行试算是正确的.例题6AB的直径d=40mm，长l=800mm，两端可视为铰支.材料为Q235钢，弹性模量E=200GPa.比例极限p=200MPa，屈服极限s=240MPa，由AB杆的稳定条件求[F].（若用直线式a=304MPa，b=1.12MPa

）ABCF0.60.30.8解：取BC

研究ABCF0.60.30.8FN用直线公式[F]=118kN不能用欧拉公式ABCF0.60.30.8综合图示结构，杆1、2材料、长度相同，均为l。已知：E=200GPa，l=0.8m，，，经验公式（MPa），若规定的稳定安全系数求许可载荷[Q].a=30mmd=32mmABCQ12解：,kNkNkN点C平衡，ABCQ12a=30mmd=32mm注意1、在压杆计算中，有时会遇到压杆局部有截面被消弱的情况，如杆上有孔、切槽等。2、由于压杆的临界载荷是从研究整个压杆的弯曲变形来决定的，局部截面的消弱对整个变形影响较小，故稳定计算中仍用原有的截面几何量。3、但强度计算是根据危险点的应力进行的，故必须对削弱了的截面进行强度校核，a、压杆的稳定取决于整个杆件的弯曲刚度；b、对于局部削弱的横截面，应进行强度校核。§9-6

提高压杆稳定性的措施细长压杆的临界应力与材料的弹性模量E有关，E较大的材料会获得较大的临界应力，会提高压杆的稳定性。但是，由于各种钢材的弹性模量E相差不大，选择优质钢材与普通钢材相比，并不能明显提高压杆的稳定性。非细长压杆的临界应力和材料的强度有关，选择强度较高的优质材料，会明显地起到提高压杆稳定性的作用。措施1：合理地选用材料措施2、选择合理的截面形状由柔度的计算公式可以看出，提高截面惯性半径i的数值，就能降低柔度的数值，从而提高临界应力。因此，在不增加截面面积的情况下，应将材料尽可能布置得远离形心，因而圆环形截面较实心圆截面合理；用四