晶体的宏观对称性

2.宏观对称性的数学描述

晶体的对称性有宏观对称性和微观对称性之分，前者指晶体的外形对称性，后者指晶体微观结构的对称性。本节我们主要学习晶体的宏观对称性。主要内容：1.宏观对称元素4.群/对称操作群5.宏观对称性与物理性质3.三种几何体的对称操作1-5晶体的宏观对称性晶体的对称性晶体外部形态的对称性，称为宏观对称性。晶体外形具有有限的大小，所有的对称元素都必须相交于晶体内部的某一点。因此，宏观对称性又叫做点对称性。（1.5，1.6节）晶体内原子排列的对称性称为微观对称性，它是晶体内部原子无限排列所具有的对称性。（1.7节）晶体宏观对称性是微观对称性的外在表现，晶体微观对称性则是宏观对称性的基础。对称是指物体相同部分作有规律的重复。不改变物体/图形中任何两点的距离而能使图形复原的操作叫对称操作。对称操作据以进行的几何要素叫做对称元素旋转轴与旋转操作：将物体绕通过其中心的轴旋转一定的角度使物体复原的操作。能使物体复原的最小旋转角（0°除外）称为基准角α；物体旋转一周复原的次数称为旋转轴的轴次n，n=360°/α；旋转轴的符号为Cn；

晶体只存在C2,C3,C4,C6旋转轴；晶体中可存在一条或多条旋转轴。镜面与反映操作：通过物体中心的一个假想面，将物体平分成互为镜面反映的两个相等部分，称为反映操作；反映操作凭借的平面称为反映面或镜面σ；晶体中可存在一个或多个镜面。对称中心与反演操作：若物体中存在一点，使得物体中任意一点向此点引连线并延长到反方向等距离处而能使物体复原，则这种操作就是反演，这一点称为反演中心i。晶体中最多可有一个对称中心。i旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：1212345612反轴与旋转反演操作：这是一个复合操作，即旋转与反演的乘积。反轴写为In。7ABDCEFGH正四面体既无四度轴也无对称心6=3+m1234566'1234反轴与旋转反演操作：这是一个复合操作，即旋转与反演的乘积。反轴写为In。恒等元素E与恒等操作：即物体不动的操作。1，2，3，4，6度旋转对称操作。1，2，3，4，6度旋转反演对称操作。(3)中心反演：i。(4)镜象反映：m。

C1，C2，C3，C4，C6

（用熊夫利符号表示）S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）点对称操作：(2)旋转反演对称操作：(1)旋转对称操作：

独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m，。或C1，C2，C3，C4，C6

，Ci，Cs，S4。立方体对称性(1)立方轴C4：3个立方轴；4个3度轴；(2)体对角线C3：(3)面对角线C2：6个2度轴；各种对称操作相当于坐标变换，可用坐标变换矩阵表示对称操作保持图形形状和大小不变的几何变换为正交变换。概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换下的不变性——三维情况下，正交变换的表示——其中矩阵是正交矩阵宏观对称性的数学描述绕z轴转角的正交矩阵

矩阵行列式等于＋1

中心反演的正交矩阵矩阵行列式等于－1

空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－1对称操作：一个物体在某一个正交变换下保持不变的操作例1：立方体的对称操作

1)绕三个立方轴转动——9个对称操作

物体的对称操作越多，其对称性越高——共有6个对称操作2)绕6条面对角线轴转动——8个对称操作3)绕4个立方体对角线轴转动4)

不动操作——立方体的对称操作共有48个5)以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作例2正四面体的对称操作

四个原子位于正四面体的四个顶角上，正四面体的对称操作包含在立方体操作之中

1)绕三个立方轴转动——共有3个对称操作——8个对称操作2)绕4个立方体对角线轴转动3)

不动操作——1个对称操作注：立方轴、体对角线、面对角线都是参照立方体的体心为原点的坐标系来讨论的——6个对称操作4)绕三个立方轴转动加中心反演——6个对称操作5)绕6条面对角线轴转动加上中心反演正四面体的对称操作共有24个，包含在正方体中。例3正六角柱的对称操作

1)绕中心轴线转动——5个——3个3)绕相对面中心连线转动

——3个4)

不变操作5)以上12个对称操作加中心反演仍是对称操作——正六面柱的对称操作有24个2)绕对棱中点连线转动

——1个对称素对称素：是指一个物体的旋转轴或旋转-反演轴，其简洁明了地概括了一个物体的对称性。n重旋转轴：一个物体绕某一个转轴2π/n以及它的倍数不变时，这个轴称为n重旋转轴，记作n。n重旋转-反演轴：一个物体绕某一个转轴2π/n加上中心反演的联合操作以及其联合操作的倍数不变时，这个轴称为n重旋转轴，记作。面对角线为2重轴，计为2例1：立方体立方轴为4重轴，计为4同时也是4重旋转－反演轴，计为同时也是2重旋转－反演轴，计为体对角线轴为3重轴，计为3同时也是3重旋转－反演轴，计为例2：正四面体体对角线轴是3重轴——不是3重旋转－反演轴

立方轴是4重旋转－反演轴——不是4重轴面对角线是2重旋转－反演轴——不是2重轴一个特殊的对称素

：先绕轴转动π，再作中心反演A”点实际上是A点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像，即对称素实际是个镜面操作，用表示。一个物体的全部对称操作的集合，构成对称操作群

对称操作群群：代表一组“元素”的集合，G{E,A,B,C,D……}

这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，并且满足下列性质1)

集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素

——若A,BG,则AB=CG.

叫作群的封闭性2)

存在单位元素E,使得所有元素满足：AE=A3)对于任意元素A,存在逆元素A-1,有：AA-1=E4)

元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C例1：正实数群——所有正实数(0除外)的集合例2：整数群——所有整数的集合注意：一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义，其运算法则为连续操作。以普通乘法为运算法则，1为单位元素，x的逆为1/x。以加法为运算法则。一个物体的全部对称操作的集合，构成对称操作群1.单位元素——不动操作2.任意元素的逆元素——绕转轴角度，其逆操作为绕转轴角度－；中心反演的逆操作仍是中心反演；3.连续进行A和B操作

——相当于C操作A操作——绕OA轴转动/2

B操作——绕OC轴转动/2

S’上述操作中S和O没动，而T点转动到T’点

——相当于一个操作C：绕OS轴转动2/3上述操作中S和O没动，而T点转动到T’点

——相当于一个操作C：绕OS轴转动2/3表示为——群的封闭性可以证明——满足结合律S’1.已知氯化钠是立方晶体，其相对分子质量为58.46，在室温下的密度是2.167*103kg·m-3,试计算氯化钠结构的点阵常数。2.硅、锗半导体材料具有金刚石结构，设其晶格常数为a。画出（110）面二维格子的原胞，并给出它的基矢。3.对于六角密积结构的晶体，其原胞基矢为试求1.倒格子基矢；2.晶面簇（210）的面间距。4.对于立方晶格，密勒指数为(h1k1l1)和(h2k2l2)的晶面族的两个平面之间的夹角余弦为【1】已知氯化钠是立方晶体，其相对分子质量为58.46，在室温下的密度是2.167*103kg·m-3,试计算氯化钠结构的点阵常数。【解】固体密度ρ=Zm/V，其中V是晶胞体积，Z是晶胞中的分子数，m为分子的质量。每个分子的质量m为

于是得到宏观对称性与物理性质晶体在几何外形上表现出明显的对称性，对称性的性质也会在物理性质上得以体现。介电常数表示为二阶张量电位移☆对于立方对称的晶体，其为对角张量因此，介电常数可看作一个简单的标量例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明设对称操作对应的正交变换且有介电常数——在坐标变换下例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明设对称操作对应的正交变换且有介电常数——在坐标变换下A为对称变换xyX’Y’绕z轴逆时针转90°——对于立方晶体，选取对称操作A为绕Z轴旋转/2代入进一步选取对称操作B为绕X轴旋转/2，